Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-4-139-166

Полный текст:

Аннотация

Работа посвящена обзору основных результатов, полученных при решении экстремальных задач Турана и Дельсарта на торе; экстремальных задач Турана, Фейера, Дельсарта, Бомана и Логана на евклидовом пространстве, полупрямой и гиперболоиде. Приводятся также результаты, полученные при решении близкой задачи об оптимальном аргументе в модуле непрерывности в точном неравенстве Джексона в пространстве Lна евклидовом пространстве и полупрямой. Большая часть результатов была получена авторами обзора. В основу обзора лег доклад, сделанный В.И. Ивановым на симпозиуме «6th Workshop on Fourier Analysis and Related Fields, Pecs, Hungary, 24-31 August 2017». Решается также задача об оптимальном аргументе на гиперболоиде. В качестве основного аппарата при решении экстремальных задач на полупрямой используются квадратурные формулы Гаусса и Маркова на полупрямой по нулям собственных функций задачи Штурма–Лиувилля. Для многомерных экстремальных задач осуществляется редукция к одномерным задачам с помощью усреднения допустимых функций по евклидовой сфере. Во всех случаях экстремальная функция единственна.

Об авторах

Д. В. Горбачев
Тульский государственный университет.
Россия
Тула.


В. И. Иванов
Тульский государственный университет.
Россия
Тула.


Е. П. Офицеров
Тульский государственный университет.
Россия
Тула.


О. И. Смирнов
Тульский государственный университет.
Россия
Тула.


Список литературы

1. Stechkin S.B. An extremal problem for trigonometric series with nonnegative coefficients // Acta Math. Acad. Sci. Hung. 1972. Vol. 23, № 3-4. P. 289–291.

2. Горбачев Д.В., Маношина А.С. Экстремальная задача Турана для периодических функций с малым носителем и ее приложения // Матем. заметки. 2004. Т. 76, № 5. С. 688–700.

3. Fej´er L. ¨Uber trigonometrische Polynome // J. Angew. Math. 1915. Vol. 146. P. 53–82.

4. Иванов В.И., Рудомазина Ю.Д. О задаче Турана для периодических функций с неотрицательными коэффициентами Фурье и малым носителем // Матем. заметки. 2005. Т. 77, № 6. С. 941–945.

5. Иванов В.И., Горбачев Д.В., Рудомазина Ю.Д. Некоторые экстремальные задачи для периодических функций с условиями на их значения и коэффициенты Фурье // Тр. ИММ УрО РАН. 2005. Т. 11, № 2. С. 92–111.

6. Иванов В.И. О задачах Турана и Дельсарта для периодических положительно определенных функций // Матем. заметки. 2006. Т. 80, № 6. С. 934–939.

7. Ivanov V.I., Ivanov A.V. Tur´an problems for periodic positive definite functions // Annales Univ. Sci. Budapest, Sect. Comp. 2010. Vol. 33. P. 219–237.

8. Андреев Н.Н. Экстремальная задача для периодических функций с малым носителем // Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем., мех. 1997. № 1. С. 29–32.

9. Горбачев Д.В. Экстремальная задача для периодических функций с носителем в шаре // Матем. заметки. 2001. Т. 69, № 3. С. 346–352.

10. Siegel C.L. ¨Uber Gitterpunkte in konvexen K¨orpern und damit zusammenh¨angendes Extremal problem // Acta Math. 1935. Vol. 65, № 1. P. 307–323.

11. Boas R.P., Kac M. Inequalities for Fourier Transforms of positive functions // Duke Math. J. 1945. Vol. 12. P. 189–206.

12. Kolountzakis M.N., R´ev´esz Sz.Gy. On a problem of Tura´n about positive definite functions // Proc. Amer. Math. Soc. 2003. Vol. 131. P. 3423–3430.

13. Арестов В.В., Бердышева Е.Е. Задача Турана для положительно определенных функций с носителем в шестиугольнике // Тр. ИММ УрО РАН. 2001. Т. 7, № 1. С. 21–29.

14. Arestov V.V., Berdysheva E.E. The Tur´an problem for a class of polytopes // East J. Approx. 2002. Vol. 8, № 3. P. 381–388.

15. Kolountzakis M.N., R´ev´esz Sz.Gy. Tur´an’s extremal problem for positive definite functions on groups // J. London Math. Soc. 2006. Vol. 74. P. 475–496.

16. R´ev´esz Sz.Gy. Tur´an’s extremal problem on locally compact abelian groups // Anal. Math. 2011. Vol. 37, № 1. P. 15–50.

17. Viazovska M.S. The sphere packing problem in dimension 8 // Annals of Math. 2017. Vol. 185, № 3. P. 991–1015.

18. Cohn H., Kumar A., Miller S.D., Radchenko D., Viazovska M. The sphere packing problem in dimension 24 // Annals of Math. 2017. Vol. 185, № 3. P. 1017–1033.

19. Горбачев Д.В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа, связанная с оценкой Левенштейна плотности упаковки Rn шарами // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2000. Т. 6, № 1. С. 71–78.

20. Cohn H. New upper bounds on sphere packings II // Geom. Topol. 2002. Vol. 6. P. 329–353.

21. Левенштейн В.И. Границы для упаковок в n-мерном Евклидовом пространстве // Докл. АН СССР. 1979. Т. 20. С. 417–421.

22. Юдин В.А. Упаковки шаров в евклидовом пространстве и экстремальные задачи для триигонометрических полиномов // Дискрет. матем. 1989. Т. 1, № 2. С. 155–158.

23. Юдин В.А. Многомерная теорема Джексона // Матем. заметки. 1976. Т. 20, № 3. С. 439– 444.

24. Иванов В.И. Приближение функций в пространствах Lp // Матем. заметки. 1994. Т. 56, № 2. С. 15–40.

25. Bohman H. Approximate Fourier analysis of distribution functions // Ark. Mat. 1960. Vol. 4. P. 99–157.

26. Ehm W., Gneiting T., Richards D. Convolution roots of radial positive definite functions with compact support // Trans. Amer. Math. Soc. 2004. Vol. 356. P. 4655–4685.

27. Logan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions. I. Eventually positive functions with zero integral // SIAM J. Math. Anal. 1983. Vol. 14, № 2. P. 249– 252.

28. Logan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions II. Eventually negative functions // SIAM J. Math. Anal. 1983. Vol. 14, № 2. P. 253–257.

29. Горбачев Д.В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа // Матем. заметки. 2000. Т. 68, № 2. С. 179–187.

30. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в L2 // Тр. МИАН. 1967. Т. 88. С. 71–74.

31. Юдин В.А. Многомерная теорема Джексона в L2 // Матем. заметки. 1981. T. 29, № 2. С. 158–162.

32. Бердышева Е.Е. Две взаимосвязанные экстремальные задачи для целых функций многих переменных // Матем. заметки. 1999. Т. 66, № 3. С. 336–350.

33. Arestov V.V., Chernykh N.I. On the L2-approximation of periodic functions by trigonometric polynomials // Approximation and functions spaces: Proc. intern. conf., Gdansk, 1979. Amsterdam: North-Holland, 1981. P. 25—43.

34. Иванов А.В., Иванов В.И. Оптимальные аргументы в неравенстве Джексона в пространстве L2(Rd) со степенным весом // Матем. заметки. 2013. Т. 94, № 3. С. 338—348.

35. Иванов А.В. Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых пространствах // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 26–44.

36. Иванов А.В. Задача Логана для целых функций многих переменных и константы Джексона в весовых пространствах // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 29–58.

37. Горбачев Д.В., Иванов В.И. Экстремальная задача Бомана для преобразования Данкля // Тр. ИММ УрО РАН. 2015. Т. 21, № 4. С. 115–123.

38. Платонов С.С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой // Изв. РАН. Математика. 2007. Т. 71, № 5. С. 149–196. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой

39. Горбачев Д.В. Экстремальная задача Бомана для преобразования Фурье–Ганкеля // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 5–10.

40. Горбачев Д.В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их приложения. Тула: Гриф и К, 2005. 192 с.

41. Frappier C., Olivier P. A quadrature formula involving zeros of Bessel functions // Math. Comp. 1993. Vol. 60. P. 303–316.

42. Grozev G.R., Rahman Q.I. A quadrature formula with zeros of Bessel functions as nodes // Math. Comp. 1995. Vol. 64. P. 715–725.

43. Ghanem R.B., Frappier C. Explicit quadrature formulae for entire functions of exponential type // J. Approx. Theory. 1998. Vol. 92, № 2. С. 267–279.

44. Горбачев Д.В., Иванов В.И. Квадратурные формулы Гаусса и Маркова по нулям собственных функций задачи Штурма–Лиувилля, точные для целых функций экспоненциального типа // Матем. сб. 2015. Т. 206, № 8. С. 63–98.

45. Flensted-Jensen M., Koornwinder T.H. The convolution structure for Jacobi function expansions // Ark. Mat. 1973. Vol. 11. P. 245–262.

46. Flensted-Jensen M., Koornwinder T.H. Jacobi functions: The addition formula and the positivity of dual convolution structure // Ark. Mat. 1979. Vol. 17. P. 139–151.

47. Gorbachev D.V., Ivanov V.I. Tur´an’s and Fej´er’s extremal problems for Jacobi transform // Anal. Math. 2017. [In press]

48. Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Smirnov O.I. The Delsarte Extremal Problem for the Jacobi Transform // Math. Notes. 2016. Vol. 100, № 5. P. 677–686.

49. Горбачев Д.В., Иванов В.И. Экстремальная задача Бомана для преобразования Якоби // Тр. ИММ УрО РАН. 2016. Т. 22, № 4. С. 126–135.

50. Gorbachev D.V., Ivanov V.I. Some extremal problems for Fourier transform on hyperboloid // Math. Notes. 2017. Vol. 102, № 4. P. 480–491.

51. Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Veprintsev R.A. Optimal Argument in Sharp Jackson’s inequality in the Space L2 with the Hyperbolic Weight // Math. Notes. 2014. Vol. 96, № 6. P. 338–348.

52. Вепринцев Р.А. Приближение в L2 частичными интегралами многомерного преобразования Якоби // Матем. заметки. 2015. Т. 97, № 6. С. 815—831.

53. Горбачев Д.В., Иванов В.И. Приближение в L2 частичными интегралами преобразования Фурье по собственным функциям оператора Штурма–Лиувилля // Матем. заметки. 2016. Т. 100, № 4. С. 519–530.

54. Горбачев Д.В., Иванов В.И., Вепринцев Р.А. Приближение в L2 частичными интегралами многомерного преобразования Фурье по собственным функциям оператора Штурма— Лиувилля // Тр. ИММ УрО РАН. 2016. Т. 22, № 4. С. 136–152.

55. Горбачев Д.В., Иванов В.И. Некоторые экстремальные задачи для преобразования Фурье по собственным функциям оператора Штурма–Лиувилля // Чебышевский сб. 2017. Т. 18, № 2. С. 34–53.

56. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1991. 576 с.

57. Лизоркин П.И. Прямые и обратные теоремы теории приближе- ний для функций на пространстве Лобачевского // Тр. МИАН. 1992. Т. 194. С. 120–147.

58. Горбачев Д.В., Пискорж М.С. Точное неравенство Джексона в L2 на гиперболоиде // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т. 4, № 1. С. 54–58.

59. Попов В.Ю. Точное неравенство Джексона–Стечкина в L2 на гиперболоиде // Тр. ИММ УрО РАН. 1998. Т. 5, № 4. С. 254–266.

60. Петрова И.В. Приближение на гиперболоиде в метрике L2 // Тр. МИАН. 1992. Т. 194. С. 215–228.


Для цитирования:


Горбачев Д.В., Иванов В.И., Офицеров Е.П., Смирнов О.И. НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ. Чебышевский сборник. 2017;18(4):139-166. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-4-139-166

For citation:


Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Ofitserov E.P., Smirnov O.I. SOME EXTREMAL PROBLEMS OF HARMONIC ANALYSIS AND APPROXIMATION THEORY. Chebyshevskii Sbornik. 2017;18(4):139-166. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-4-139-166

Просмотров: 152


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)