Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

ОЦЕНКИ СВЕРХУ И СНИЗУ ДЛЯ КОЛИЧЕСТВА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОЧЕК В КОРОТКИХ ИНТЕРВАЛАХ

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-4-115-126

Полный текст:

Аннотация

Алгебраические числа распределены весьма причудливо. Видимо поэтому их практически никогда не используют в качестве всюду плотных множеств. Как доказали в 1970 году А. Бейкер и В. Шмидт, алгебраические числа все же обладают неким подобием равномерного распределения последовательностей на длинных интервалах, которое они назвали регулярностью. В последние годы появилось немало работ, в которых решались проблемы о длине интервалов, на которых проявляется регулярность распределения действительных алгебраических чисел. Было выяснено, что для любого целого Q > 1 существуют интервалы длины 0,5Q−1, внутри которых нет алгебраических чисел α любой степени n и высоты H(α) 6 Q. В то же время можно найти величину c0 = c0(n), что уже при c > c0 лежащие на любом интервале I длины большей cQ−1 алгебраические числа обладают свойством регулярности. Такими "удобными" для алгебраических чисел оказались интервалы, свободные от рациональных чисел с малыми знаменателями и алгебраических чисел небольшой степени и малой высоты. Для нахождения алгебраических чисел с помощью теоремы Минковского о линейных формах строятся целочисленные многочлены с малыми значениями на интервале и с большой высотой. Оказывается, что для "большинства" точек x интервала эти многочлены имеют близкие и удобные характеристики (степень, высоту, величину значения модуля многочлена в точке x). Этих характеристик достаточно для построения на интервале алгебраических чисел. В данной статье мы доказываем существование алгебраических чисел большой степени на “очень коротких“ интервалах.

Об авторах

В. И. Берник

Россия
Минск.


А. Г. Гусакова

Россия
Минск.


А. С. Кудин

Россия
Минск.


Список литературы

1. Weyl H. ¨Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Mathematische Annalen. 1916. Т. 77. С. 313-352.

2. Baker A., Schmidt W.M. Diophantine approximation and Hausdorff dimension // Proc. London Math. Soc. (3). 1970. Т. 21. С. 1-11.

3. Khintchine A. Einige S¨atze u¨ber Kettenbru¨che, mit Anwendungen auf die Theorie der Diophantischen Approximationen // Mathematische Annalen. 1924. Т. 92. С. 115-125.

4. Bernik V.I. The exact order of approximating zero by values of integral polynomials // Acta Arith. 1989. Т. 53, №1. С. 17-28.

5. Beresnevich V.V. On approximation of real numbers by real algebraic numbers // Acta Arith. 1999. Т. 50, №2. С. 97-112.

6. Beresnevich V.V. A Groshev type theorem for convergence on manifolds // Acta Math. Hungarica. 2002. Т. 94, №1-2. С. 99-130.

7. Bernik V.I., Kleinbock D., Margulis G.A. Khintchine-type theorems on manifolds: the convergence case for standard and multiplicative versions // Internat. Math. Res. Notices. 2001. №9. С. 453-486.

8. Beresnevich V.V., Bernik V.I., Kleinbock D., Margulis G.A. Metric Diophantine approximation: The Khintchine-Groshev theorem for nondegenerate manifolds // Mosc. Math. J. 2002. Т. 2, №2. С. 203-225.

9. Bernik V.I., Vasilyev D.V. A Khinchine-type theorem for integer-valued polynomials of a complex variable // Proc. Inst. Math. 1999. Т. 3. С. 10-20.

10. Beresnevich V.V., Bernik V.I., Kovalevskaya E.I. Metric theorems on the approximation of p-adic numbers // J. Number Theory. 2005. Т. 111, №1. С. 33-56.

11. Bernik V.I., Budarina N.V., Dickinson D. A divergent Khintchine theorem in the real, complex, and p-adic fields // Lith. Math. J. 2008. Т. 48, №2. С. 158-173.

12. Bernik V.I., Budarina N.V., Dickinson D. Simultaneous Diophantine approximation in the real, complex, and p-adic fields // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 2010. Т. 149, №2. С. 193-216.

13. Kuipers L., Niederreiter H. Uniform distribution of sequences. New York: Wiley. 1974.

14. Bernik V.I., Dodson M.M. Metric Diophantine Approximation on Manifolds (Cambridge Tracts in Mathematics). Cambridge: Cambridge University Press. 1999.

15. Bugeaud Y. Approximation by Algebraic Numbers (Cambridge Tracts in Mathematics). Cambridge: Cambridge University Press. 2004.

16. BernikV.I., Go¨tze F.Distributionof realalgebraicnumbersofarbitrary degreeinshort intervals // Izvestiya: Mathematics. 2015. Т. 79, №1. С. 18-39.

17. Kaliada D. Distribution of real algebraic numbers of a given degree // Dokl. Nats. Akad. Nauk Belarusi. 2012. Т. 56, №3. С. 28–33.

18. Bernik V.I., G¨otze F., Gusakova A.G. On points with algebraically conjugate coordinates close to smooth curves // Moscow J. of Comb. and Numb. Theor. 2016. Т. 6, №2-3. С. 57-100.

19. Bernik V.I., Application of the Hausdorff dimension in the theory of Diophantine approximations // Acta Arith. 1983. Т. 42, №3. С. 219-253.

20. G¨otze F., Gusakova A. On algebraic integers in short intervals & near smooth curves // Acta Arith. 2016. Т. 60, №2. С. 219-253.

21. Sprindzhuk V.G. A proof of Mahler’s conjecture on the measure of the set of S-numbers // Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 1965. Т. 29, №2. С. 379-436.

22. Sprindzhuk V.G. Mahler’s Problem in Metric Number Theory. Minsk: Nauka i Tehnika. 1967.

23. Cassels J.W.S. An Introduction to Diophantine Approximation (Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, №45). Cambridge: Cambridge University Press. 1957.

24. Budarina N.V., G¨otze F. Distance between Conjugate Algebraic Numbers in Clusters // Mat. Zametki. 2013. Т. 94, №5. С. 780-783.


Для цитирования:


Берник В.И., Гусакова А.Г., Кудин А.С. ОЦЕНКИ СВЕРХУ И СНИЗУ ДЛЯ КОЛИЧЕСТВА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОЧЕК В КОРОТКИХ ИНТЕРВАЛАХ. Чебышевский сборник. 2017;18(4):115-126. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-4-115-126

For citation:


Bernik V.I., Gusakova A.G., Kudin A.S. UPPER AND LOWER ESTIMATES OF THE NUMBER OF ALGEBRAIC POINTS IN SHORT INTERVALS. Chebyshevskii Sbornik. 2017;18(4):115-126. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-4-115-126

Просмотров: 127


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)