Последовательностями Битти в англоязычной литературе называют последовательности вида [αn] и, более общо, [αn + β], где α — некоторое положительное иррациональное число и β — некоторое вещественное число (если β = 0, то последовательность называется однородной, в противном случае — неоднородной). В отечественной литературе такие последовательности обычно называются антье-последовательностями специального вида или обобщёнными арифметическими прогрессиями. Изучение свойств этих последовательностей, начатое ещё в конце XIX века, активно продолжается и в наши дни. Настоящая статья содержит обзор основных направлений исследований последовательностей Битти с указанием ключевых результатов.

Исследование распределения простых чисел в последовательностях Битти, начатое в 1970-х годах, было продолжено в 2000-х, когда благодаря привлечению новых методов, удалось получить уточнения остаточных членов в асимптотических формулах. Широкий круг задач связан с суммами значений арифметических функций на последовательностях Битти. Рядом авторов получены асимптотические формулы для суммы значений функции делителей τ(n) и многомерной функции делителей τk(n), функции суммы делителей σ(n), функции Эйлера ϕ(n), характеров Дирихле, числа простых делителей ω(n). Помимо того, получен ряд результатов в задачах о квадратичных вычетах и невычетах в последовательностях Битти. С 1990-х годов актуальным направлением исследований стали аддитивные задачи, связанные с последовательностями Битти. Изучаются аналоги классических проблем гольдбахова типа, в которых простые числа принадлежат последовательностям Битти, а также иные задачи о представлении натуральных чисел в виде суммы, часть слагаемых которой является членами такой последовательности.

В работе получены оценки сверху и снизу количества нулей функций специального вида, а также оценка меры множества точек в которых такие фукции принимают малые значения. Пусть f1 (x), ..., fn (x) функции определенные на интервале I, n + 1 раз дифференцируемы и вронскиан из производных почти везде на I отличен от 0. Такие функции называются невырожденными. Задача о распределении нулей функции F (x) = anfn (x)+ ... +a1f1 (x)+a0, aj ∈ Z, 1 ≤ j ≤ n имеет важное значение в метрической теории диофантовых приближений.

Пусть Q > 1 достаточно большое целое число, а интервал I имеет длину Q−γ, 0 ≤ γ < 1. В работе получены оценки сверху и снизу для количества нулей функции F (x) на интервале I, при |aj| ≤ Q, 0 ≤ γ < 1. При γ = 0 такие оценки были получены А. С. Пяртли, В. Г. Спринджуком, В. И. Берником, В. В. Бересневичем, Н. В. Будариной.

Алгебраические числа распределены весьма причудливо. Видимо поэтому их практически никогда не используют в качестве всюду плотных множеств. Как доказали в 1970 году А. Бейкер и В. Шмидт, алгебраические числа все же обладают неким подобием равномерного распределения последовательностей на длинных интервалах, которое они назвали регулярностью. В последние годы появилось немало работ, в которых решались проблемы о длине интервалов, на которых проявляется регулярность распределения действительных алгебраических чисел. Было выяснено, что для любого целого Q > 1 существуют интервалы длины 0,5Q⁻¹, внутри которых нет алгебраических чисел α любой степени n и высоты H(α) 6 Q. В то же время можно найти величину c0 = c0(n), что уже при c > c0 лежащие на любом интервале I длины большей cQ⁻¹ алгебраические числа обладают свойством регулярности. Такими "удобными" для алгебраических чисел оказались интервалы, свободные от рациональных чисел с малыми знаменателями и алгебраических чисел небольшой степени и малой высоты. Для нахождения алгебраических чисел с помощью теоремы Минковского о линейных формах строятся целочисленные многочлены с малыми значениями на интервале и с большой высотой. Оказывается, что для "большинства" точек x интервала эти многочлены имеют близкие и удобные характеристики (степень, высоту, величину значения модуля многочлена в точке x). Этих характеристик достаточно для построения на интервале алгебраических чисел. В данной статье мы доказываем существование алгебраических чисел большой степени на “очень коротких“ интервалах.

Сегодня хорошо известно, что динамические системы можно подразделить на системы с самовозбуждающимися и системы со скрытыми аттракторами. Cамовозбуждающийся аттрактор имеет область притяжения, которая примыкает к неустойчивым состояниям равновесия системы, в то время как скрытые аттракторы имеют области притяжения, не пересекающиеся с малыми окрестностями ни одного из состояний равновесия. Скрытые аттракторы играют важную роль в инженерных приложениях, поскольку их наличие вызывает неожиданные и потенциально опасные ответы на возмущения, например, в таких структурах как мост, или крыло самолета. Кроме того, сложное поведения хаотических систем используют в различных областях, от таких, как изображения водяных знаков, аудио схема шифрования, хаотическая маскировка коммуникаций, до генераторов случайных чисел. Недавно исследователями были обнаружены так называемые "системы-хамелеоны". Эти системы были так названы потому, что они демонстрируют самовозбуждающиеся или скрытые колебания в зависимости от значений входящих в них параметров. В настоящей работе предлагается простой алгоритм синтезирования однопараметрических системхамелеонов. Отслеживается эволюция ляпуновских показателей и размерности КапланаЙорке таких систем при изменении параметра.

Работа посвящена обзору основных результатов, полученных при решении экстремальных задач Турана и Дельсарта на торе; экстремальных задач Турана, Фейера, Дельсарта, Бомана и Логана на евклидовом пространстве, полупрямой и гиперболоиде. Приводятся также результаты, полученные при решении близкой задачи об оптимальном аргументе в модуле непрерывности в точном неравенстве Джексона в пространстве L² на евклидовом пространстве и полупрямой. Большая часть результатов была получена авторами обзора. В основу обзора лег доклад, сделанный В.И. Ивановым на симпозиуме «6th Workshop on Fourier Analysis and Related Fields, Pecs, Hungary, 24-31 August 2017». Решается также задача об оптимальном аргументе на гиперболоиде. В качестве основного аппарата при решении экстремальных задач на полупрямой используются квадратурные формулы Гаусса и Маркова на полупрямой по нулям собственных функций задачи Штурма–Лиувилля. Для многомерных экстремальных задач осуществляется редукция к одномерным задачам с помощью усреднения допустимых функций по евклидовой сфере. Во всех случаях экстремальная функция единственна.

В работе рассматривается новый класс рядов Дирихле — дзета-функции моноидов натуральных чисел. Изучаются обратные ряды Дирихле для дзета-функции моноидов натуральных чисел. Показано, что вопрос о существовании эйлерова произведения для дзетафункции моноида связан с однозначностью разложения на простые множители в этом моноиде.

Вводится понятие взаимно простых множеств натуральных чисел и показано, что для таких множеств имеет место мультипликативность минимальных моноидов и соответствующих дзета-функций моноидов.

Показано, что если все простые элементы моноида являются простыми числами, то характеристическая функция моноида будет мультипликативной функцией и в этом случае дзета-функция моноида будет обобщённой L-функцией.

Рассматриваются различные примеры моноидов и соответствующих дзета-функций моноидов. Изучена связь вопросов обращения дзета-функции моноида и обобщённой функции Мёбиуса на моноиде как частично упорядоченном множестве с помощью отношения делимости натуральных чисел. Получены ряд свойств дзета-функций моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые множители.

В работе рассмотрен вопрос о логарифмировании эйлерова произведения, как функции комплексного аргумента. Показано, что непрерывная функция, задающая значение логарифма эйлерового произведения вблизи полюса пробегает все ветви бесконечно-значной функции логарифма. Получены следствия о значения комплекснозначной функции специального вида вблизи особой точки. Из этих свойств вытекают утверждения о значенияx дзета-функции Римана вблизи границы области абсолютной сходимости.

С помощью постулата Бертрана введены бесконечные экспоненциальные последовательности простых чисел. Показано, что соответствующие дзета-функции моноидов натуральных чисел абсолютно сходятся во всей полуплоскости с положительной действительной частью. Так как такие дзета-функции моноидов натуральных чисел во всей области абсолютной сходимости раскладываются в эйлерово произведение, то они во всей полуплоскости с положительной действительной частью не имеют нулей.

В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.

В работе определяются обобщенные многочлены Мамфорда, описывающие сложение точек на обобщенном якобиане особой гиперэллиптической кривой над полем K характеристики отличной от 2, гладкой в бесконечно удаленной точке и заданной в аффинной карте уравнением y² = φ(x)²f(x), где многочлен f — свободен от квадратов. Нами найдена связь между разложением в непрерывную дробь квадратичных иррациональностей специального вида для гиперэллиптического поля K(x,√ f(x)) и обобщенными многочленами Мамфорда, определяющими сложение в группе классов дивизоров на особой гиперэллиптической кривой. Это соответствие между разложением в непрерывную дробь и многочленами Мамфорда позволяет доказать теорему об эквивалентности следующих условий: (i) условия квазипериодичности разложения квадратичной иррациональности специального вида в непрерывную дробь, построенного по нормированию, связанному с точкой степени 1 на нормализации кривой и (ii) условия конечности порядка класса, построенного по точке степени 1 на нормализации кривой. С помощью этого соответствия также удается обобщить результаты о симметрии квазипериода и оценки на его длину, обобщающие результаты, полученные нами ранее.

Проблема разделимости дифференциальных операторов впервые исследовался в работах В. Н. Эверитта и М. Гирца в начале семидесятых годов прошлого столетия. В своих работах они в основном исследовали разделимость оператора Штурма-Лиувилля и его степеней. Позже этой проблемой занимались К. Х. Бойматов, М. Отелбаев, Ф. B. Аткинсон (F. V. Atcinson), В. Д. Эванс (W. D. Evans), А. Цеттл (A. Zettl) и др. Основная часть опубликованных работ по этому направления относятся к случаю линейных операторов (как обыкновенных дифференциальных операторов, так и операторов с частными производными). Разделимость нелинейных дифференциальных операторов, в основном, рассматривалась в случае, когда исследуемый оператор является слабым возмущением линейного оператора. Случай, когда исследуемый оператор не являются слабым возмущением линейного оператора, рассмотрен лишь в некоторых отдельных работах. Результаты настоящей работы, также относятся к этому малоизученному случаю. Она посвящена изучению коэрцитивных свойств нелинейных дифференциальных операторов вида

L[u(x)] = −u^{V I}(x) + V (x,u(x))u(x)

в гильбертовом пространстве L2(R) и доказана теорема о разделимости этого оператора.

Исследуемый оператор L[u(x)] является строго нелинейным, то есть его нельзя представить в виде слабого возмущения линейного оператора.

В работе проведен расчет основных параметров процесса уплотнения порошков металлических систем (металлов, сталей, цветных сплавов различных систем легирования) при пластическом деформировании прессованием. Рассмотрены варианты вычисления распределения давлений и плотностей в порошковых брикетах различного поперечного сечения в различных системах координат. Установлено, что наибольшая плотность порошкового брикета прямоугольного сечения после прессования наблюдается у стенки матрицы под прессующим пуансоном, причем в середине короткой стороны прямоугольника плотность выше, чем в середине длинной стороны; наименьшая плотность наблюдается у стенки матрицы над неподвижным пуансоном, причем в середине короткой стороны прямоугольника плотность ниже, чем в середине длинной стороны; наименьшая плотность под прессующим пуансоном и наибольшая плотность над неподвижным пуансоном наблюдаются в центрах соответствующих прямоугольных сечений. Показано, что в брикетах эллиптического сечения из порошков металлических систем после прессования при положительной величине ζ (ζ > 0) давление и плотность у концов большой оси эллипса больше, чем у концов малой оси и, наоборот, при ζ < 0 давление и плотность у концов большой оси меньше, чем у концов малой оси. Полученные результаты могут быть использованы при разработке малоотходных и ресурсосберегающих процессов и технологий обработки промышленных материалов в различных условиях и состояниях.

Одним из известных направлений решения задачи аналитического продолжения рядов Дирихле является изучение свойств последовательности первообразных, возникающих в процессе итераций сумматорной функции коэффициентов ряда. На этом пути было получено, например, аналитическое продолжение дзета-функции Римана, L-функций Дирихле. В 1975 году Н. Г. Чудаков получил необходимое и достаточное условие аналитического продолжения рядов Дирихле как мероморфных функций с конечной функцией Линделёфа, выраженное в терминах поведения первообразных функций.

В данной статье получено необходимое и достаточное условие аналитического продолжения рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами целым образом на комплексную плоскость. Это условие сформулировано в терминах поведения чезаровских средних от коэффициентов ряда Дирихле. В отличие от результата Н. Г. Чудакова, где условие аналитического продолжения представлено в виде теоремы существования, здесь получен явный вид асимптотики чезаровских средних. В основе решения задачи лежит аппроксимационный подход, разработанный ранее авторами, позволивший связать решение задачи с возможностью приближения в критической полосе целых функций, определённых рядами Дирихле, полиномами Дирихле.

В работе изучются аналитические свойства L-функций Дирихле в критической полосе, характерные для почти периодических функций. В основе исследований лежит аппроксимационный подход, заключающийся в построении полиномов Дирихле, которые являются почти периодическими функциями, «быстро сходящихся» в критической полосе к L-функциям Дирихле.

На этом пути для любого прямоугольника, лежащего в критической полосе, доказано существование ε-почти перида для L-функции Дирихле, получена оценка константы равномерной непрерывности. Обсуждаются вопросы, связанные с применением аппроксимационного подхода при доказательстве свойства «универсальности» L-функций Дирихле, а так же связанные с получением соответствующих результатов для L-функций числовых полей.

Исследуются почти нильпотентные многообразия неассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики в классе всех алгебр, удовлетворяющих тождественному соотношению x(yz) ≡ 0. Ранее в данном классе алгебр для любого натурального m > 2 была определена алгебра A_m, порождающая почти нильпотентное многообразие var(A_m) экспоненциального роста с экспонентой, равной m. В настоящей работе исследуются числовые характеристики многообразий var(A_m).

Для этого в относительно свободных алгебрах многообразий var(A_m) рассматриваются пространства полилинейных элементов, соответствующих левонормированным многочленам с фиксированной образующей на первой позиции. Для каждого такого пространства как вполне приводимого модуля над групповой алгеброй симметрической группы определены все кратности в разложении соответствующего кохарактера в сумму неприводимых характеров.

На основе определений данных кратностей приводится метод вычисления кратностей, соответствующих полилинейным частям относительно свободных алгебр многообразий var(A_m). С помощью приведенного метода вычисления кратностей для каждого n > 1 получены кодлины многообразий var(A_m), m > 2. Для каждого многообразия var(A_m), m > 2, в работе также описано соответствующее множество определяющих тождеств.

В работе дано новое общее определение алгебраической решётки. Доказывается, что любое рациональное преобразование алгебраической решётки снова будет алгебраической решёткой. Показано, что взаимная решётка к алгебраической решётки также будет алгебраической решёткой, соответствующей тому же чисто-вещественному алгебраическому полю F_s над полем рациональных чисел Q.

Следуя за Б. Ф. Скубенко, изучаются фундаментальные системы из чисто-вещественного алгебраического поля F_s над полем рациональных чисел Q. Показана связь между фундаментальными системами алгебраических чисел и алгебраическими решётками.

В работе доказаны оценки для норм матрицы перехода от произвольной невырожденной матрицы к рациональной приближающей матрицы. С помощью леммы об оценки нормы матрицы перехода и обратной матрицы перехода, связывающих произвольную невырожденную матрицу и невырожденную рациональную приближающую матрицу, в работе показано, что множество алгебраических решёток всюду плотно в метрическом пространстве решёток.

Доказанная теорема является частным случаем более общей теоремы о том, что для любой решётки Λ ∈ PR_s множество всех решёток рационально связанных с решёткой Λ всюду плотно в PR_s.

Аналогом данной теоремы является утверждение что для произвольной точки общего положения из R^s соответствующее s-мерное рациональное арифметическое пространство будет всюду плотно в s-мерном вещественном арифметическом пространстве R^s.

В работе приводятся краткие сведения о безвременно ушедшем Ярославе Андреевиче Ваграменко.