РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ, ЛЕЖАЩИХ НА КРИТИЧЕСКОЙ ПРЯМОЙ, ЛИНЕЙНЫХ КОМБИНАЦИЙ L−ФУНКЦИЙ ДИРИХЛЕ

Аннотация

Некоторые проблемы теории чисел тесно связаны с нулями специальных функций, к которым относятся дзета-функция Римана ζ(s), L-функции Дирихле L(s, χ) и др. Самой известной из этих функций явля- ется дзета-функция Римана. На полуплоскости ℜs > 1 она задаётся рядом Дирихле ζ(s) = ∑ +∞ n=1 n −s . В 1859 г. Б. Риман высказал гипотезу о том, что все нетривиальные нули дзета-функции ζ(s) лежат на критической прямой. Г. Харди был первым, кто доказал, что на критической прямой лежит бесконечно много нулей дзета-функции Римана. В 1942 г. А. Сельберг получил правильную по порядку оценку числа нулей ζ(s), лежащих на отрезках критической прямой [T, T + H], H = T 0.5+ε . В 1984 году А. А. Карацуба доказал оценку Сельберга 1942 г. для случая отрезка критической прямой меньшей длины, т.е. для отрезка [T, T + H], H = T 27 82 +ε . Для арифметических рядов Дирихле без эйлерова произведения правильные по порядку нижние оценки для числа их нулей на отрезках прямой ℜs = 1 2 пока не получены. В 1980 г. С. М. Воронин доказал, что отрезок ( 1 2 , 1 2 + iT] критической прямой содержит больше, чем cT e 1 20 √ ln ln ln ln T нулей функции Дэвенпорта-Хейльброна. Тем самым С. М. Воронин впер- вые доказал, что на критической прямой лежит «аномально много» нулей арифметического ряда Дирихле без эйлерова произведения. В 1989 г. А. А. Карацуба разработал новый метод оценок снизу чис- ла нулей некоторых рядов Дирихле на отрезках критической прямой, с помощью которого существенно улучшил результат Воронина. В 1991 г. А. А. Карацуба решил своим методом задачу о нижней оценке числа нулей, лежащих на интервале ( 1 2 , 1 2 + iT] критической прямой, линейной комбинации аналогов функции Харди, соответствующих L(s, χ)− функциям Дирихле. В настоящей работе решается задача о числе нулей линейных комбинаций L−функций Дирихле на почти всех промежутках вида [T, T + H], H = Xε , ε > 0, X ≤ T ≤ 2X.