КОЛЬЦА ФОРМАЛЬНЫХ МАТРИЦ И ОБОБЩЕНИЕ АЛГЕБРЫ ИНЦИДЕНТНОСТИ

Аннотация

В работе приведена конструкция обобщающая алгебры инцидентности на случай колец формальных матриц. Вводятся аналоги частичного порядка и предпорядка — частичный η-порядок и η-предпорядок. Рассмотрен вопрос обратимости элементов обобщенной алгебры инцидентности. Приведен алгоритм нахождения обратного элемента алгебры и явная формула, верная, в частности, и для алгебр инцидентности. Подробно рассмотрен случай обобщенной алгебры инцидентности над полем. В этом случае η-предпорядок допускает введение отношения эквивалентности на нем, которое индуцирует блочную структуру обобщенной алгебры инцидентности. Как и в случае алгебры инцидентности, существует тесная связь между алгебрами над частичными η-порядками и над η-предпорядками. Так, если известны размеры классов эквивалентности, то алгебра над η-предпорядком с точностью до изоморфизма восстанавливается по соответствующей алгебре над частичным η-порядком. Показано, что обобщенную алгебру инцидентности можно вложить как подалгебру в соответствующее кольцо формальных матриц над тем же множеством. Изучена проблема изоморфизма и показано, что она сводится к проблеме изоморфизма для обобщенных алгебр инцидентности над частичным η-порядком. Было найдено частичное решение этой проблемы. Введена функция Мебиуса обобщенной алгебры инцидентности. Приведен аналог формулы обращения Мебиуса и показано, что основные свойства остаются верными и для обобщенной алгебры инцидентности. Особый интерес представляют обобщенные алгебры инцидентности с {0, 1}-мультипликативной системой. Есть основания полагать, что над полем они исчерпывают все обобщенные алгебры инцидентности.