НАПРЯЖЁННОСВЯЗАННЫЕ КОНСТРУКЦИИ

Рассматриваются идеальные конструкции, составленные из жестких рычагов, нерастяжимых веревок и несжимаемых распорок. По английски такие конструкции называют „tensegrity frameworks“, что можно перевести как напряженносвязанные конструкции. В частном случае конструкций, составленных из одних лишь рычагов, — это обычные шарнирно- рычажные конструкции. В последнее время напряженносвязанные конструкции все шире применяются в архитектуре и строительстве, например, строительстве мостов. В русской инженерной литературе они называются вантовыми. В англоязычной математической литературе геометрические свойства таких конструкций изучаются с семидесятых годов прошлого века. Данная статья, по-видимому, первая в отечественной математической литературе, посвященная этому вопросу. Она носит ознакомительно-обзорный характер. Вводится математическая формализация напряженносвязанных конструкций в духе работ автора по шарнирно-рычажным конструкциям. Эта формализация включает оригинальную терминологию, вовсе не сводящуюся к заимствованию английских слов. Рассматриваются лишь незакрепленные конструкции. Стяжками называем конструкции, допускающие внутреннее напряжение, и не допускающие непрерывной деформации с изменением формы. Возникает понятие определенной стяжки, то есть такой, которую из данных элементов можно собрать в заданном порядке единственным способом, с точностью до движений в пространстве как жесткого целого. Естественно возникает и понятие вполне определенной стяжки, как стяжки определенной не только в том евклидовом пространстве, где она построена, но и во всех евклидовых пространствах большего числа измерений. Основное внимание уделяется задаче — когда стяжка является определенной? Для решения задачи эффективен метод рассмотрения определенным образом выбранной функции – потенциальной энергии конструкции. Ищутся конструкции, для которых эта потенциальная энергия минимальна. Метод подробно изложен в статье. Приведено доказательство основной теоремы, дающей достаточное условие сверхопределённости стяжки. Фундаментальное значение в исследовании играет рассмотрение внутренних напряжений конструкции и ее матрицы напряжений, через которую записывается потенциальная энергия. Приведены примеры применения этой теоремы к плоским и пространственным конструкциям. В целом данная тематика еще недостаточно разработана, и в настоящее время активно развивается. В конце статьи приведены открытые вопросы.

1. Ковалев, М.Д. Геометрическая теория шарнирных устройств // Изв. РАН Сер. матем. 58 : 1, 1994, C. 45–70.

2. Ковалев М.Д., Вопросы геометрии шарнирных устройств и схем // Вестник МГТУ. Серия Машиностроение. № 4, 2001, C. 33–51.

3. Ковалев, М.Д. О распрямленных шарнирных конструкциях.// Математический сборник. т.195, № 6, 2004, С. 71 – 98.

4. Connelly R. Rigidity and Energy // Invent. Math. v.66, № 1, 1982, P. 11–33.

5. Connelly R. Rigidity. / Chapter 1.7 in Handbook of Convex Geometry, Volume A, Edited by P.M.Gruber and J.M. Wills, Elsevier, 1993.

6. Asimov L., Roth B. The rigidity of Graphs. II. // Journal of Math. analysis and appl. V.68, № 1, 1979, P. 171–190.

7. Crapo H., Whiteley W. Statics of Frameworks and Motions of Panel Structures, a Projective Geometric Introduction // Structural Topology. № 6, 1982, P. 43 – 82.

8. Connelly R. The Rigidity of Certain Cabled Frameworks and the Second-Order Rigidity of Arbitrarily Triangulated Convex Surfaces // Advances in Math. v.37. № 3. 1980. P. 272–299.

9. Roth B., Whiteley W. Tensegrity Frameworks. Trans. Amer. Math. Soc. // 265 № 2. 1981. P. 419–446.

10. Grunbaum B., Shepard G. Rigidity of Polyhedra, Frameworks and Cabled Frameworks // Abstract 760 - D3, Notices Amer. Math. Soc. 25, 1978, A - 642.

11. Connelly R., Terrell M. Globally rigid symmetric tensegrities Dual FrenchEnglish text. // Structural Topology № . 21, 1995, P. 59 – 78.

12. Connelly R. Generic global rigidity.// Discrete Comput. Geom., 33(4), 2005, P. 549 – 563.

13. Connelly R., Whiteley W. Global rigidity. The effect of coning. // Discrete Comput. Geom., 43, 2010, P. 717 – 735.

14. Connelly R. What is ... a tensegrity? // Notices Amer. Math. Soc., 60(1), 2013, P. 78 – 80.

15. Connelly R., Gortler S. Iterative Universal Rigidity / arXiv:1401.7029v2 [math.MG] 28 Jan 2015