Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ПО ПАРАМЕТРУ

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-3-285-294

Полный текст:

Аннотация

Исследование арифметической природы значений продифференцированных по параметру обобщенных гипергеометрических функций проводилось во многих работах, см. [1]–[7], а также соответствующие главы в книгах [8] и [9]. Первоначально для этих целей использовался метод Зигеля. Этот метод применим для исследования гипергеометрических функций с рациональными параметрами и c его помощью были получены результаты о трансцендентности и алгебраической независимости значений таких функций, а также соответствующие количественные результаты (например, оценки мер алгебраической независимости). Возможности применения метода Зигеля в случае гипергеометрических функций с иррациональными параметрами ограничены. В классической форме метод Зигеля не удается применить в этой ситуации, и здесь потребовались некоторые дополнительные соображения. Следует, однако, отметить, что наиболее общие результаты об арифметической природе значений гипергеометрических функций с иррациональными параметра- ми получены с помощью метода Зигеля (в модифицированном виде, см. поэтому поводу [10] и [11]). Здесь речь не идет об алгебраической независимости и приходится ограничиться лишь результатами о линейной независимости соответствующих значений. Рассуждения по методу Зигеля начинаются с построения функциональной линейной приближающей формы, имеющей в начале координат достаточно высокий порядок нуля. Такая форма строится с помощью принципа Дирихле. Именно невозможность провести соответствующее рассуждение для функций с иррациональными параметрами служит препятствием при попытках применить метод Зигеля в случае иррациональных параметров. Уже давно было замечено, что в некоторых случаях линейную приближающую форму можно построить эффективно, указав явные формулы для ее коэффициентов. Этот метод значительно уступает методу Зигеля в общности получаемых результатов. Однако, именно с помощью метода, основанного на эффективном построении линейных приближающих форм, были получены наиболее точные оценки снизу модулей линейных форм от значений гипергеометрических функций, а также во многих случаях были получены результаты об арифметической природе значений таких функций в случае иррациональных параметров (см., например, [12]). Эффективная конструкция линейных приближающих форм для функций (2) была предложена в работе [13]. Эта конструкция использовала контурный интеграл, который применялся ранее для получения результатов об оценках линейных форм от значений гипергеометрических функций с различными параметрами, см. [14]. В настоящей работе предлагается новый подход к построению линейной приближающей формы для функций (2). Используется связь между гипергеометрическими функциями различных типов, которая позволяет упомянутое построение линейной приближающей формы свести к более простой задаче. В заключении даны краткие указания относительно возможных приложений.

 

Об авторе

П. Л. Иванков
Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана
Россия


Список литературы

1. Белогривов И. И. О трансцендентности и алгебраической независимости значений некоторых E-функций // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1967, № 2. С. 55–62.

2. Белогривов И. И. О трансцендентности и алгебраической независимости значений некоторых гипергеометрических E-функций // Математический сборник. 1970. Т. 82 (124), № 3(7). С. 387–408.

3. Белогривов И. И. О трансцендентности и алгебраической независимости значений E-функций одного класса // Сибирский математический журнал. 1973. Т. 14, № 1. С. 16–35.

4. V¨a¨an¨anen K. On a cojecture of Mahler concerning the algebraic independence of the values of some E-functions // Ann. Acad. Sci. Fennicae. Ser. A. Math. 1972. Vol. 512. P. 3–46.

5. V¨a¨an¨anen K. On the transcendence and algebraic independence of the values of certain E-functions // Ann. Acad. Sci. Fennicae. Ser. A. Math. 1973. Vol. 537. P. 3–15.

6. V¨a¨an¨anen K. On the algebraic independence of some E-functions related to Kummer’s functions // Ann. Acad. Sci. Fennicae. Ser. A. Math. 1975. Vol. 1. P. 183–194.

7. V¨a¨an¨anen K. On the algebraic independence of the values of some E-functions // Ann. Acad. Sci. Fennicae. Ser. A. Math. 1975. Vol. 1. P. 93–109.

8. Mahler K. Lectures on Transcendental Numbers. Berlin: Springer Verlag. 1976.

9. Шидловский А. Б. Трансцендентные числа. — М.: Наука. 1987.

10. Галочкин А. И. О некотором аналоге метода Зигеля //Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. — 1986, № 2. — С. 30–34.

11. Иванков П. Л. О линейной независимости значений целых гипергеометрических функций // Сибирский математический журнал. — Том 34, № 5. — 1993. — С. 53–62.

12. Галочкин А. И. О неулучшаемых по высоте оценках некоторых линейных форм // Математический сборник. 1984. Т. 124 (166), № 3(7). С. 416–430.

13. Иванков П. Л. О дифференцировании гипергеометрической функции по параметру // Фундаментальная и прикладная математика. Т. 16, выпуск 6. 2010. С. 91–94.

14. Иванков П. Л. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций с различными параметрами // Математические заметки. Т. 52, выпуск 6. 1992. С. 25–31.

15. Иванков П. Л. О линейной независимости значений некоторых функций // Фундаментальная и прикладная математика. 1995. Т. 1, № 1. С. 191-206.


Для цитирования:


Иванков П.Л. О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ПО ПАРАМЕТРУ. Чебышевский сборник. 2015;16(3):285-294. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-3-285-294

For citation:


Ivankov P.L. ON DIFFERENTIATION WITH RESPECT TO PARAMETER. Chebyshevskii Sbornik. 2015;16(3):285-294. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-3-285-294

Просмотров: 85


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)