ОЦЕНКИ СВЕРХУ И СНИЗУ ДЛЯ КОЛИЧЕСТВА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОЧЕК В КОРОТКИХ ИНТЕРВАЛАХ
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-4-115-126
Аннотация
Алгебраические числа распределены весьма причудливо. Видимо поэтому их практически никогда не используют в качестве всюду плотных множеств. Как доказали в 1970 году А. Бейкер и В. Шмидт, алгебраические числа все же обладают неким подобием равномерного распределения последовательностей на длинных интервалах, которое они назвали регулярностью. В последние годы появилось немало работ, в которых решались проблемы о длине интервалов, на которых проявляется регулярность распределения действительных алгебраических чисел. Было выяснено, что для любого целого Q > 1 существуют интервалы длины 0,5Q−1, внутри которых нет алгебраических чисел α любой степени n и высоты H(α) 6 Q. В то же время можно найти величину c0 = c0(n), что уже при c > c0 лежащие на любом интервале I длины большей cQ−1 алгебраические числа обладают свойством регулярности. Такими "удобными" для алгебраических чисел оказались интервалы, свободные от рациональных чисел с малыми знаменателями и алгебраических чисел небольшой степени и малой высоты. Для нахождения алгебраических чисел с помощью теоремы Минковского о линейных формах строятся целочисленные многочлены с малыми значениями на интервале и с большой высотой. Оказывается, что для "большинства" точек x интервала эти многочлены имеют близкие и удобные характеристики (степень, высоту, величину значения модуля многочлена в точке x). Этих характеристик достаточно для построения на интервале алгебраических чисел. В данной статье мы доказываем существование алгебраических чисел большой степени на “очень коротких“ интервалах.
Список литературы
1. Weyl H. ¨Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Mathematische Annalen. 1916. Т. 77. С. 313-352.
2. Baker A., Schmidt W.M. Diophantine approximation and Hausdorff dimension // Proc. London Math. Soc. (3). 1970. Т. 21. С. 1-11.
3. Khintchine A. Einige S¨atze u¨ber Kettenbru¨che, mit Anwendungen auf die Theorie der Diophantischen Approximationen // Mathematische Annalen. 1924. Т. 92. С. 115-125.
4. Bernik V.I. The exact order of approximating zero by values of integral polynomials // Acta Arith. 1989. Т. 53, №1. С. 17-28.
5. Beresnevich V.V. On approximation of real numbers by real algebraic numbers // Acta Arith. 1999. Т. 50, №2. С. 97-112.
6. Beresnevich V.V. A Groshev type theorem for convergence on manifolds // Acta Math. Hungarica. 2002. Т. 94, №1-2. С. 99-130.
7. Bernik V.I., Kleinbock D., Margulis G.A. Khintchine-type theorems on manifolds: the convergence case for standard and multiplicative versions // Internat. Math. Res. Notices. 2001. №9. С. 453-486.
8. Beresnevich V.V., Bernik V.I., Kleinbock D., Margulis G.A. Metric Diophantine approximation: The Khintchine-Groshev theorem for nondegenerate manifolds // Mosc. Math. J. 2002. Т. 2, №2. С. 203-225.
9. Bernik V.I., Vasilyev D.V. A Khinchine-type theorem for integer-valued polynomials of a complex variable // Proc. Inst. Math. 1999. Т. 3. С. 10-20.
10. Beresnevich V.V., Bernik V.I., Kovalevskaya E.I. Metric theorems on the approximation of p-adic numbers // J. Number Theory. 2005. Т. 111, №1. С. 33-56.
11. Bernik V.I., Budarina N.V., Dickinson D. A divergent Khintchine theorem in the real, complex, and p-adic fields // Lith. Math. J. 2008. Т. 48, №2. С. 158-173.
12. Bernik V.I., Budarina N.V., Dickinson D. Simultaneous Diophantine approximation in the real, complex, and p-adic fields // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 2010. Т. 149, №2. С. 193-216.
13. Kuipers L., Niederreiter H. Uniform distribution of sequences. New York: Wiley. 1974.
14. Bernik V.I., Dodson M.M. Metric Diophantine Approximation on Manifolds (Cambridge Tracts in Mathematics). Cambridge: Cambridge University Press. 1999.
15. Bugeaud Y. Approximation by Algebraic Numbers (Cambridge Tracts in Mathematics). Cambridge: Cambridge University Press. 2004.
16. BernikV.I., Go¨tze F.Distributionof realalgebraicnumbersofarbitrary degreeinshort intervals // Izvestiya: Mathematics. 2015. Т. 79, №1. С. 18-39.
17. Kaliada D. Distribution of real algebraic numbers of a given degree // Dokl. Nats. Akad. Nauk Belarusi. 2012. Т. 56, №3. С. 28–33.
18. Bernik V.I., G¨otze F., Gusakova A.G. On points with algebraically conjugate coordinates close to smooth curves // Moscow J. of Comb. and Numb. Theor. 2016. Т. 6, №2-3. С. 57-100.
19. Bernik V.I., Application of the Hausdorff dimension in the theory of Diophantine approximations // Acta Arith. 1983. Т. 42, №3. С. 219-253.
20. G¨otze F., Gusakova A. On algebraic integers in short intervals & near smooth curves // Acta Arith. 2016. Т. 60, №2. С. 219-253.
21. Sprindzhuk V.G. A proof of Mahler’s conjecture on the measure of the set of S-numbers // Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 1965. Т. 29, №2. С. 379-436.
22. Sprindzhuk V.G. Mahler’s Problem in Metric Number Theory. Minsk: Nauka i Tehnika. 1967.
23. Cassels J.W.S. An Introduction to Diophantine Approximation (Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, №45). Cambridge: Cambridge University Press. 1957.
24. Budarina N.V., G¨otze F. Distance between Conjugate Algebraic Numbers in Clusters // Mat. Zametki. 2013. Т. 94, №5. С. 780-783.
Рецензия
Для цитирования:
Берник В.И., Гусакова А.Г., Кудин А.С. ОЦЕНКИ СВЕРХУ И СНИЗУ ДЛЯ КОЛИЧЕСТВА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОЧЕК В КОРОТКИХ ИНТЕРВАЛАХ. Чебышевский сборник. 2017;18(4):115-126. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-4-115-126
For citation:
Bernik V.I., Gusakova A.G., Kudin A.S. UPPER AND LOWER ESTIMATES OF THE NUMBER OF ALGEBRAIC POINTS IN SHORT INTERVALS. Chebyshevskii Sbornik. 2017;18(4):115-126. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-4-115-126
Просмотров:
761
Послать статью по эл. почте 