Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

О СОВМЕСТНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-3-295-305

Полный текст:

Аннотация

В работе рассматриваются обобщенные гипергеометрические функции и их производные (см. (2) и (3)). Изучение арифметической природы значений таких функций обычно начинается с построения функциональной линейной приближающей формы, имеющей достаточно высокий порядок нуля в начале координат. Если параметры изучаемых функций (в данном случае это числа (1)) рациональны, то построение такой формы можно осуществить с помощью принципа Дирихле. Дальнейшие рассуждения опираются на использование построенной формы, а вся схема получила название метода Зигеля, см. [1] и [2]. Если некоторые из чисел (1) иррациональны, то функции (2) и (3) не сводятся к так называемым E-функциям и применить метод Зигеля (в его классической форме) не удается, причем схема не срабатывает в самом начале: невозможно с помощью принципа Дирихле построить первую приближающую линейную функциональную форму (в ходе рассуждений по методу Зигеля используется целая совокупность таких форм). Было замечено, что в некоторых случаях первую приближающую форму можно построить эффективно (см., например, [3] и [4]). Имея в своем распоряжении такую форму можно, рассуждая по схеме Зигеля (или используя специальные свойства эффективно построенной линейной фор- мы), получить требуемые результаты. Эти результаты в смысле общности обычно значительно уступают тем, которые могут быть получены методом Зигеля, однако у метода, основанного на применении эффективных конструкций, есть и свои достоинства. Одно из них состоит в том, что этот метод во многих случаях применим и тогда, когда некоторые из параметров (1) иррациональны. Другим достоинством является б´ольшая точность оценок (если речь идет, например, об оценке мер линейной назависимости), получаемых этим методом. Все вышесказанное относится к случаю, когда рассматриваемые функции не продифференцированы по параметру. Применение метода Зигеля для продифференцированных по параметру функций (таких, например, как функции (4) и (5)) возможно, и оно было фактически осуществлено в ряде работ; см. замечания к седьмой главе книги А. Б. Шидловского [5]. Но по-прежнему здесь требуется рациональность параметров изучаемых функций, а получаемые количественные результаты недостаточно точны. Проведенные исследования показывают, что использование совместных приближений вместо построения линейной приближающей формы практически всегда дает лучшие результаты. Поэтому, хотя появление (относительно недавно) эффективных конструкций линейных приближающих форм для продифференцированных по параметру гипергеометрических функций и позволило решить ряд относящихся сюда задач, основные новые результаты были получены именно с помощью совместных приближений, которые также могут быть построены эффективно. В настоящей работе предлагается новая эффективная конструкция совместных приближений для продифференцированных по параметру ги- пергеометрических функций в однородном случае. Относительно возможных приложений этой конструкции даются лишь краткие указания: можно получить результаты о линейной независимости значений функций вида (5) в случае иррациональности некоторых из чисел (1); можно также уточнить некоторые из относящихся сюда количественных результатов.

 

Об авторе

П. Л. Иванков
Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана.
Россия


Список литературы

1. Siegel C. L. Uber einige Anwendungen Diophantischer Approximationen // ¨ Abh. Preuss. Acad. Wiss., Phys.-Math. Kl. 1929-1930. № 1. S. 1–70.

2. Siegel C. L. Transcendental numbers. Princeton: Princeton University Press, 1949.

3. Фельдман Н. И. Оценки снизу для некоторых линейных форм // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1967, № 2. С. 63–72.

4. Галочкин А. И. Оценки снизу линейных форм от значений некоторых гипергеометрических функций // Математические заметки. 1970. Т. 8, № 1. С. 19–28.

5. Шидловский А. Б. Трансцендентные числа. — М.: Наука, 1987.

6. Иванков П. Л. О дифференцировании гипергеометрической функции по параметру // Фундаментальная и прикладная математика. 2010. Т. 16, вып. 6. С. 91–94.

7. Иванков П. Л. О значениях продифференцированных по параметру гипергеометрических функций // Чебышевский сборник. 2012. Т. 13, вып. 2. С. 64–70.

8. Иванков П. Л. О дифференцировании по параметру некоторых функций // Наука и образование: электронное научно-техническое издание. 2012, № 5. С. 141–156.

9. Иванков П. Л. О линейной независимости некоторых функций // Чебышевский сборник. 2010. Т. 11, вып. 1. С. 145–151.

10. Иванков П. Л. Об использовании совместных приближений для изучения арифметической природы значений гипергеометрических функций // Наука и образование: электронное научно-техническое издание. 2012. № 12. С. 135–142.

11. Иванков П. Л. Об использовании теории делимости в квадратичных полях для получения оценок некоторых линейных форм // Наука и образование: электронное научно-техническое издание. 2013. № 11. С. 129–140.

12. Иванков П. Л. О значениях некоторых функций, удовлетворяющих однородным дифференциальным уравнениям // Чебышевский сборник. 2013. Т. 14, вып. 2. С. 104–112.

13. Иванков П. Л. О некоторых линейных формах // Чебышевский сборник. 2013. Т. 14, вып. 3. С. 56–64.

14. Иванков П. Л. Уточнение некоторых оценок для значений гипергеометрических функций // Наука и образование: электронное научно-техническое издание. 2014. № 4. С. 175–186.

15. Фельдман Н. И. Седьмая проблема Гильберта. — М.: Издательство Московского университета. 1982.


Для цитирования:


Иванков П.Л. О СОВМЕСТНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ. Чебышевский сборник. 2015;16(3):295-305. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-3-295-305

For citation:


Ivankov P.L. ON SIMULTANEOUS APPROXIMATIONS. Chebyshevskii Sbornik. 2015;16(3):295-305. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-3-295-305

Просмотров: 93


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)