Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

БИНАРНАЯ АДДИТИВНАЯ ЗАДАЧА С ЧИСЛАМИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-3-246-275

Аннотация

В работе рассматривается бинарная аддитивная задача вида n1 +n2 = N с условиями n1 ∈ N(α, I1), n2 ∈ N(β, I2), где N(α, I) = {n ∈ N : {nα} ∈ I}. Такие множества описывают, в частности, натуральные числа, име- ющие заданное окончание разложения по линейным рекуррентным по- следовательностям, связанным с числами Пизо. Кроме того, множества N(α, I) являются частными случаями так называемых квазирешеток. Ра- нее рассматривались аддитивные задачи на множествах такого вида для случая α = β. В этом случае были получены асимптотические формулы для числа решений аддитивной задачи с произвольным числом слагаемых, а также для аналогов тернарной проблемы Гольдбаха, проблемы Хуа-Локена, проблемы Варинга и проблемы Лагранжа о представлении натуральных чисел в виде сумм четырех квадратов. При этом Гриценко и Мотькина обнаружили, что в случае линейных задач возникает нетри- виальный эффект: появление некоторой достаточно сложной функции в главном члене асимптотики числа решений. Для нелинейных задач подобный эффект отсутствует и вид главного члена получается из плотностных соображений. В рассматриваемой задаче обнаружено, что поведение главного чле- на асимтотической формулы для числа решений существенным образом зависит от арифметических свойств α и β. Если 1, α и β линейно независимы над кольцом целых чисел Z, то главный член асимптотики имеет плотностный вид, то есть равен |I1||I2|N. В случае линейной зависимо- сти 1, α и β имеет место эффект Гриценко-Мотькиной, то есть главный член имеет вид ρ({Nβ})N, где ρ – достаточно сложная эффективно вычислимая кусочно линейная функция от дробной доли {Nβ}. В работе получен алгоритм вычисления функции ρ, а также изучены ее основные свойства. В частности, получены достаточные условия ее необращения в нуль. Также рассмотрен численный пример вычисления данной функции для конкретных множеств N(α, I1), N(β, I2). В завершающей части работы обсуждается ряд открытых проблем в данной области.

 

 

Об авторах

А. А. Жукова
Владимирский филиал Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации
Россия


А. В. Шутов
Владимирский государственный университет имени А. Г. и Н. Г. Столетовых
Россия


Список литературы

1. Гриценко С. А., Мотькина Н. Н. Задача Хуа-Локена с простыми числами специального вида // ДАН республики Таджикистан. 2009. Т. 52, Вып. 7. С. 497-500.

2. Гриценко С. А., Мотькина Н. Н. О вычислении некоторых особых рядов // Чебышевский сборник. 2011. Т. 12, Вып. 4. С. 85-92.

3. Гриценко С. А., Мотькина Н. Н. О некоторых аддитивных задачах теории чисел // Научные ведомости БелГУ. Серия Математика. Физика. 2010. Т. 18., Вып. 5 (76). С. 83-87.

4. Гриценко С. А., Мотькина Н. Н. Об одном варианте тернарной проблемы Гольдбаха // ДАН республики Таджикистан. 2009. Т. 52, Вып. 6. С. 413-417.

5. Гриценко С. А., Мотькина Н. Н. О теореме Чудакова в простых числах специального вида // Чебышевский сборник. 2011. Т. 12, Вып. 4. С. 75-84.

6. Гриценко С. А., Мотькина Н. Н. Проблема Варинга с натуральными числами специального вида // Чебышевский сборник. 2014. Т. 15, Вып. 3. С. 31-47.

7. Давлетярова Е. П., Жукова А. А., Шутов А. В. Геометризация системы счисления Фибоначчи и ее приложения к теории чисел // Алгебра и анализ. 2013. Т. 25, Вып. 6, 1-23.

8. Журавлeев В. Г. Гиперболы над двумерными квазирешётками Фибоначчи // Фундаментальная и прикладная математика. 2010. Т. 16, Вып. 6. С. 45- 62.

9. Журавлев В. Г. Четно-фибоначчевы числа: бинарная аддитивная задача, распределение по прогрессиям и спектр // Алгебра и анализ. 2008. Т. 20, Вып. 3. С. 18-46.

10. Журавлев В. Г. Одномерные квазирешетки Фибоначчи и их приложения к диофантовым уравнениям и алгоритму Евклида // Алгебра и анализ. 2007. Т. 19, Вып. 3. С. 151-182. 11. Журавлев В. Г. Суммы квадратов над ◦-кольцом Фибоначчи // Записки научного семинара ПОМИ. 2006. Т. 337. С. 165-190.

11. Журавлев В. Г. Разбиения Рози и множества ограниченного остатка на торе// Записки научных семинаров ПОМИ. 2005. Т. 322. С. 83-106.

12. Журавлев В. Г. Уравнение Пелля над -кольцом Фибоначчи // Записки научного семинара ПОМИ. 2007. Т. 350. С. 139-159.

13. Красильщиков В. В., Шутов А. В., Журавлев В. Г. Одномерные квазипериодические разбиения, допускающие вложение прогрессий // Известия вузов. Математика. 2009. Вып. 7. С. 3-9.

14. Красильщиков В. В., Шутов А. В. Распределение точек одномерных квазирешеток по переменному модулю // Известия вузов. Математика. 2012. Вып. 3, 17-23.

15. Шутов А. В. Арифметика и геометрия одномерных квазирешеток // Чебышевский сборник. 2010. Т. 11, Вып. 1. С. 255-262.

16. Шутов А. В. Об одной аддитивной задаче с дробными долями // Научные ведомости БелГУ. Серия Математика. Физика. 2013. Т. 30, Вып. 5(148). С. 111-120.

17. Шутов А.В. Системы счисления и множества ограниченного остатка // Чебышевский сборник. 2006. Т. 7, Вып. 3. С. 110-128.

18. Шутов А.В. Тригонометрические суммы над одномерными квазирешетками // Чебышевский сборник. 2012. Т. 13, Вып. 2. С. 136-148.

19. Akiyama S. Self affine tiling and Pisot numeration system // Number Theory and its Applications, ed. by K. Gyory and S. Kanemitsu, Kluwer. 1999. P. 7-17.

20. Rauzy G. Nombres alge′ briques et substitutions // Bull. Soc. Math. France. 1982. V. 110. P. 147-178.

21. Shutov A.V., Maleev A.V., Zhuravlev V.G. Complex quasiperiodic self-similar tilings: their parameterization, boundaries, complexity, growth and similarities // Acta Crystallogrphica. 2010. A 66. P. 427-437.

22. Weyl, H. (1916). Ueber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins,. Math. Ann. 1916. V. 77 (3). P. 313-352.


Для цитирования:


Жукова А.А., Шутов А.В. БИНАРНАЯ АДДИТИВНАЯ ЗАДАЧА С ЧИСЛАМИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА. Чебышевский сборник. 2015;16(3):246-275. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-3-246-275

For citation:


Zhukova A.A., Shutov A.V. BINARY ADDITIVE PROBLEM WITH NUMBERS OF SPECIAL TYPE. Chebyshevskii Sbornik. 2015;16(3):246-275. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-3-246-275

Просмотров: 129


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)