РАСПРЕДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОЧЕК В ОБЛАСТЯХ МАЛОЙ МЕРЫ И ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Задачи о распределении точек с рациональными координатами явились естественными обобщениями задач о целых точках в выпуклых областях. Оценки сверху и снизу для количества рациональных точек на окружности были использованы в задаче о размерности Хаусдорфа множества точек окружности с заданным порядком приближаемых точками с рациональными координатами. За последние 15 лет в работах М. Хаксли, В. И. Берника, В. В. Бересневича, С. Велани, Р. Вогана были найдены двухсторонние асимптотические оценки для количества рациональных то- чек вблизи гладких кривых и поверхностей. Пусть I = [a, b] ∈ R – некоторый интервал, y = f(x) – дважды непрерывно дифференцируемая функция, которая при c2 > c1 > 0 удовлетво- ряет неравенству c1 < |f ′′(x)| < c2 для всех x ∈ I. Для произвольного γ, 0 ≤ γ < 1 и достаточно большого Q обозначим через AI (Q, γ) множество рациональных точек Γ = ( p1 q , p2 q ) , aq ≤ p1 ≤ bq, 1 ≤ q ≤ Q, для которых выполняется неравенство f ( p1 q ) − p2 q < Q−1−γ . Множество AI (Q, γ) состоит из точек внутри полосы ширины 2Q−γ вдоль кривой y = f(x), x ∈ I. Естественно ожидать, что величина #AI (Q, γ) имеет порядок Q3−γ , что в конце концов было доказано с использованием методов геометрии чисел и метрической теории диофантовых приближе- ний. Недавно [1] были получены оценки снизу для количества точек ви- да α¯ = (α1, α2) ∈ R 2 , где α1, α2 — сопряженные действительные алгеб- раические числа произвольной степени deg α1 = deg α2 = n и высоты H(α1) = H(α2) ≤ Q, в полосе шириной c(n)Q−γ , 0 ≤ γ ≤ 1 2 , Q > Q0(n) около любой гладкой кривой y = f(x). В данной работе получены новые результаты о распределении точек с алгебраическими сопряженными действительными и комплексными координатами. В частности, получено обобщение и вышеуказанного результата. Основу доказательства составляет метрическая теорема о диофантовых приближениях в областях G малой меры µG < c2(n)Q−γ1 , 0 ≤ γ1 ≤ 1 3 .

1. Bernik V., Goetze F., Kukso O. On algebraic points in the plane near smooth curves // Lith. Math. Journal. 2014. Vol. 54, № 3. P. 231–251.

2. Schmidt W. T-numbers do exist // Symposia Mathematica, IV (INDAM, Rome, 1968/1969). 1970. P. 3–26.

3. Бударина Н. В., Берник В. И., О’Доннелл Х. Действительные алгебраические числа третьей степени в коротких интервалах // Докл. НАН Беларуси. 2012. Т. 57, № 4. С. 23–26.

4. Beresnevich V., Bernik V., Goetze F. The distribution of close conjugate algebraic numbers // Compos. Math. 2010. Vol. 146, № 5. P. 1165–1179.

5. Бересневич В. В., Берник В. И., Гетце Ф. О распределении значений результантов целочисленных полиномов // Доклады НАН Беларуси. 2010. Т. 54, № 5. С. 21–23.

6. Бересневич В. В., Берник В. И., Гетце Ф. Совместные приближения нуля целочисленным многочленом, его производной и малые значения дискриминантов // Доклады НАН Беларуси. 2010. Т. 54, № 2. С. 26—27.

7. Beresnevich V. Rational points ear manifolds and metric Diophantine approximation // Ann. of Math. 2012. Vol. 175, № 1. P. 187–235.

8. Bugeaud Y. Approximation by algebraic numbers // Cambridge Tracts in Mathematics. 2004. Vol. 160. Cambridge University Press. Cambridge. 274 p.

9. Фельдман Н. И. Аппроксимация некоторых трансцендентных чисел. I. Ап- проксимация логарифмов алгебраических чисел // Изв. АН СССР. 1951. Т. 15, № 1. С. 53–74.

10. Спринджук В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел. Минск: Наука и техника, 1967. 184 с.

11. Берник В. И. Применение размерности Хаусдорфа в теории диофантовых приближений // Acta Arith. 1983. Vol. 42, № 3. P. 219–253.

12. Beresnevich V. V., Vaughan R. C., Velani S. L. Inhomogeneous Diophantine approximation on planar curves // Math. Ann. 2011. Vol. 349, № 4. P. 929–942.

13. Beresnevich V., Dickinson D., Velani S. Diophantine approximation on planar curves and the distribution of rational points // Ann. of Math. 2007. Vol. 166, № 2. P. 367–426.

14. Bernik V., Beresnevich V., Goetze F., Kukso O. Distribution of algebraic numbers and metric theory of Diophantine approximation. Limit theorems in probability, statistics and number theory // Springer Proc. Math. Stat. 42, Springer, Heidelberg. 2013. P. 23–48.

15. Beresnevich V., Zorin E. Explizit bounds for rational points near planar curves and metric Diophantine approximation // Adv. Math. 2010. Vol. 225, № 6. P. 3064–3087.

16. Budarina N. V. The Mahler problem with nonmonotone right-hand side in field of complex numbers // Math. Notes. 2013. Vol. 93, № 5-6, P. 812–820.