ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ В ИНТЕГРАЛЬНЫХ ФОРМУЛАХ

Одним из мощных средств исследования в комплексном анализе являются интегральные представления. Теория аналитических функций комплексного переменного построена в большей степени на основе интегральной формулы Коши [1]. Значительным классом некорректно поставленных задач, возникших в физике, технике и других областях знаний, являются так называемые обратные задачи [2] — [4]. Автором [5] — [6] для функции f(z), голоморфной в круге KR : |z| < < R, установлена интегральная формула (она в данной статье приведена во введении как формула (1)), являющаяся решением обратной задачи для интегральной формулы Коши в круге KR. Формула (1), в отличие от формулы Коши, по значениям функции f(z) на любой окружности Cr : |z| = r (0 < r < R), лежащей в круге KR, или на произвольной замкнутой кусочно-гладкой линии, охватывающей начало координат и содержащейся внутри окружности CR — границы круга KR, выражает ее значения во всех остальных точках круга KR. В [5] получены и решения обратных задач для формул Пуассона [1] и Шварца [7], а в [5] — [6] — и для формул производных формулы Коши [1]. Обратная задача для интегральной формулы Пуассона использована [8] для обобщения формулы Пуассона — Иенсена [7], из которого формулы Пуассона — Иенсена и Иенсена вытекают как частные случаи. Аналогично использована [9] и обратная задача для обобщения формулы Шварца — Иенсена [7]. В случае кольца D: r < |z| < R установлено [10] интегральное пред- ставление (в [10] это формула (1)) для голоморфной в области D функции f(z), которая, в отличие от формулы Коши для кольца, по значениям f(z) на произвольной замкнутой кусочно-гладкой линии, охватывающей начало координат и содержащейся внутри кольца D, выражает её значения во всех остальных точках этого кольца, т.е. в [10] решена обратная задача для формулы Коши и в случае кольца D. В статье [11] в случае круга KR найдено решение обратных задач для интегральных формул, приведённых в [12] (в [12] это формулы (3) и (4)), ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ В ИНТЕГРАЛЬНЫХ ФОРМУЛАХ справедливые для функций, голоморфных в звёздной области относительно начала координат. Формула Коши имеет место и в случае многих комплексных перемен- ных ( см., например, [13]). В статье [14] в случае поликруга ER = E(R1, . . . , Rn) = {z = (z1, . . . , zn) : |z1| < R1, . . . , |zn| < Rn} решены обратные задачи как для формулы Коши, так и для вытекающих из неё формул (аналогичные формулам Шварца и Пуассона в случае одного комплексного переменного). Решены обратные задачи [15] и в случае интегральных формул Тем- лякова (об этих формулах см., например, [16]). Наконец, в настоящей статье в случае выпуклой области и круга (соот- ветственно теорема 2 и 3) установлены новые интегральные представления (3) и (5), из которых (3) есть интегральное представление для функций, голоморфных в выпуклой области, а (5) — решение обратной задачи для интегрального представления (3) в круге KR.

1. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Высшая школа, 1999. 432 с.

2. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с .

3. Лаврентьев М. М., Романов В. Г. , Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 286 с.

4. Марчук Г. И. О постановке обратных задач // ДАН СССР. 1964. Т. 156, № 3. С. 503–506.

5. Баврин И. И. Интегральные представления аналитических и гармонических в круге функций // ДАН. 2008. Т. 421, № 3, С. 299–301.

6. Баврин И. И. Обратные задачи для интегральной формулы Коши и для формул для производных интеграла Коши // ДАН. 2008. Т. 422, № 2. С. 155– 156.

7. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. М.: Наука, 1968. 624 с.

8. Баврин И. И. Обобщение формулы Пуассона-Иенсена // ДАН. 2010. Т. 431, № 2. С. 154–156.

9. Баврин И. И. Обобщение формулы Шварца—Иенсена // ДАН. 2010. Т. 433, № 4. С. 439–440.

10. Баврин И. И. Обратная задача для интегральной формулы Коши в кольце // ДАН. 2009. Т. 428, № 2. С. 151–152.

11. Баврин И. И. Обратные задачи в интегральных формулах // ДАН. 2013. Т. 450, №3. С. 257–259.

12. Баврин И. И. Интегральные представления в звездных областях // ДАН. 2012. Т. 447, №4. С. 359–360.

13. Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1964. 412 с.

14. Баврин И. И. Обратные задачи для интегральных формул Коши, Шварца и Пуассона в поликруге // ДАН. 2010. Т. 434, №6, С. 727–729.

15. Баврин И. И. Интегральные представления в кратно-круговых областях. Обратные задачи // ДАН. 2011. Т. 441, №5. С. 583–587.

16. Баврин И. И. Операторный метод в комплексном анализе. М.: Прометей, 1991. 200 с.