РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ, ЛЕЖАЩИХ НА КРИТИЧЕСКОЙ ПРЯМОЙ, ЛИНЕЙНЫХ КОМБИНАЦИЙ L−ФУНКЦИЙ ДИРИХЛЕ

Некоторые проблемы теории чисел тесно связаны с нулями специальных функций, к которым относятся дзета-функция Римана ζ(s), L-функции Дирихле L(s, χ) и др. Самой известной из этих функций явля- ется дзета-функция Римана. На полуплоскости ℜs > 1 она задаётся рядом Дирихле ζ(s) = ∑ +∞ n=1 n −s . В 1859 г. Б. Риман высказал гипотезу о том, что все нетривиальные нули дзета-функции ζ(s) лежат на критической прямой. Г. Харди был первым, кто доказал, что на критической прямой лежит бесконечно много нулей дзета-функции Римана. В 1942 г. А. Сельберг получил правильную по порядку оценку числа нулей ζ(s), лежащих на отрезках критической прямой [T, T + H], H = T 0.5+ε . В 1984 году А. А. Карацуба доказал оценку Сельберга 1942 г. для случая отрезка критической прямой меньшей длины, т.е. для отрезка [T, T + H], H = T 27 82 +ε . Для арифметических рядов Дирихле без эйлерова произведения правильные по порядку нижние оценки для числа их нулей на отрезках прямой ℜs = 1 2 пока не получены. В 1980 г. С. М. Воронин доказал, что отрезок ( 1 2 , 1 2 + iT] критической прямой содержит больше, чем cT e 1 20 √ ln ln ln ln T нулей функции Дэвенпорта-Хейльброна. Тем самым С. М. Воронин впер- вые доказал, что на критической прямой лежит «аномально много» нулей арифметического ряда Дирихле без эйлерова произведения. В 1989 г. А. А. Карацуба разработал новый метод оценок снизу чис- ла нулей некоторых рядов Дирихле на отрезках критической прямой, с помощью которого существенно улучшил результат Воронина. В 1991 г. А. А. Карацуба решил своим методом задачу о нижней оценке числа нулей, лежащих на интервале ( 1 2 , 1 2 + iT] критической прямой, линейной комбинации аналогов функции Харди, соответствующих L(s, χ)− функциям Дирихле. В настоящей работе решается задача о числе нулей линейных комбинаций L−функций Дирихле на почти всех промежутках вида [T, T + H], H = Xε , ε > 0, X ≤ T ≤ 2X.

1. Риман Б. Сочинения. М.–Л.: ОГИЗ, 1948. 479 c.

2. Hardy G. Н. Sur les zeros de la fonction ζ(s) de Riemann // Compt. Rend. Acad. Sci. 1914. Vol. 158. P. 1012–1014.

3. Hardy G. H., Littlewood J. E. The zeros of Riemann’s zeta-function on the critical line // Mathematische Zeitschrift. 1921. Vol. 10. P. 283–317.

4. Selberg A. On the zeros of Riemann’s zeta-function // Skr. Norske Vid. Akad. Oslo. 1942. Vol. 10. P. 1–59.

5. Карацуба А. А. О расстоянии между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой // Тр. МИАН СССР. 1981. Т. 157. С. 49–63.

6. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983. 240 с.

7. Карацуба А. А. О нулях функции ζ(s) на коротких промежутках критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1984. T. 48, № 3. C. 569–584.

8. Карацуба А. А. Распределение нулей функции ζ(1/2+it) // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1984. Т. 48, № 6. С. 1214–1224.

9. Карацуба А. А. О нулях дзета-функции Римана на критической прямой // Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 167. С. 167–178.

10. Карацуба А. А. О вещественных нулях функции ζ(1/2 + it) // УМН. 1985. Т. 40, № 4. С. 171–172.

11. Карацуба А. А. Дзета-функция Римана и ее нули // УМН. 1985. Т. 40, № 5. С. 23–82.

12. Карацуба А. А. О нулях функции Дэвенпорта–Хейльбронна, лежащих на критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. Т. 54, № 2. С. 303– 315.

13. Карацуба А. А. О нулях специального вида функций, связанных с рядами Дирихле // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1991. Т. 55, № 3. С. 483–514.

14. Карацуба А. А. О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1992. Т. 56, № 2. С. 372–397.

15. Карацуба А. А. Уточнение теорем о количестве нулей, лежащих на отрезках критической прямой, некоторых рядов Дирихле // УМН. 1992. Т. 47, № 2. С. 193—194.

16. Воронин С. М. О нулях некоторых рядов Дирихле, лежащих на критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1980. Т. 44, № 1. С. 63–91.

17. Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. М.: Физматлит. – 1994. 376 c.