ОБОБЩЕННЫЕ ЯКОБИАНЫ И НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ В ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ПОЛЯХ
Аннотация
В работе определяются обобщенные многочлены Мамфорда, описывающие сложение точек на обобщенном якобиане особой гиперэллиптической кривой над полем K характеристики отличной от 2, гладкой в бесконечно удаленной точке и заданной в аффинной карте уравнением y2 = φ(x)2f(x), где многочлен f — свободен от квадратов. Нами найдена связь между разложением в непрерывную дробь квадратичных иррациональностей специального вида для гиперэллиптического поля K(x,√ f(x)) и обобщенными многочленами Мамфорда, определяющими сложение в группе классов дивизоров на особой гиперэллиптической кривой. Это соответствие между разложением в непрерывную дробь и многочленами Мамфорда позволяет доказать теорему об эквивалентности следующих условий: (i) условия квазипериодичности разложения квадратичной иррациональности специального вида в непрерывную дробь, построенного по нормированию, связанному с точкой степени 1 на нормализации кривой и (ii) условия конечности порядка класса, построенного по точке степени 1 на нормализации кривой. С помощью этого соответствия также удается обобщить результаты о симметрии квазипериода и оценки на его длину, обобщающие результаты, полученные нами ранее.
Об авторе
В. С. Жгун
ФНЦ Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук; Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики».
Россия
Москва.
Россия
Москва.
Список литературы
1. Мамфорд Д. Лекции о тэта-функциях, Мир, Москва, 1988.
2. Серр Ж. П. Алгебраические группы и поля классов, Мир, Москва, 1968.
3. Artin E. Quadratische K¨orper im Gebiete der ho¨heren Kongruenzen. I // Math. Z. 1924. Т. 171. №19:1. С. 153-246.
4. Беняш-Кривец В. В., Платонов В. П. Группы S-единиц в гиперэллиптических полях и непрерывные дроби // Математический сборник. 2009. Т. 200. №11. С. 15-44.
5. Berry T. G. On periodicity of continued fractions in hyperelliptic function fields // Arch Math. 1990. Т. 55. С. 259-266.
6. Платонов В. П., Жгун В. С., Федоров Г. В. Непрерывные дроби в гиперэллиптических полях и представление Мамфорда // Доклады РАН. 2016. Т.471. №6 С. 640–644.
7. В. П. Платонов, Г. В. Федоров, S-единицы и периодичность непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Доклады РАН. 2015. Т.465. №5 С. 537–541.
8. Rosenlicht M. Generalized Jacobian varieties // Ann. of Math. 1954. Т. 59. №3. С. 505–530.
9. Rosenlicht M. Equivalence relations on algebraic curves // Ann. of Math. 1952. Т. 56. №2. С. 169–191.
10. Хартсхорн, Р. Алгебраическая геометрия, Мир, Москва, 1981.
11. Платонов В. П., Жгун В. С., Петрунин М. М. К вопросу о простоте якобианов кривых рода 2 над полем рациональных чисел с точками кручения больших порядков // Доклады РАН. 2013. Т. 450. №4. С. 385–388.
12. Платонов В. П. Арифметика квадратичных полей и кручение в якобианах // Доклады РАН. 2010. Т. 430. №3. С. 318–320.
13. Платонов В. П. Теоретико-числовые свойства гиперэллиптических полей и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел // УМН. 2014. Т. 69:1. №415. С. 3–38.
14. Платонов В. П., Петрунин М.М. Новые порядки точек кручения в якобиа- нах кривых рода 2 над полем рациональных чисел // Доклады РАН. 2012. Т. 443. №6. С. 664–667.
15. Платонов В. П., Петрунин М. М. О проблеме кручения в якобианах кривых рода 2 над полем рациональных чисел // Доклады РАН. 2012. Т. 446. №3. С. 263-264.
При поддержке: Российский научный фонд (проект N16-11-10111)
Для цитирования:
Жгун В.С. ОБОБЩЕННЫЕ ЯКОБИАНЫ И НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ В ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ПОЛЯХ. Чебышевский сборник. 2017;18(4):208-220. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-4-208-220
For citation:
Zhgoon V.S. ON GENERALIZED JACOBIANS AND RATIONAL CONTINUED FRACTIONS IN THE HYPERELLIPTIC FIELDS. Chebyshevskii Sbornik. 2017;18(4):208-220. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-4-208-220
Просмотров: 114
Послать статью по эл. почте 