Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОЧЕК В ОБЛАСТЯХ МАЛОЙ МЕРЫ И ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-3-78-94

Полный текст:

Аннотация

Задачи о распределении точек с рациональными координатами явились естественными обобщениями задач о целых точках в выпуклых областях. Оценки сверху и снизу для количества рациональных точек на окружности были использованы в задаче о размерности Хаусдорфа множества точек окружности с заданным порядком приближаемых точками с рациональными координатами. За последние 15 лет в работах М. Хаксли, В. И. Берника, В. В. Бересневича, С. Велани, Р. Вогана были найдены двухсторонние асимптотические оценки для количества рациональных то- чек вблизи гладких кривых и поверхностей. Пусть I = [a, b] ∈ R – некоторый интервал, y = f(x) – дважды непрерывно дифференцируемая функция, которая при c2 > c1 > 0 удовлетво- ряет неравенству c1 < |f ′′(x)| < c2 для всех x ∈ I. Для произвольного γ, 0 ≤ γ < 1 и достаточно большого Q обозначим через AI (Q, γ) множество рациональных точек Γ = ( p1 q , p2 q ) , aq ≤ p1 ≤ bq, 1 ≤ q ≤ Q, для которых выполняется неравенство f ( p1 q ) − p2 q < Q−1−γ . Множество AI (Q, γ) состоит из точек внутри полосы ширины 2Q−γ вдоль кривой y = f(x), x ∈ I. Естественно ожидать, что величина #AI (Q, γ) имеет порядок Q3−γ , что в конце концов было доказано с использованием методов геометрии чисел и метрической теории диофантовых приближе- ний. Недавно [1] были получены оценки снизу для количества точек ви- да α¯ = (α1, α2) ∈ R 2 , где α1, α2 — сопряженные действительные алгеб- раические числа произвольной степени deg α1 = deg α2 = n и высоты H(α1) = H(α2) ≤ Q, в полосе шириной c(n)Q−γ , 0 ≤ γ ≤ 1 2 , Q > Q0(n) около любой гладкой кривой y = f(x). В данной работе получены новые результаты о распределении точек с алгебраическими сопряженными действительными и комплексными координатами. В частности, получено обобщение и вышеуказанного результата. Основу доказательства составляет метрическая теорема о диофантовых приближениях в областях G малой меры µG < c2(n)Q−γ1 , 0 ≤ γ1 ≤ 1 3 .

 

 

Об авторах

В. И. Берник
Институт математики НАН Беларуси
Беларусь


А. Г. Гусакова
Институт математики НАН Беларуси
Беларусь


А. В. Устинов
Хабаровское отделение Института прикладной математики ДО РАН
Россия


Список литературы

1. Bernik V., Goetze F., Kukso O. On algebraic points in the plane near smooth curves // Lith. Math. Journal. 2014. Vol. 54, № 3. P. 231–251.

2. Schmidt W. T-numbers do exist // Symposia Mathematica, IV (INDAM, Rome, 1968/1969). 1970. P. 3–26.

3. Бударина Н. В., Берник В. И., О’Доннелл Х. Действительные алгебраические числа третьей степени в коротких интервалах // Докл. НАН Беларуси. 2012. Т. 57, № 4. С. 23–26.

4. Beresnevich V., Bernik V., Goetze F. The distribution of close conjugate algebraic numbers // Compos. Math. 2010. Vol. 146, № 5. P. 1165–1179.

5. Бересневич В. В., Берник В. И., Гетце Ф. О распределении значений результантов целочисленных полиномов // Доклады НАН Беларуси. 2010. Т. 54, № 5. С. 21–23.

6. Бересневич В. В., Берник В. И., Гетце Ф. Совместные приближения нуля целочисленным многочленом, его производной и малые значения дискриминантов // Доклады НАН Беларуси. 2010. Т. 54, № 2. С. 26—27.

7. Beresnevich V. Rational points ear manifolds and metric Diophantine approximation // Ann. of Math. 2012. Vol. 175, № 1. P. 187–235.

8. Bugeaud Y. Approximation by algebraic numbers // Cambridge Tracts in Mathematics. 2004. Vol. 160. Cambridge University Press. Cambridge. 274 p.

9. Фельдман Н. И. Аппроксимация некоторых трансцендентных чисел. I. Ап- проксимация логарифмов алгебраических чисел // Изв. АН СССР. 1951. Т. 15, № 1. С. 53–74.

10. Спринджук В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел. Минск: Наука и техника, 1967. 184 с.

11. Берник В. И. Применение размерности Хаусдорфа в теории диофантовых приближений // Acta Arith. 1983. Vol. 42, № 3. P. 219–253.

12. Beresnevich V. V., Vaughan R. C., Velani S. L. Inhomogeneous Diophantine approximation on planar curves // Math. Ann. 2011. Vol. 349, № 4. P. 929–942.

13. Beresnevich V., Dickinson D., Velani S. Diophantine approximation on planar curves and the distribution of rational points // Ann. of Math. 2007. Vol. 166, № 2. P. 367–426.

14. Bernik V., Beresnevich V., Goetze F., Kukso O. Distribution of algebraic numbers and metric theory of Diophantine approximation. Limit theorems in probability, statistics and number theory // Springer Proc. Math. Stat. 42, Springer, Heidelberg. 2013. P. 23–48.

15. Beresnevich V., Zorin E. Explizit bounds for rational points near planar curves and metric Diophantine approximation // Adv. Math. 2010. Vol. 225, № 6. P. 3064–3087.

16. Budarina N. V. The Mahler problem with nonmonotone right-hand side in field of complex numbers // Math. Notes. 2013. Vol. 93, № 5-6, P. 812–820.


Для цитирования:


Берник В.И., Гусакова А.Г., Устинов А.В. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОЧЕК В ОБЛАСТЯХ МАЛОЙ МЕРЫ И ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТЕЙ. Чебышевский сборник. 2015;16(3):78-94. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-3-78-94

For citation:


Bernik V.I., Gusakova A.G., Ustinov A.V. DISTRIBUTION OF ALGEBRAIC POINTS IN DOMAINS OF SMALL MEASURE AND NEAR THE SURFACES. Chebyshevskii Sbornik. 2015;16(3):78-94. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-3-78-94

Просмотров: 83


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)