СВОБОДНЫЕ КОММУТАТИВНЫЕ g-ДИМОНОИДЫ

Диалгеброй называется векторное пространство, снабжённое двумя би- нарными операциями ⊣ и ⊢, удовлетворяющими следующим аксиомам: (D1) (x ⊣ y) ⊣ z = x ⊣ (y ⊣ z), (D2) (x ⊣ y) ⊣ z = x ⊣ (y ⊢ z), (D3) (x ⊢ y) ⊣ z = x ⊢ (y ⊣ z), (D4) (x ⊣ y) ⊢ z = x ⊢ (y ⊢ z), (D5) (x ⊢ y) ⊢ z = x ⊢ (y ⊢ z). Это понятие было введено Лодэ во время изучения феномена периодичности в алгебраической K-теории. Алгебры Лейбница являются некоммутативной версией алгебр Ли, а диалгебры – версией ассоциативных ал- гебр. Напомним, что любая ассоциативная алгебра даёт алгебру Ли, если положить [x, y] = xy −yx. Диалгебры связаны с алгебрами Лейбница аналогично тому как связаны между собой ассоциативные алгебры и алгебры Ли. Диалгебра является линейным аналогом димоноида. Если операции димоноида совпадают, то он превращается в полугруппу. Таким образом, димоноиды обобщают полугруппы. Пожидаев и Колесников рассмотрели понятие 0-диалгебры, то есть векторного пространства, снабжённого двумя бинарными операциями ⊣ и ⊢, удовлетворяющими аксиомам (D2) и (D4). Это понятие имеет связи с алгебрами Рота-Бакстера, а именно известна структура алгебр Рота- Бакстера, возникающих на 0-диалгебрах. Понятие ассоциативной 0-диалгебры, то есть 0-диалгебры с двумя бинарными операциями ⊣ и ⊢, удовлетворяющими аксиомам (D1) и (D5), является линейным аналогом понятия g-димоноида. Для того, чтобы получить g-димоноид, мы должны опустить аксиому (D3) внутренней ассоциативности в определении димоноида. Аксиомы димоноида и g-димоноида появляются в тождествах триалгебр и триоидов, введенных Лодэ и Ронко. Класс всех g-димоноидов образует многообразие. Строение свободных g-димоноидов и свободных n-нильпотентных g-димоноидов было описано в статье второго автора. Класс всех коммутативных g-димоноидов, то есть g-димоноидов с коммутативными операциями, образует подмногообразие многообразия g-димоноидов. Свободный димоноид в многообразии коммутативных димоноидов был построен в статье первого автора. В этой статье мы строим свободный коммутативный g-димоноид, а также описываем наименьшую коммутативную конгруэнцию на свободном g-димоноиде.

1. Pozhidaev A. P. 0-dialgebras with bar-unity and nonassociative Rota-Baxter algebras // Sib. Math. J. 2009. Vol. 50, no. 6. P. 1070–1080.

2. Kolesnikov P. S. Varieties of dialgebras and conformal algebras // Sib. Math. J. 2008. Vol. 49, no. 2. P. 257–272.

3. Loday J.-L. Dialgebras. In: Dialgebras and related operads // Lecture Notes in Math. Berlin: Springer-Verlag. 2001. Vol. 1763. P. 7–66.

4. Frabetti A. Dialgebra (co)homology with coefficients. In: Dialgebras and related operads // Lecture Notes in Math. Berlin: Springer-Verlag. 2001. Vol. 1763. P. 67–103.

5. Bokut L. A., Chen Y., Liu C. Gr¨obner-Shirshov bases for dialgebras // Int. J. Algebra Comput. 2010. Vol. 20, no. 3. P. 391–415.

6. Kolesnikov P. S., Voronin V. Yu. On the special identities for dialgebras // Linear and Multilinear Algebra. 2013. Vol. 61, no. 3. P. 377–391.

7. Zhuchok A. V. Dimonoids // Algebra and Logic. 2011. Vol. 50, no. 4. P. 323–340.

8. Movsisyan Y., Davidov S., Safaryan Mh. Construction of free g-dimonoids // Algebra and Discrete Math. 2014. Vol. 18, no. 1. P. 138–148.

9. Zhuchok Yul. V. On one class of algebras // Algebra and Discrete Math. 2014. Vol. 18, no. 2. P. 306–320.

10. Loday J.-L., Ronco M. O. Trialgebras and families of polytopes // Contemp. Math. 2004. Vol. 346. P. 369–398.

11. Casas J. M. Trialgebras and Leibniz 3-algebras // Bolet´ın de la Sociedad Matem´atica Mexicana. 2006. Vol. 12, no. 2. P. 165–178.

12. Zhuchok A. V. Semiretractions of trioids // Ukr. Math. J. 2014. Vol. 66, no. 2. P. 218–231.

13. Zhuchok A. V. Free commutative dimonoids // Algebra and Discrete Math. 2010. Vol. 9, no. 1. P. 109–119.

14. Жучок А. В. Елементи теорiї дiмоноїдiв // Математика та її застосування. Працi Iнституту математики НАН України, Київ. 2014. Т. 98. 304 с.

15. Zhuchok A. V. Semilattices of subdimonoids // Asian-Eur. J. Math. 2011. Vol. 4, no. 2. P. 359–371.