Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ А. В. МАЛЫШЕВА О ЦЕЛЫХ ТОЧКАХ НА МНОГОМЕРНЫХ ГИПЕРБОЛОИДАХ

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-3-209-218

Полный текст:

Аннотация

В этой работе дается некоторое развитие ранее проведенных исследований по задаче А. В. Малышева о числе целых точек, лежащих в некоторых областях на многомерных гиперболоидах. А. В. Малышевым [1] ставилась задача получения асимптотических формул для количества целых точек в областях типа Де Лури на многомерных гиперболоидах. Де Лури [3] в случае четырехмерной гиперболической поверхности p (x1, . . . , x4) = ∑ 4 k=1 akx 2 k − m = 0, m ̸= 0 в области Ωp(L) на ней определяемой неравенством ∑ 4 k=1 |ak| x 2 k 6 L получил асимптотическую формулу (при L → ∞ фиксированных a1, a2, a3, a4, и m) для величины R (Ωp(L)), равной количеству целых точек в об- ласти Ωp(L) на указанном гиперболоиде, но при этом остаточной формулы Де Лури не оценивает. В дальнейшем в [1] дается обобщение этого результата на многомерный гиперболоид, задаваемый уравнением p = p (x1, . . . , xs) = ∑s k=1 akx 2 k + ∑s k=1 bkxk + c = 0, где ak, bk, (k = 1, . . . , s), c ̸= 0 — целые числа, причем коэффициенты ak не все одного знака, а область Ωp(L) на этом гиперболоиде задается неравенством ∑s k=1 |ak| x 2 k 6 L. В развитие указанной задачи А. В. Малышева мы в уравнении гипер- болоида рассматриваем квадратичную форму, эквивалентную диагональ- ной, а область Ωp(L) : ∑s k=1 |ak| x 2 k 6 L заменяется на область ∑s i=1 { Q (1) i (xi , yi) + Q (2) i (zi , ti) } 6 L, где Q (1) i и Q (2) i — бинарные квадратичные формы, эквивалентные диаго- нальным формам. Обозначим через R (Ωp (L), s) количество целых точек, лежащих в об- ласти Ωp (L) на 4s-мерном гиперболоиде ∑s i=1 { Q (1) i (xi , yi) − Q (2) i (zi , ti) } = h, где Q (1) i (xi , yi), Q (2) i (zi , ti) — положительные целочисленные бинарные квадратичные формы дискриминанта d; h ̸= 0, при этом эти формы считаем эквивалентными диагональным. При выводе нашего асимптотического результата о величине R (Ωp, L) используется теорема о взвешенном числе целых точек Ih(n, s) из [2] при n → ∞ и комплексный вариант тауберовой теоремы с остаточным членом для степенных рядов (см. [5, 6]). Отметим также, что полученный нами результат аналогичен одному результату Дэвенпорта [7] по обобщенной проблеме Варинга при показа- теле k = 2, но при таком значении k наше уравнение гиперболической поверхности имеет несколько более общий вид.

 

 

Об авторе

Р. А. Дохов
Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова
Россия


Список литературы

1. Малышев А. В. О взвешенном количестве целых точек, лежащих на поверхности второго порядка // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1966. Т. 1. С. 6–83.

2. Дохов Р. А., Пачев У. М. О взвешенном числе целых точек на некоторых многомерных гиперболоидах // Чебышевский сборник. 2015. Т. 16, вып. 3(55). С. 219–245.

3. De Lury D. B. On the representation of number by the indefinite form ax2 + by2 + cz2 + dt2 // Univ. of Toronto Studies. math. ser., № 5, 1938, P. 1–17.

4. Estermann T. A. New application of the Hardy-Littlewood-Kloosterman method. Proc. Math. Soc. 1962, 12, № 3, p. 425–444.

5. Постников А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Изд-во «Наука». 1971. 416 с.

6. Субханкулов М. А. Некоторые общие тауберовы теоремы с остаточным членом // Тр. Матем. инст. АН СССР. 1961. Т. 64. С. 239–266.

7. Davenport H. Analitic Methods for Diophantine Equations and Diophantine Inequalities. 2004. 135 p.

8. Малышев А. В. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами // Труды Математического ин-та АН СССР. Т. 65 (1962). 212 с.

9. Голубева Е. П. Асимптотика числа целых точек на некоторых эллипсоидах // Мат. заметки. 1972. Т. 11, № 6. С. 625–634.

10. Мякишев В. П. Распределение примитивных целых точек на некоторых конусах // ДАН СССР. 1962. Т. 143. С. 785–786.

11. Виноградов А. И. О продолжимости в левую полуплоскость скалярного произведения L-рядов Гекке с характерами величины // Изв. АН СССР, сер. матем. 1965/ Т. 29. С. 485–492.

12. Мороз Б. З. Распределение целых точек на многомерных гиперболоидах и конусах // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1966/ Т. 1. С. 84–113.

13. Головизин В. В. О распределении целых точек на гиперболических поверхностях второго порядка // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1981. Т. 106. С. 52–69.

14. Ingham A. E. Some asymptotic formulae in the theory of numbers // J. London. Math. Soc. 1927. Vol. 2 (7). P. 202–208.

15. Архипов Г. И., Чубариков В. Н. Об аддитивной проблеме делителей Ингама // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. 2006. № 5. С. 32–35.

16. Freud G. Restglied eines Tauberscher Satzes // J. Acta Math. Acad. Scient. Hungaricae 2. 1951. № 3–4. P. 299–308.


Для цитирования:


Дохов Р.А. ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ А. В. МАЛЫШЕВА О ЦЕЛЫХ ТОЧКАХ НА МНОГОМЕРНЫХ ГИПЕРБОЛОИДАХ. Чебышевский сборник. 2015;16(3):209-218. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-3-209-218

For citation:


Dokhov R.A. ON A PROBLEM OF MALYSHEV A. V. OF INTEGER POINTS ON MULTIDIMENSIONAL HYPERBOLOIDS. Chebyshevskii Sbornik. 2015;16(3):209-218. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-3-209-218

Просмотров: 98


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)