БИНАРНАЯ АДДИТИВНАЯ ЗАДАЧА С ЧИСЛАМИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

Аннотация

В работе рассматривается бинарная аддитивная задача вида n1 +n2 = N с условиями n1 ∈ N(α, I1), n2 ∈ N(β, I2), где N(α, I) = {n ∈ N : {nα} ∈ I}. Такие множества описывают, в частности, натуральные числа, име- ющие заданное окончание разложения по линейным рекуррентным по- следовательностям, связанным с числами Пизо. Кроме того, множества N(α, I) являются частными случаями так называемых квазирешеток. Ра- нее рассматривались аддитивные задачи на множествах такого вида для случая α = β. В этом случае были получены асимптотические формулы для числа решений аддитивной задачи с произвольным числом слагаемых, а также для аналогов тернарной проблемы Гольдбаха, проблемы Хуа-Локена, проблемы Варинга и проблемы Лагранжа о представлении натуральных чисел в виде сумм четырех квадратов. При этом Гриценко и Мотькина обнаружили, что в случае линейных задач возникает нетри- виальный эффект: появление некоторой достаточно сложной функции в главном члене асимптотики числа решений. Для нелинейных задач подобный эффект отсутствует и вид главного члена получается из плотностных соображений. В рассматриваемой задаче обнаружено, что поведение главного чле- на асимтотической формулы для числа решений существенным образом зависит от арифметических свойств α и β. Если 1, α и β линейно независимы над кольцом целых чисел Z, то главный член асимптотики имеет плотностный вид, то есть равен |I1||I2|N. В случае линейной зависимо- сти 1, α и β имеет место эффект Гриценко-Мотькиной, то есть главный член имеет вид ρ({Nβ})N, где ρ – достаточно сложная эффективно вычислимая кусочно линейная функция от дробной доли {Nβ}. В работе получен алгоритм вычисления функции ρ, а также изучены ее основные свойства. В частности, получены достаточные условия ее необращения в нуль. Также рассмотрен численный пример вычисления данной функции для конкретных множеств N(α, I1), N(β, I2). В завершающей части работы обсуждается ряд открытых проблем в данной области.