АКТУАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ БИТТИ

Последовательностями Битти в англоязычной литературе называют последовательности вида [αn] и, более общо, [αn + β], где α — некоторое положительное иррациональное число и β — некоторое вещественное число (если β = 0, то последовательность называется однородной, в противном случае — неоднородной). В отечественной литературе такие последовательности обычно называются антье-последовательностями специального вида или обобщёнными арифметическими прогрессиями. Изучение свойств этих последовательностей, начатое ещё в конце XIX века, активно продолжается и в наши дни. Настоящая статья содержит обзор основных направлений исследований последовательностей Битти с указанием ключевых результатов.

Исследование распределения простых чисел в последовательностях Битти, начатое в 1970-х годах, было продолжено в 2000-х, когда благодаря привлечению новых методов, удалось получить уточнения остаточных членов в асимптотических формулах. Широкий круг задач связан с суммами значений арифметических функций на последовательностях Битти. Рядом авторов получены асимптотические формулы для суммы значений функции делителей τ(n) и многомерной функции делителей τk(n), функции суммы делителей σ(n), функции Эйлера ϕ(n), характеров Дирихле, числа простых делителей ω(n). Помимо того, получен ряд результатов в задачах о квадратичных вычетах и невычетах в последовательностях Битти. С 1990-х годов актуальным направлением исследований стали аддитивные задачи, связанные с последовательностями Битти. Изучаются аналоги классических проблем гольдбахова типа, в которых простые числа принадлежат последовательностям Битти, а также иные задачи о представлении натуральных чисел в виде суммы, часть слагаемых которой является членами такой последовательности.

1. Beatty S. Problem 3173 // Amer. Math. Monthly. 1926. Vol. 33, №3. P. 159.

2. Strutt J. W., 3rd Baron Rayleigh. The Theory of Sound. 1 (Second ed.). Macmillan. 1894. P. 123.

3. Wythoff, W. A. A modification of the game of nim // Nieuw Archief voor WisKunde. 1907. Vol. 7, №2. P. 199-202.

4. Kimberling C. and Stolarsky K. B. Slow Beatty sequences, devious convergence, and partitional divergence. // Amer. Math. Monthly. 2016. Vol. 123, №2. P. 267-273.

5. Leitman D., Wolke D. Primzahlen der Gestalt [f(n)] // Math. Z. 1975. Vol. 45. P. 81-92.

6. Бегунц А. В. О простых числах в одной антье-последовательности // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2004. №2. С. 71-74.

7. Бегунц А. В. О простых числах в антье-последовательности специального вида // Чебышевский сборник. 2006, Т. 7, №1. С. 163-171.

8. Banks W. D., Shparlinski I. E. Prime numbers with Beatty sequences // Colloq. Math. 2009. Vol. 115, №1. P. 9-16.

9. Mkaouar M. Beatty sequences and prime numbers with restrictions on strongly q-additive functions // Periodica Mathematica Hungarica. 2016. Vol. 72, №2. P. 139-150.

10. Steuding J., Technau M. The Least Prime Number in a Beatty Sequence // J. Number Theory. 2016. Vol. 169. P. 144-159.

11. Abercrombie A. G. Beatty sequences and multiplicative number theory // Acta Arith. 1995. Vol. 70. P. 195-207.

12. Бегунц А. В. Об одном аналоге проблемы делителей Дирихле // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2004. №6. P. 52-56.

13. Lu¨ G. S., Zhai W. G. The divisor problem for the Beatty sequences // Acta Math. Sinica. 2004. Vol. 47. P. 1213-1216.

14. Zhai W. G. A note on a result of Abercrombie // Chinese Sci. Bull. 1997. Vol. 42. P. 1151-1154.

15. Бегунц А. В. О распределении значений сумм мультипликативных функций на обобщенных арифметических прогрессиях // Чебышевский сборник. 2005, Т. 6, №2. С. 52-74.

16. Banks W. D., Shparlinski I. E. Non-residues and primitive roots in Beatty sequences // Bull. Austral. Math. Soc. 2006. Vol. 73. P. 433-443.

17. Banks W. D., Shparlinski I. E. Short character sums with Beatty sequences // Math. Res. Lett. 2006. Vol. 13. P. 539-547.

18. Banks W. D., Shparlinski I. E. Prime divisors in Beatty sequences // J. Number Theory. 2007. Vol. 123, №2. P. 413-425.

19. Abercrombie A. G., Banks W. D., Shparlinski I. E. Arithmetic functions on Beatty sequences // Acta Arith. 2009. Vol. 136. №1. P. 81-89.

20. Gu¨lo˘glu A. M., Nevans C. W. Sums of multiplicative functions over a Beatty sequence // Bull. Austral. Math. Soc. 2008. Vol. 78. P. 327-334.

21. Montgomery H. L., Vaughan R. C. Exponential sums with multiplicative coefficients // Invent. Math. 1977. Vol. 43 №1. P. 69-82.

22. Горяшин Д. В. Точные квадраты вида [αn] // Чебышевский сборник. 2013. Т. 14. №2. С. 68-73.

23. Горяшин Д. В. Бесквадратные числа в последовательности [αn] // Чебышевский сборник. 2013, Т. 14. №3. С. 60-66.

24. Преображенский С. Н. О наименьшем квадратичном невычете в арифметической последовательности // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2001. №1. С. 54-56.

25. Преображенский С. Н. О степенных невычетах по простому модулю в специальной антьепоследовательности // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2001. №4. С. 5960.

26. Преображенский С. Н. О наименьшем степенном невычете в антье-последовательности // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2004. №1. С. 48-49.

27. Garaev M. Z. A note on the least quadratic non-residue of the integer sequences // Bull. Austral. Math. Soc. 2003. Vol. 68. P. 1-11.

28. Banks W. D., Garaev M. Z., Heath-Brown D. R., Shparlinski I. E. Density of non-residues in Burgess-type intervals and applications // Bull. London Math. Soc. 2008. Vol. 40. P. 88-96.

29. Архипов Г. И., Буриев К., Чубариков В. Н. О мощности особого множества в бинарных аддитивных задачах с простыми числами // Труды МИАН. 1997. Т. 218. С. 28-57.

30. Bru¨dern J. Some additive problems of Goldbach’s type // Funct. et Approx. Comment. Math. 2000. Vol. 28. P. 45-73.

31. Bru¨dern J., Cook R.J., Perelli A. The Values of Binary Linear Forms at Prime Arguments // Sieve Methods, Exponential Sums and Their Applications in Number Theory. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 1997. P. 87-100.

32. Архипов Г. И., Чубариков В. Н. Об исключительном множестве в бинарной проблеме гольдбахова типа // Докл. АН. 2002. Т. 387. №3. С. 295-296.

33. Архипов Г. И., Чубариков В. Н. О мере «больших дуг» в разбиении Фарея // Чебышевский сборник. 2011. Т. 12, №4. С. 35-38.

34. Фаткина С. Ю. О представлении натурального числа суммой трех почти равных слагаемых, порожденных простыми числами // УМН. 2000. Т. 55, №1. С. 197-198.

35. Banks W., Gu¨log˘lu A. M., Nevans C. W. Representations of integers as sums of primes from a Beatty sequence // Acta Arith. 2007. Vol. 130. P. 255-275.

36. Kumchev A. V. On sums of primes from Beatty sequences // Integers. 2008. Vol. 8. P. 1-12.

37. Горяшин Д. В. Об одной аддитивной задаче с бесквадратными числами // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013, Т. 13. №4. С. 41-47.

38. Горяшин Д. В. Бинарная аддитивная задача с бесквадратными числами // Ученые записки Орловского гос. ун-та. 2013. №6 (56). С. 38-41.