Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск
Том 18, № 4 (2017)
Скачать выпуск PDF
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-4

Статьи

97-105 142
Аннотация

Последовательностями Битти в англоязычной литературе называют последовательности вида [αn] и, более общо, [αn + β], где α — некоторое положительное иррациональное число и β — некоторое вещественное число (если β = 0, то последовательность называется однородной, в противном случае — неоднородной). В отечественной литературе такие последовательности обычно называются антье-последовательностями специального вида или обобщёнными арифметическими прогрессиями. Изучение свойств этих последовательностей, начатое ещё в конце XIX века, активно продолжается и в наши дни. Настоящая статья содержит обзор основных направлений исследований последовательностей Битти с указанием ключевых результатов.

Исследование распределения простых чисел в последовательностях Битти, начатое в 1970-х годах, было продолжено в 2000-х, когда благодаря привлечению новых методов, удалось получить уточнения остаточных членов в асимптотических формулах. Широкий круг задач связан с суммами значений арифметических функций на последовательностях Битти. Рядом авторов получены асимптотические формулы для суммы значений функции делителей τ(n) и многомерной функции делителей τk(n), функции суммы делителей σ(n), функции Эйлера ϕ(n), характеров Дирихле, числа простых делителей ω(n). Помимо того, получен ряд результатов в задачах о квадратичных вычетах и невычетах в последовательностях Битти. С 1990-х годов актуальным направлением исследований стали аддитивные задачи, связанные с последовательностями Битти. Изучаются аналоги классических проблем гольдбахова типа, в которых простые числа принадлежат последовательностям Битти, а также иные задачи о представлении натуральных чисел в виде суммы, часть слагаемых которой является членами такой последовательности.

106-114 110
Аннотация

В работе получены оценки сверху и снизу количества нулей функций специального вида, а также оценка меры множества точек в которых такие фукции принимают малые значения. Пусть f1 (x), ..., fn (x) функции определенные на интервале I, n + 1 раз дифференцируемы и вронскиан из производных почти везде на I отличен от 0. Такие функции называются невырожденными. Задача о распределении нулей функции F (x) = anfn (x)+ ... +a1f1 (x)+a0, aj ∈ Z, 1 ≤ j ≤ n имеет важное значение в метрической теории диофантовых приближений.

Пусть Q > 1 достаточно большое целое число, а интервал I имеет длину Q−γ, 0 ≤ γ < 1. В работе получены оценки сверху и снизу для количества нулей функции F (x) на интервале I, при |aj| ≤ Q, 0 ≤ γ < 1. При γ = 0 такие оценки были получены А. С. Пяртли, В. Г. Спринджуком, В. И. Берником, В. В. Бересневичем, Н. В. Будариной.

115-126 112
Аннотация

Алгебраические числа распределены весьма причудливо. Видимо поэтому их практически никогда не используют в качестве всюду плотных множеств. Как доказали в 1970 году А. Бейкер и В. Шмидт, алгебраические числа все же обладают неким подобием равномерного распределения последовательностей на длинных интервалах, которое они назвали регулярностью. В последние годы появилось немало работ, в которых решались проблемы о длине интервалов, на которых проявляется регулярность распределения действительных алгебраических чисел. Было выяснено, что для любого целого Q > 1 существуют интервалы длины 0,5Q−1, внутри которых нет алгебраических чисел α любой степени n и высоты H(α) 6 Q. В то же время можно найти величину c0 = c0(n), что уже при c > c0 лежащие на любом интервале I длины большей cQ−1 алгебраические числа обладают свойством регулярности. Такими "удобными" для алгебраических чисел оказались интервалы, свободные от рациональных чисел с малыми знаменателями и алгебраических чисел небольшой степени и малой высоты. Для нахождения алгебраических чисел с помощью теоремы Минковского о линейных формах строятся целочисленные многочлены с малыми значениями на интервале и с большой высотой. Оказывается, что для "большинства" точек x интервала эти многочлены имеют близкие и удобные характеристики (степень, высоту, величину значения модуля многочлена в точке x). Этих характеристик достаточно для построения на интервале алгебраических чисел. В данной статье мы доказываем существование алгебраических чисел большой степени на “очень коротких“ интервалах.

127-138 122
Аннотация
Сегодня хорошо известно, что динамические системы можно подразделить на системы с самовозбуждающимися и системы со скрытыми аттракторами. Cамовозбуждающийся аттрактор имеет область притяжения, которая примыкает к неустойчивым состояниям равновесия системы, в то время как скрытые аттракторы имеют области притяжения, не пересекающиеся с малыми окрестностями ни одного из состояний равновесия. Скрытые аттракторы играют важную роль в инженерных приложениях, поскольку их наличие вызывает неожиданные и потенциально опасные ответы на возмущения, например, в таких структурах как мост, или крыло самолета. Кроме того, сложное поведения хаотических систем используют в различных областях, от таких, как изображения водяных знаков, аудио схема шифрования, хаотическая маскировка коммуникаций, до генераторов случайных чисел. Недавно исследователями были обнаружены так называемые "системы-хамелеоны". Эти системы были так названы потому, что они демонстрируют самовозбуждающиеся или скрытые колебания в зависимости от значений входящих в них параметров. В настоящей работе предлагается простой алгоритм синтезирования однопараметрических системхамелеонов. Отслеживается эволюция ляпуновских показателей и размерности КапланаЙорке таких систем при изменении параметра.
139-166 138
Аннотация
Работа посвящена обзору основных результатов, полученных при решении экстремальных задач Турана и Дельсарта на торе; экстремальных задач Турана, Фейера, Дельсарта, Бомана и Логана на евклидовом пространстве, полупрямой и гиперболоиде. Приводятся также результаты, полученные при решении близкой задачи об оптимальном аргументе в модуле непрерывности в точном неравенстве Джексона в пространстве Lна евклидовом пространстве и полупрямой. Большая часть результатов была получена авторами обзора. В основу обзора лег доклад, сделанный В.И. Ивановым на симпозиуме «6th Workshop on Fourier Analysis and Related Fields, Pecs, Hungary, 24-31 August 2017». Решается также задача об оптимальном аргументе на гиперболоиде. В качестве основного аппарата при решении экстремальных задач на полупрямой используются квадратурные формулы Гаусса и Маркова на полупрямой по нулям собственных функций задачи Штурма–Лиувилля. Для многомерных экстремальных задач осуществляется редукция к одномерным задачам с помощью усреднения допустимых функций по евклидовой сфере. Во всех случаях экстремальная функция единственна.
187-207 116
Аннотация

В работе рассматривается новый класс рядов Дирихле — дзета-функции моноидов натуральных чисел. Изучаются обратные ряды Дирихле для дзета-функции моноидов натуральных чисел. Показано, что вопрос о существовании эйлерова произведения для дзетафункции моноида связан с однозначностью разложения на простые множители в этом моноиде.

Вводится понятие взаимно простых множеств натуральных чисел и показано, что для таких множеств имеет место мультипликативность минимальных моноидов и соответствующих дзета-функций моноидов.

Показано, что если все простые элементы моноида являются простыми числами, то характеристическая функция моноида будет мультипликативной функцией и в этом случае дзета-функция моноида будет обобщённой L-функцией.

Рассматриваются различные примеры моноидов и соответствующих дзета-функций моноидов. Изучена связь вопросов обращения дзета-функции моноида и обобщённой функции Мёбиуса на моноиде как частично упорядоченном множестве с помощью отношения делимости натуральных чисел. Получены ряд свойств дзета-функций моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые множители.

В работе рассмотрен вопрос о логарифмировании эйлерова произведения, как функции комплексного аргумента. Показано, что непрерывная функция, задающая значение логарифма эйлерового произведения вблизи полюса пробегает все ветви бесконечно-значной функции логарифма. Получены следствия о значения комплекснозначной функции специального вида вблизи особой точки. Из этих свойств вытекают утверждения о значенияx дзета-функции Римана вблизи границы области абсолютной сходимости.

С помощью постулата Бертрана введены бесконечные экспоненциальные последовательности простых чисел. Показано, что соответствующие дзета-функции моноидов натуральных чисел абсолютно сходятся во всей полуплоскости с положительной действительной частью. Так как такие дзета-функции моноидов натуральных чисел во всей области абсолютной сходимости раскладываются в эйлерово произведение, то они во всей полуплоскости с положительной действительной частью не имеют нулей.

В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.

208-220 107
Аннотация

В работе определяются обобщенные многочлены Мамфорда, описывающие сложение точек на обобщенном якобиане особой гиперэллиптической кривой над полем K характеристики отличной от 2, гладкой в бесконечно удаленной точке и заданной в аффинной карте уравнением y2 = φ(x)2f(x), где многочлен f — свободен от квадратов. Нами найдена связь между разложением в непрерывную дробь квадратичных иррациональностей специального вида для гиперэллиптического поля K(x,√ f(x)) и обобщенными многочленами Мамфорда, определяющими сложение в группе классов дивизоров на особой гиперэллиптической кривой. Это соответствие между разложением в непрерывную дробь и многочленами Мамфорда позволяет доказать теорему об эквивалентности следующих условий: (i) условия квазипериодичности разложения квадратичной иррациональности специального вида в непрерывную дробь, построенного по нормированию, связанному с точкой степени 1 на нормализации кривой и (ii) условия конечности порядка класса, построенного по точке степени 1 на нормализации кривой. С помощью этого соответствия также удается обобщить результаты о симметрии квазипериода и оценки на его длину, обобщающие результаты, полученные нами ранее.

245-254 113
Аннотация

Проблема разделимости дифференциальных операторов впервые исследовался в работах В. Н. Эверитта и М. Гирца в начале семидесятых годов прошлого столетия. В своих работах они в основном исследовали разделимость оператора Штурма-Лиувилля и его степеней. Позже этой проблемой занимались К. Х. Бойматов, М. Отелбаев, Ф. B. Аткинсон (F. V. Atcinson), В. Д. Эванс (W. D. Evans), А. Цеттл (A. Zettl) и др. Основная часть опубликованных работ по этому направления относятся к случаю линейных операторов (как обыкновенных дифференциальных операторов, так и операторов с частными производными). Разделимость нелинейных дифференциальных операторов, в основном, рассматривалась в случае, когда исследуемый оператор является слабым возмущением линейного оператора. Случай, когда исследуемый оператор не являются слабым возмущением линейного оператора, рассмотрен лишь в некоторых отдельных работах. Результаты настоящей работы, также относятся к этому малоизученному случаю. Она посвящена изучению коэрцитивных свойств нелинейных дифференциальных операторов вида

L[u(x)] = −uV I(x) + V (x,u(x))u(x)

в гильбертовом пространстве L2(R) и доказана теорема о разделимости этого оператора.

Исследуемый оператор L[u(x)] является строго нелинейным, то есть его нельзя представить в виде слабого возмущения линейного оператора.

268-284 121
Аннотация
В работе проведен расчет основных параметров процесса уплотнения порошков металлических систем (металлов, сталей, цветных сплавов различных систем легирования) при пластическом деформировании прессованием. Рассмотрены варианты вычисления распределения давлений и плотностей в порошковых брикетах различного поперечного сечения в различных системах координат. Установлено, что наибольшая плотность порошкового брикета прямоугольного сечения после прессования наблюдается у стенки матрицы под прессующим пуансоном, причем в середине короткой стороны прямоугольника плотность выше, чем в середине длинной стороны; наименьшая плотность наблюдается у стенки матрицы над неподвижным пуансоном, причем в середине короткой стороны прямоугольника плотность ниже, чем в середине длинной стороны; наименьшая плотность под прессующим пуансоном и наибольшая плотность над неподвижным пуансоном наблюдаются в центрах соответствующих прямоугольных сечений. Показано, что в брикетах эллиптического сечения из порошков металлических систем после прессования при положительной величине ζ (ζ > 0) давление и плотность у концов большой оси эллипса больше, чем у концов малой оси и, наоборот, при ζ < 0 давление и плотность у концов большой оси меньше, чем у концов малой оси. Полученные результаты могут быть использованы при разработке малоотходных и ресурсосберегающих процессов и технологий обработки промышленных материалов в различных условиях и состояниях.
285-295 106
Аннотация

Одним из известных направлений решения задачи аналитического продолжения рядов Дирихле является изучение свойств последовательности первообразных, возникающих в процессе итераций сумматорной функции коэффициентов ряда. На этом пути было получено, например, аналитическое продолжение дзета-функции Римана, L-функций Дирихле. В 1975 году Н. Г. Чудаков получил необходимое и достаточное условие аналитического продолжения рядов Дирихле как мероморфных функций с конечной функцией Линделёфа, выраженное в терминах поведения первообразных функций.

В данной статье получено необходимое и достаточное условие аналитического продолжения рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами целым образом на комплексную плоскость. Это условие сформулировано в терминах поведения чезаровских средних от коэффициентов ряда Дирихле. В отличие от результата Н. Г. Чудакова, где условие аналитического продолжения представлено в виде теоремы существования, здесь получен явный вид асимптотики чезаровских средних. В основе решения задачи лежит аппроксимационный подход, разработанный ранее авторами, позволивший связать решение задачи с возможностью приближения в критической полосе целых функций, определённых рядами Дирихле, полиномами Дирихле.

296-304 113
Аннотация

В работе изучются аналитические свойства L-функций Дирихле в критической полосе, характерные для почти периодических функций. В основе исследований лежит аппроксимационный подход, заключающийся в построении полиномов Дирихле, которые являются почти периодическими функциями, «быстро сходящихся» в критической полосе к L-функциям Дирихле.

На этом пути для любого прямоугольника, лежащего в критической полосе, доказано существование ε-почти перида для L-функции Дирихле, получена оценка константы равномерной непрерывности. Обсуждаются вопросы, связанные с применением аппроксимационного подхода при доказательстве свойства «универсальности» L-функций Дирихле, а так же связанные с получением соответствующих результатов для L-функций числовых полей.

305-324 100
Аннотация

Исследуются почти нильпотентные многообразия неассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики в классе всех алгебр, удовлетворяющих тождественному соотношению x(yz) ≡ 0. Ранее в данном классе алгебр для любого натурального m > 2 была определена алгебра Am, порождающая почти нильпотентное многообразие var(Am) экспоненциального роста с экспонентой, равной m. В настоящей работе исследуются числовые характеристики многообразий var(Am).

Для этого в относительно свободных алгебрах многообразий var(Am) рассматриваются пространства полилинейных элементов, соответствующих левонормированным многочленам с фиксированной образующей на первой позиции. Для каждого такого пространства как вполне приводимого модуля над групповой алгеброй симметрической группы определены все кратности в разложении соответствующего кохарактера в сумму неприводимых характеров.

На основе определений данных кратностей приводится метод вычисления кратностей, соответствующих полилинейным частям относительно свободных алгебр многообразий var(Am). С помощью приведенного метода вычисления кратностей для каждого n > 1 получены кодлины многообразий var(Am), m > 2. Для каждого многообразия var(Am), m > 2, в работе также описано соответствующее множество определяющих тождеств.

325-337 128
Аннотация

В работе дано новое общее определение алгебраической решётки. Доказывается, что любое рациональное преобразование алгебраической решётки снова будет алгебраической решёткой. Показано, что взаимная решётка к алгебраической решётки также будет алгебраической решёткой, соответствующей тому же чисто-вещественному алгебраическому полю Fs над полем рациональных чисел Q.

Следуя за Б. Ф. Скубенко, изучаются фундаментальные системы из чисто-вещественного алгебраического поля Fs над полем рациональных чисел Q. Показана связь между фундаментальными системами алгебраических чисел и алгебраическими решётками.

В работе доказаны оценки для норм матрицы перехода от произвольной невырожденной матрицы к рациональной приближающей матрицы. С помощью леммы об оценки нормы матрицы перехода и обратной матрицы перехода, связывающих произвольную невырожденную матрицу и невырожденную рациональную приближающую матрицу, в работе показано, что множество алгебраических решёток всюду плотно в метрическом пространстве решёток.

Доказанная теорема является частным случаем более общей теоремы о том, что для любой решётки Λ ∈ PRs множество всех решёток рационально связанных с решёткой Λ всюду плотно в PRs.

Аналогом данной теоремы является утверждение что для произвольной точки общего положения из Rs соответствующее s-мерное рациональное арифметическое пространство будет всюду плотно в s-мерном вещественном арифметическом пространстве Rs.

347-350 151
Аннотация
В работе приводятся краткие сведения о безвременно ушедшем Ярославе Андреевиче Ваграменко.


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)