Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ НЕВЫРОЖДЕННЫХ ФУНКЦИЙ НА КОРОТКИХ ОТРЕЗКАХ

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-4-106-114

Полный текст:

Аннотация

В работе получены оценки сверху и снизу количества нулей функций специального вида, а также оценка меры множества точек в которых такие фукции принимают малые значения. Пусть f1 (x), ..., fn (x) функции определенные на интервале I, n + 1 раз дифференцируемы и вронскиан из производных почти везде на I отличен от 0. Такие функции называются невырожденными. Задача о распределении нулей функции F (x) = anfn (x)+ ... +a1f1 (x)+a0, aj ∈ Z, 1 ≤ j ≤ n имеет важное значение в метрической теории диофантовых приближений.

Пусть Q > 1 достаточно большое целое число, а интервал I имеет длину Q−γ, 0 ≤ γ < 1. В работе получены оценки сверху и снизу для количества нулей функции F (x) на интервале I, при |aj| ≤ Q, 0 ≤ γ < 1. При γ = 0 такие оценки были получены А. С. Пяртли, В. Г. Спринджуком, В. И. Берником, В. В. Бересневичем, Н. В. Будариной.

Об авторах

В. И. Берник

Беларусь
Минск.


Н. В. Бударина

Россия
Москва.


А. В. Луневич

Беларусь
Минск.


Х. О’Доннел

Россия
Йорк.


Список литературы

1. Ибрагимов, И. А., Маслова, Н. Б. О среднем числе вещественных нулей случайных полиномов. II. Коэффициенты с ненулевым средним // Теория вероятн. и ее примен., 1971 vol. 16, P. 595-503

2. Запорожец, Д. Н. Ибрагимов, И. А. О площади случайной поверхности. Вероятность и статистика // Зап. научн. сем. ПОМИ, 2010, vol. 384, P. 154-1750.

3. Берник, В. И., Гётце, Ф. Распределение действительных алгебраических чисел произвольной степени в коротких интервалах // Изв. РАН. Сер. матем., 2015, vol. 79, no.1, P. 21-42.

4. Beresnevich, V. On approximation of real numbers by real algebraic numbers // Acta Arith, 1999, Vol. 90, no. 8, P. 97-112.

5. Beresnevich, V., Bernik V. On a metrical theorem of W. Shmidt. Acta Arith // Acta Arith, 1996, vol. 75, P. 219-233.

6. Beresnevich, V. A. Grasher type theorem for convergence on maifolds // Acta Matth. Hung, 2002, vol. 94(1—2), P. 99-130.

7. Baker, R. Metric diophantine aProximation on manifolds // J. Lond. Math. Soc., 1976, vol. 14, P. 43-48.

8. Berink, V. On the exact order of approximation of zero by the values of integer-valued polynomials // Acta. Arith., 1989, vol. 53, no. 1, P. 17-28.

9. Berink, V. Kleinbok, D., Marguli Y. 2001 Khinchine-type theorems on manifolds: the convergence case for standart and multiplicative versions // Jntern. Math. Res., vol. 9, P. 453-486.

10. Berink, V., Go¨tze, F. Distribution of real algebraic numbers of arbitary degree in short intervals // Jzv. Math. RAN., 2015, vol. 79, no. 1, P. 18-39.

11. Berink, V., Gusakova, A., G¨otze F. On ponts with algebraically conjugate coordinates close to smooth curves // Moscow Journal of Combinations and Number Theory, 2016, vol. 6, iss. 2-3, P. 56-101.

12. Kleinbok, D., Margulis, G. Flow on homogeneous spaces and Diophantine approximation on manifolds // Ann. of Math., 1998, vol. 148 no. 2, P. 339-360

13. Mahker K. ¨Uber das Mass der Menge aller S-Zhlen // Math. Ann.,1932, vol. 106, P. 131-139.

14. Pyartly, A. Diophantine approximation on submanifolds of euclidion space // Funk. Analis and its application, 1969, vol. 3, no. 4, P. 303-306

15. Shmidt, W. Metrische Satze u¨ber simultane Approximationen abhangiger Grossen // Monatsh. Math.,1964, vol. 68, P. 145-166

16. Sprindzuk, V. Achievements and problems of the theory of Diophantine approximations // Uspekhi mat. Baur.,1980, vol. 35, no. 4, P. 3-68.

17. Sprindzuk, V. Mahler problem in metric theory numbers, Eng. trans. // Amer. Math. Soc. Providence, 1969.

18. G¨otze, F. Koleda, D., Zaporozhets, D. Distribution of complex algebraic numbers // Proc. Amer. Math. Soc., 2017, vol. 145, no. 1, (), 61-71.

19. Bernik A., G¨otzeb F., Kukso O. Bad-approximable points and distribution of discriminants of the product of linear integer polynomials // Чебышевский сб., 2007m vol. 8, no. 2, P 140–147

20. Bernik A., G¨otzeb F., Gusakova A. On the distribution of points with algebraically conjugate coordinates in a neighborhood of smooth curves // Записки ПОМИ, 2016, P. 14-47

21. Beresnevich V., Bernik V., G¨otze F. Integral polynomials with small discriminants and resultants // Adv. Math., 2016, vol. 298, P. 393-412.

22. Koleda, D. V. On the density function of the distribution of real algebraic numbers // Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux, 2017, vol. 29, P. 179-200.


Для цитирования:


Берник В.И., Бударина Н.В., Луневич А.В., О’Доннел Х. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ НЕВЫРОЖДЕННЫХ ФУНКЦИЙ НА КОРОТКИХ ОТРЕЗКАХ. Чебышевский сборник. 2017;18(4):106-114. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-4-106-114

For citation:


Bernik V.I., Budarina N.V., Lunevich A.V., O’Donnel H. DISTRIBUTION OF ZEROS OF NONDEGENERATE FUNCTIONS ON SHORT CUTTINGS. Chebyshevskii Sbornik. 2017;18(4):106-114. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-4-106-114

Просмотров: 121


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)