О ПЛОТНОСТИ РЕШЕТЧАТОГО ПОКРЫТИЯ ДЛЯ n = 17

В настоящей работе улучшена оценка плотности решетчатого покрытия евклидова пространства размерности n = 17. Этот результат направлен на решение проблемы, известной в литературе как проблема С. С. Рышкова в теории решетчатых покрытий [1, 2]. Настоящая работа является продолжением ряда работ автора, среди которых основной является работа [3], в которой даны подробные опре- деления, а также методика исследования и приведены доказательства основных теорем. Мы предполагаем, что читатель знаком с результатами работы [3]. Настоящий результат получен на основе полного описания строения L-разбиения классической решетки Коксетера A6 17. Также приведено полное описание строения её многогранника Вороного-Дирихле как многогранника, заданного своими вершинами. На основе этого для решетчатого покрытия, отвечающего этой решетке, вычислено точное значение радиуса покрытия и функции плотности покрытия. Значение функции плотности покрытия оказалось лучше (меньше) ранее известных. Тем самым для n = 17 улучшена оценка минимальной плотности решетчатого покрытия евклидова пространства равными шарами. Исторически исследование L-разбиений решеток Коксетера Ar n было начато С. С. Рышковым в работе [4]. Среди L-тел решетки A6 17 встречается правильный симплекс S относительного объёма 6 (в таблице 1 это тело обозначено через F1). Это заранее известное из [4] L-тело, с которого мы начинали перечисление всех L-тел. Первоначально L-тела были получены нами с использованием ЭВМ при помощи известного «метода пустого шара» Делоне (см. [5]). В качестве первого шага этого метода мы использовали результаты работы [4] для S. В настоящей работе мы для формы A6 17 доводим начатые в [4] исследования до полного завершения. Аналогичные результаты, полученные мною ранее для размерностей n = 11, . . . , 15, мы подробно обсуждали в своё время с С. С. Рышковым на его спецсеминарах по теории решёток при кафедре дискретной математики механико-математического факультета МГУ. Сергей Сергеевич давал высокую оценку тем результатам и называл их «результатами уровня доктора физико-математических наук», что для меня, безусловно, являлось и продолжает являться большим стимулом для проведения новых исследований. Настоящий результат для n = 17 по объемам вычислений превосходит все предыдущие вместе взятые. Я посвящаю этот результат памяти своего учителя — Сергея Сергеевича Рышкова.

1. Bambah R. P., Sloane N. J. A. On a problem of Ryˇskov concerning lattice coverings // Acta Arithm. 1982. V. 42. P. 107–109.

2. Conway J. H., Sloane N. J. A. Sphere packings, lattices and groups (Third edition) // Springer-Verlag. 1999.

3. Анзин М. М. О плотности решетчатого покрытия для n = 11 и n = 14 // Труды МИ РАН. 2002. Т. 239. С. 20–51. К 70-летию со дня рождения профессора Сергея Сергеевича Рышкова. Сборник статей под редакцией А. А. Мальцева. — М.: «Наука», МАИК «Наука/Интерпериодика».

4. Рышков С. С. О совершенной форме Ak n : существование решеток с неосновным симплексом разбиения; существование совершенных форм, не приводимых по Минковскому к форме с одинаковыми диагональными коэффициентами // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1973. Т. 33. С. 65-71. (Исслед. по теории чисел; Т. 2).

5. Делоне Б. Н. Геометрия положительных квадратичных форм // УМН. 1937. № 3. С. 16–62; № 4. С. 102–164.

6. Kershner R. The number of circles covering a set // Amer. J. Math. 1939. V. 61. P. 665–671.

7. Bambah R. P. On lattice covering by spheres // Proc. Nat. Inst. Sci. India. 1954. V. 20. P. 25–52.

8. Делоне Б. Н., Рышков С. С. Решение задачи о наименее плотном решетчатом покрытии четырехмерного пространства равными шарами // ДАН СССР. 1963. Т. 152, № 3. С. 523–524.

9. Рышков С. С., Барановский Е. П. C-типы n-мерных решеток и пятимерные примитивные параллелоэдры (с приложением к теории покрытий) // Труды МИАН СССР. 1976. Т. 137.

10. Вороной Г. Ф. О некоторых свойствах положительных совершенных квадратичных форм // Собр. соч. Киев: Изд-во АН УССР, 1952. Т. 2. С. 171–238.

11. Рышков С. С. Эффектизация одного метода Давенпорта в теории покрытий // ДАН СССР, 1967, Т. 175, № 2. С. 303–305.

12. Smith W. D. Studies in Computational Geometry Motivated by Mesh Generation: Ph. D. Diss. Princeton Univ. 1988.

13. Baranovskii E. P. The perfect lattices Γ(An ), and the covering density of Γ(A9 ) // Europ. J. Comb. — 1994. V. 15, № 4. P. 317–323.

14. Анзин М. М. О плотности решетчатого покрытия для n = 11 и n = 14 // УМН. 2002. Т. 57, вып. 2. С. 187–188.

15. Frank Vallentin. Sphere coverings, lattices, and tilings (in Low Dimensions): D. Dissertation. Technische Universit¨at M¨unchen, 2003.

16. Анзин М. М. О плотности решетчатого покрытия для n = 13 и n = 15 // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тез. до- кл. V Междунар. конф. (Тула, 19–20 мая 2003 г.). Тула: Изд-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. 2003. С. 15–17.

17. Анзин М. М. О плотности решетчатого покрытия для n = 13 и n = 15 // Матем. заметки, 2006. Т. 79, вып. 5. С. 781–784.

18. Анзин М. М. О проблеме С. С. Рышкова в теории решетчатых покрытий n-мерного евклидова пространства // Материалы VIII Международного семинара «Дискретная математика и ее приложения». М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ. 2004. С. 374–377.

19. Coxeter H. S. M. Extreme forms // Canad. J. Math. 1951. V. 3. P. 391–441.