Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск
Том 17, № 1 (2016)
Скачать выпуск PDF
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-1

Статьи

11-22 272
Аннотация

Описана история создания специализированной школы-интерната №18 физико-математического профиля при МГУ им. М. В. Ломоносова. Перечислены исторические персоналии, которые стояли у истоков создания школ для обучения одаренных детей: академики — А. Н. Колмогоров, И. К. Кикоин, И. Г. Петровский, М. А. Лаврентьев; министр высшего и среднего образования В. П. Елютин и др. приведены исторические документы и фотографии. Дан персональный состав первого выпуска (1963–1964 г.г.) специализированной школы-интерната №18 физико-математического профиля. Подробно описана биография выдающегося математика Г. И. Архипова — ученика ФМШ №18 первого выпуска. Кратко охарактеризована его научная деятельность в Математическом институте имени В. А. Стеклова РАН (1983–2013 г.г.) и педагогическая работа в МГУ имени М. В. Ломоносова. Перечислены его заслуги в развитие теории чисел: решение проблем, поставленных академиком И. М. Виноградовым в работе «Метод тригонометрических сумм», исследования по проблеме Гильберта–Камке. Исследования Г. И. Архипова по проблеме Гильберта–Камке были удостоены в 1992 году премии А. А. Маркова Российской академии наук, которая присуждается математикам один раз в три года. Охарактеризован учебник «Лекции по математическому анализу», который написан в соавторстве с В. А. Садовничим и
В. Н. Чубариковым, выдержал уже шесть изданий. Приведен список всех опубликованных трудов Г. И. Архипова.

23-26 121
Аннотация

Исследования по теории дзета-функции Римана ведутся с большой интенсивностью вот уже на протяжении полутора столетий, и отдельные разделы теории стали самостоятельными научными направлениями современной аналитической теории чисел. Важную роль среди этих направлений играют теоремы о плотности распределения нулей дзетафункции Римана в критической полосе. В течении последних десятилетий этой теме посвящено большое количество научных статей. Она неоднократно затрагивалась в научных монографиях и специальных учебниках, посвященных различным вопросам аналитической теории чисел. Исследования поведения дзета-функции Римана ζ(s) в критической полосе существенным образом опираются на ее приближения отрезком ряда Дирихле.

Основным результатом данной работы является применение метода Виноградова для оценки ζ(s, k)-дзета-функции квадратичной формы K растущего отрицательного дискриминанта (−d). Непосредственному применение метода Виноградова для оценки ζ(s, k)- дзета-функции квадратичной формы K растущего отрицательного дискриминанта (−d) препятствует отсутствие подходящего для этих целей приближенного функционального уравнения. Обычно члены такого уравнения включают в себя сомножитель, являющийся значением характера группы классов дивизоров поля Q(√ −d) для положительно определенных квадратичных форм дискриминанта (−d). Данное обстоятельство является основным препятствием для эффективного применения метода тригонометрических сумм. С. М. Воронин в своей работе [1] получено приближенное функциональное уравнение для ζ(s,K), главный член которого представляет начальный отрезок ряда Дирихле этой функции, члены которого не «скручены» ни с каким характером. Это дает возможность сведения вопроса о его оценке к оценке двойной дзетовой суммы. Доказательство проводится путем приближения дзета-функции квадратичной формы отрезком ряда Дирихле. Так же в статье описана истории вопроса поведения дзета-функции Римана ζ(s) в критической полосе. Выделены основные результаты, актуальные на сегодняшний день, показаны приложения найденных результатов.

37-51 85
Аннотация

Работа является продолжением исследования авторов, посвященного аддитивным проблемам теории чисел с переменными, принадлежащими некоторому специальному множеству. Ранее были рассмотрены задачи Гольдбаха, Хуа Ло–Кена, Лагранжа, Варинга. Для числа решений этих проблем с числами специального вида были получены асимптотические формулы. Эти формулы отличаются от асимптотических формул классических задач в простых числах без ограничений тем, что в главных членах появляются ряды специального вида:
σk(N, a, b) =X |m|<∞ e2πim(ηN−0,5k(a+b)) sink πm(b − a) πkmk .
Изучение поведения этих рядов представляет собой отдельную проблему, которая также
была затронута авторами. В данной работе рассматривается оценка сверху наименьшего k как функции n, при котором любое N > N0(n) представляется суммой k таких чисел xn, что a 6 {ηxn} < b, где a и b — произвольные действительные числа, 0 6 a < b 6 1, η — алгебраическое иррациональное число.

52-70 79
Аннотация

Задачи о распределении алгебраических чисел и точек с алгебраически сопряженными координатами являются естественным продолжением задач о целых и рациональных точках в фигурах и телах евклидова пространства. В данной статье мы исследуем вопрос о распределении специальных алгебраических точек α = (α1, α2), координаты которых являются алгебраически сопряженными числами ограниченной степени и высоты с дополнительным условием: производная их минимального многочлена принимает малые значения в точках α1 и α2. Такие точки возникают в задачах, связанных с классификациями чисел Малера [1], предложенной в 1932 году, и Коксма [2], предложенной несколько позднее в 1939 году. Одной из таких задач является проблема существования Т-чисел в классификации Малера. Около 40 лет было неясно, существуют ли такие числа или этот класс пуст, и только в 1970 году в работе В. Шмидта [3] было показано, что класс Т-чисел непустой и предложена конструкция данных чисел. Другая проблема — это вопрос о различии классификаций Малера и Коксма. В 2003 году Я. Бюжо опубликовал работу [4], в которой доказано, что существуют числа, для которых характеристики Малера и Коксма различны. Для доказательства данных фактов используются специальные алгебраические точки α = (α1, α2), рассмотренные в статье. Мы рассматриваем специальные алгебраические точки α = (α1, α2) такие, что высота алгебраических чисел α1 и α2 не превосходит Q, а их степень не превосходит n и модуль производной их минимального члена P(t) принимает следующие значения: |P′(α1)| ≤ Q1−v1 и |P′(α2)| ≤ Q1−v2 при 0 < v1, v2 < 1. В работе найдены точные оценки сверху и снизу для количества специальных алгебраических точек в прямоугольниках, мера Лебега которых имеет порядок Q−1+v1+v2 .

71-89 179
Аннотация

Настоящая работа посвящена проблеме распределения нетривиальных нулей дзета-функция Римана ζ(s) на критической прямой ℜs = 1/2. На полуплоскости ℜs > 1 дзетафункция Римана задаётся рядом Дирихле ζ(s) = X+∞ n=1 n−s, и аналитически продолжается на всю комплексную плоскость кроме точки s = 1. Хорошо известно, что все нетривиальные нули дзета-функция Римана расположены симметрично действительной оси и прямой ℜs = 1/2, которая называется критической. В 1959 г. Риман высказал гипотезу о том, что все нетривиальные нули ζ(s) лежат на критической прямой ℜs = 1/2. Первое доказательство бесконечности множества нулей ζ(s) на критической прямой принадлежит Г. Харди. В 1942 г. А. Сельберг установил, что больше, чем cH ln T нулей нечетного порядка функции ζ(0, 5+it) лежит на отрезке [T, T +H],H = T0,5+ε, где ε — произвольная малая постоянная. В 1984 г. А. А. Карацуба усилил результат Сельберга, а именно для отрезка критической прямой меньшей длины [T, T + H],H = T27/82+ε. Проблема уменьшения длины выше указанного отрезка представляет собой трудность. Тем не менее, если рассматривать эту задачу «в срденем», то она решена А. А. Карацубой. Он доказал, что почти все отрезки прямой ℜs = 1/2 вида [T, T +Xε], где 0 < X0(ε) < X 6 T 6 2X, содержат более c0(ε)Tε ln T нулей нечетного порядка функции ζ(1/2+it). В 1988 г. Киселёва Л. В. получила результат подобного рода, но для отрезка (X,X + X11/12+ε). В настоящей работе длина отрезка осреднения уменьшена. Автор доказал результат Карацубы для отрезка (X,X + X7/8+ε). 

90-107 108
Аннотация

Множества ограниченного остатка представляют собой множества, для которых остаточный член многомерной проблемы распределения дробных долей линейной функции ограничен константой, не зависящей от числа точек. Такие множества впервые были введены Гекке и далее рассматривались Эрдешем, Кестеном, Фюрстенбергом, Петерсеном, Сюсом, Лиарде и другими математиками. В настоящее время в одномерном случае известно полное описание интервалов ограниченного остатка, а также точные оценки остаточного члена в случае таких интервалов. Также получен ряд более тонких результатов, включая точные формулы для максимума и минимума остаточного члена, описание остаточного члена как кусочно-линейной функции, немонотонные оценки, вычисление среднего значения, а также оценки скорости достижения точных границ и т.д. В случае высших размерностей в настоящее время известны лишь отдельные примеры множеств ограниченного остатка. В частности, в последние годы В. Г. Журавлевым, А. В. Шутовым и А. А. Абросимовой были предложены новые конструкции семейств многомерных множеств ограниченного остатка, основанные на использовании перекладывающихся разбиений тора. Для введенных множеств удалось не только доказать ограниченность остаточного члена, но и вычислить его максимум, минимум, а также среднее значение. В настоящей работе исследуется более тонкая характеристика остаточного члена на множествах ограниченного остатка, связанных с перекладывающимися разбиениями тора: его функция распределения. Показано, что распределение остаточного члена является равномерным только в случае размерности 1. Найден алгоритм вычисления нормированной функции распределения и доказан ряд структурных результатов об этой функции. В случае ряда двумерных множеств ограниченного остатка соответствующая нормированная функция распределения вычислена в явном виде.

108-116 79
Аннотация

В работе рассматриваются некоторые гипергеометрические функции при специальном соотношении между их параметрами. Получены оценки снизу модулей линейных форм от значений таких функций. Обычно для получения подобных оценок используют метод Зигеля, см. [1], [2], [3, гл. 3]. При применении этого метода рассуждения начинаются с построения при помощи принципа Дирихле линейной приближающей формы, имеющей достаточно большой порядок нуля в начале координат. Используя систему дифференциальных уравнений, которой удовлетворяют рассматриваемые функции, строят затем совокупность таких форм, причем определитель, составленный из их коэффициентов, не должен быть тождественным нулем. Дальнейшие шаги состоят в переходе к числовым линейным формам и к доказательству интересующих исследователя утверждений: доказывается линейная независимость значений рассматриваемых функций или устанавливаются соответствующие количественные результаты. С помощью метода Зигеля доказаны достаточно общие теоремы, касающиеся арифметической природы значений обобщенных гипергеометрических функций, причем кроме упомянутой выше линейной независимости во многих случаях установлена также трансцендентность и алгебраическая независимость значений таких функций. Однако использование принципа Дирихле на начальном этапе ограничивает возможности метода. Его непосредственное применение возможно лишь для гипергеометрических функций с рациональными параметрами. Следует отметить также недостаточную точность получаемых этим методом количественных результатов. В связи с вышесказанным был разработан некоторый аналог метода Зигеля (см. [4]), с помощью которого в ряде случаев удалось исследовать арифметическую природу значений гипергеометрических функций также и с иррациональными параметрами. Еще раньше, однако, стали применяться методы, основанные на эффективном построении линейной приближающей формы. С помощью таких построений была исследована арифметическая природа классических констант и были получены соответствующие количественные результаты, см., например, [5, гл. 1]. В дальнейшем выяснилось, что эффективные методы применимы и при исследовании обобщенных гипергеометрических функций. Были получены, в частности, явные формулы для коэффициентов линейных приближающих форм. В ряде случаев эти формулы позволяют реализовать схему метода Зигеля и для гипергеометрических функций с иррациональными параметрами. Если в приведенной ниже формуле (1) многочлен a(x) тождественно равен единице, то полученные эффективным методом результаты носят довольно общий характер, и здесь дальнейшее развитие этого метода наталкивается на трудности принципиального характера. Если же a(x) ̸≡ 1, то возможности эффективного метода еще не исчерпаны: результаты, полученные на сегодняшний день, могут быть обобщены и улучшены. В теоремах, доказанных в настоящей работе, устанавливаются новые качественные и количественные результаты для некоторых гипергеометрических функций, у которых a(x) = x + α, и многочлен b(x) из (1) имеет специальный вид. Рассматривается случай иррациональных параметров, однако используемые соображения позволят, по-видимому, получить новые результаты для таких функций и в случае рациональных параметров.

117-129 70
Аннотация

В статье рассматриваются алгебраические целые числа второй степени и приводимые квадратичные унитарные многочлены с целыми коэффициентами. Пусть Q > 4 — целое число. Пусть Ωn(Q, S) — количество целых алгебраических чисел степени n и высоты 6 Q, принадлежащих множеству S ⊆ R. В работе уточнён остаточный член в асимптотической формуле для Ω2(Q, I), где I — произвольный отрезок. Обозначим через R(Q) множество приводимых унитарных многочленов второй степени с целыми коэффициентами и высотой 6 Q. Получена формула #R(Q) = 2 XQ k=1 τ (k) + 2Q + hp Q i − 1, где τ (k) — количество делителей числа k. Показано также, что количество вещественных целых алгебраических чисел второй степени и высоты 6 Q имеет асимптотику Ω2(Q,R) = 8Q2 − 16 3 Q p Q − 4QlnQ + 8(1 − γ)Q + O  p Q  , где γ — постоянная Эйлера. Известно, что функция плотности распределения алгебраических целых степени n равномерно стремится к плотности алгебраических чисел степени n−1. Мы показываем, что при n = 2 интеграл от их разности имеет ненулевой предел при стремлении высоты чисел к бесконечности.

130-139 86
Аннотация

Дaны оценки линейных сумм с многочленом Бернулли первой степени. Если коэффициент в линейной функции является иррaционaльным числом с огрaниченными неполными чaстными, то aрифметическaя суммa имеет “корневую” оценку. Подобную оценку дaет теоремa Ротa для любого иррaционaльного aлгебрaического числa, но при этом констaнты в оценкaх будут неэффективными. Новые трудности возникaют для сумм по простым числaм. Они связaны с рaссмотрением билинейных форм.

140-147 69
Аннотация

Во многих задачах теории чисел, связанных с распределением обратных величин в кольце вычетов по заданному модулю q, большую роль играют оценки тригонометрических сумм специального вида, которые называются суммами Клоостермана. В свою очередь, оценки таких сумм зачастую опираются на оценку А. Вейля т.н. полной суммы Клоостемана по простому модулю. Последняя позволяет оценивать со степенным понижением суммы Клоостермана, число N слагаемых в которых превышает величину q0.5+ε, где ε > 0 — сколь угодно малое фиксированное число. Оценка А. Вейля была получена средствами алгебраической геометрии. Позже С. А. Степановым было найдено элементарное её дказательство, также достаточно сложное. Цель настоящей заметки — дать элементарный вывод оценки суммы Клоостермана, также позволяющий получить степенное понижение в случае N > q0.5+ε. Этот вывод основан на использовании т.н. “аддитивного сдвига” переменной суммирования, который широко используется в различных задачах теории чисел.

148-157 80
Аннотация

В 1975 г. Сергей Михайлович Воронин открыл свойство универсальности дзета-функции Римана ζ(s), s = σ+it, о приближении широкого класса аналитических функций сдвигами ζ(s + iτ ), τ ∈ R. Позже оказалось, что и некоторые другие дзета-функции обладают свойством универсальности в смысле Воронина. Если сдвиг τ принимает значения из некоторого дискретного множества, то универсальность называется дискретной. В работе изучается дискретная универсальность периодических дзета-функций Гурвица. Периодическая дзета-функция Гурвица ζ(s, α; a) определяется рядом с членами am(m + α)−s, m = 0, 1, 2, . . . , где 0 < α ≤ 1 – фиксированное число, а a = {am} – периодическая последовательность комплексных чисел. Доказано, что широкий класс аналитических функций с заданной точностью приближается сдвигами ζ(s + ihkβ1 logβ2 k, α; a) с k = 2, 3, . . . , где h > 0 и 0 < β1 < 1, β2 > 0 – фиксированные числа, а множество {log(m + α) : m = 0, 1, 2, . . . } линейно независимо над полем рациональных чисел. Получено, что множество таких сдвигов, приближающих данную аналитическую функцию, имеет положительную нижнюю плотность. При доказательстве используются свойства равномерно распределенных по модулю 1 последовательностей действительных чисел.

160-170 83
Аннотация

Область исследования работы относится к разделу теории чисел, занимающемуся изучением множеств ограниченного остатка. Рассматриваются орбиты движения точек на торе. Орбиты задаются сдвигом на иррациональный вектор начальной точки. Для определения колличества точек орбиты, попавших в заданную область T на торе, вводится считающая функция r(i). Справедлива ассимптотическая формула r(i) = iVol (T)+δ(i), где δ(i) = o(i) — остаточный член формулы, или отклонение считающей функции от ожидаемой величины. Множество называется множеством ограниченного остатка или BR-множеством, если границы отклонений не превосходят некоторой константы. В работе используется новый метод построения множеств ограниченного остатка на основе разбиений параметрических многогранников. Рассматриваемые многогранники являются развертками тора. Необходимым условием для построения множеств ограниченного остатка, является разбиение развертки на такие области, при перекладывании котрых, снова будет получаться исходная развертка, а перекладывание будет соответсвовать сдвигу тора. Автором было получено семейство разбиений, обладающих этим свойством, и порождающих двумерные BR-множества. Найденный метод параметрических многогранников, позволил не только получить точные оценки остаточных членов, необходимые для решения прикладных задач, но и определить средние значения отклонений, а так же построить оптимизацию границ отклонений, позволяющую применять полученные результаты для построения сбалансированных последовательностей (являющихся аналогом последовательности Штурма в одномерном случае). В настоящей работе удалось обобщить рассмотренный метод на случай трехмерных торов и получить для них точные оценки остаточных членов и их средние значения.

171-186 103
Аннотация

Работа посвящена изучению связи теории распределения целых точек на простейшем гиперболоиде с некоторыми гипотезами для L-функции Дирихле. При применении дискретного эргодического метода (далее ДЭМ), разработанного Ю. В. Линником (см. [1, 2]) к задаче распределения целых точек на гиперболоидах x1x3 −x22 = m (так же как и в случае сферы) в формулировках теорем об асимптотически равномерном распределении целых точек участвует некоторое вспомогательное простое число p такое, что символ Лежандра −m p  = 1. В эргодических теоремах и теоремах перемешивания для целых точек наличие такого простого числа было естественным, так как оно порождало поток примитивных точек, используемый в ДЭМ при выводе асимптотических формул для числа целых точек на сфере и на гиперболоиде. Представляет большой интерес получение остаточных членов в асимптотических формулах для целых точек по областям на сфере и на гиперболоиде в рамках используемого ДЭМ (см. [2, 3]). Исследования в этом направлении для целых точек на эллипсоидах проводились А. В. Малышевым и автором [3], а также Е. П. Голубевой [4, 5] методом А. И. Виноградов [6], являющегося развитием дисперсионного метода Ю. В. Линника [7]. Оказывается, что некоторые ослабленные гипотезы для L-функции Дирихле, непосредственно следующие из расширенной гипотезы Римана позволяют устранить указанный недостаток. Учитывая это обстоятельство в сочетании с тем, что А. В. Малышевым и Б. М. Широковым в [8] получено новое доказательство ключевой леммы ДЭМ для гиперболоидов обоих видов, мы проводим соответствующее исследование. В нашей работе исследование ведется сразу для обоих случаев простейших гиперболоидов и в сочетании с использованием некоторых гипотез о поведении L-функции Дирихле получаем значительное упрощение рассуждений и улучшение формулировок результатов. В связи с нашим исследованием отметим так же, что Дьюк [9] методом модулярных форм с использованием результатов Иванца [10] получил асимптотическую формулу с безусловным остаточным членом для числа целых точек в областях на простейшем гиперболоиде. Но в [9] в отличие от нашей работы не рассматривалось распределение целых точек по классам вычетов по заданному модулю. В связи с этим возникает интересная задача по перенесению результатов Дьюк [9] на распределение целых точек простейшего гиперболоида по прогрессиям, т.е. по классам вычетов.

187-200 171
Аннотация

Классическое (θ, p)-неравенство Пуанкаре на Rn  1 μ(B) ˆ B  f(y) − 1 μ(B) ˆ B f dμ θ dμ(y)   1/θ . rB   1  μ(B) ˆ B |∇f|p dμ    1/p , (rB — радиус шара B ⊂ Rn) обладает свойством самоулучшения — из (1, p)-неравенства, 1 < p < n, вытекает «более сильное» (q, p)-неравенство (Соболева–Пуанкаре), где 1/q = 1/p − 1/n (неравенство A . B означает, что A 6 cB с несущественной постоянной c). Такой эффект изучался в ряде работ для неравенств более общего вида   1 μ(B)  ˆ B |f(y) − SBf|θ dμ(y)   1/θ . η(rB)    1 μ(B) ˆ σB gp dμ    1/p для функций на метрическом пространстве с мерой. Здесь f ∈ Lθ 
loc, g ∈ Lp loc, SBf — некоторое число, зависящее от шара B и функции f, η — некоторая положительная возрастающая функция, σ > 1. В качестве SBf выбиралось среднее значение функции f по шару B и рассматривался случай p > 1. Мы изучаем свойство самоулучшения для таких неравенств на квазиметрических пространствах с мерой, удовлетворяющей условию удвоения с показателем γ > 0. Существенным отличием нашей работы от предыдущих является рассмотрение случая p, θ > 0. В этой ситуации функции не обязаны быть суммируемыми и мы берем SBf = I(θ) B f — наилучшее приближение постоянными в метрике пространства Lθ(B). Мы доказываем, что если η(t)t−α возрастает при некотором α > 0, то при 0 < p < γ/α и θ > 0 из (θ, p)-неравенства Пуанкаре вытекает (q, p)-неравенство с 1/q > 1/p − γ/α. При p > γ(γ+α)−1 (при таких p функция f является локально суммируемой) отсюда вытекает также (q, p)-неравенство с интегральными средними на месте наилучших приближений I(θ) B f. В работе рассматриваются также случаи αp = γ и αp > γ. Если αp = γ, то из (θ, p)-неравенства Пуанкаре вытекает (q, p)-неравенство с любым q > 0 и, более того, справедливо экспоненциальное неравенство типа известного неравенства Трудингера. Если же αp > γ, то из (θ, p)-неравенства Пуанкаре вытекает неравенство |f(x) − f(y)| . η(d(x, y))[d(x, y)]−γ/p . [d(x, y)]α−γ/p для почти всех x и y из любого фиксированного шара B (. зависит от B).

201-216 90
Аннотация

Метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами И. М. Виноградова позволил ему решить ряд арифметических проблем с простыми числами. Одна из них касается распределения значений неглавного характера на последовательностях сдвинутых простых чисел. В 1938 г. он доказал: если q — простое нечётное, (l, q) = 1, χ — неглавный характер по модулю q, тогда T(χ) = X p6x χ(p − l) ≪ x1+ε  r 1 q + q  x + x−1 6   . (IMV ) При x ≫ q1+ε эта оценка нетривиальна и из неё следует асимптотическая формула для числа квадратичных вычетов (невычетов) mod q вида p − l, p 6 x. Затем в 1953 г. И. М. Виноградов получил нетривиальную оценку T(χ) при x > q0,75+ε, q — простое. Этот результат был неожиданным. Дело в том, что T(χ) можно записать в виде суммы, по нулям соответствующей L — функции Дирихле; тогда в предположении справедливости расширенной гипотезы Римана для T(χ) получится нетривиальная оценка, но только при x > q1+ε. В 1968 г. А. А. Карацуба нашел метод, который позволил ему получить нетривиальную оценку коротких сумм характеров в конечных полях фиксированной степени. В 1970 г. он с помощью развития этого метода в соединении с методом И. М. Виноградова доказал: если q — простое, χ — неглавный характер по модулю q, x > q 1 2+ε, тогда T(χ) ≪ xq− ε2 1024 .  В 1985 г. З. Х. Рахмонов обобщил оценку (IMV) на случай составного модуля и доказал: пусть D — достаточно большое натуральное число, χ — неглавный характер по модулю D, χq — примитивный характер, порожденный характером χ, тогда T(χ) 6 x ln5 x r 1 q  + q x τ 2(q1) + x−1 6 τ (q1)  , q1 = Y p\D p̸\q p. Если характер χ совпадает со своим порождающим примитивным характером χq, то последняя оценка нетривиальна при x > q(ln q)13. В 2010 г. Дж. Б. Фридландер, К. Гонг, И. Е. Шпарлинский для составного q показали, что нетривиальная оценка суммы T(χq) существует, когда x — длина суммы — по порядку меньше q. Они доказали: для примитивного характера χq и всякого ε > 0 существует δ > 0, что для всех x > q 8 9+ε имеет место оценка T(χq) ≪ xq−δ. В 2013 г. З. Х. Рахмонов для составного q и примитивного характера χq доказал нетривиальную оценку T(χq) при x > q 5 6+ε. В этой работе для модулей q – свободных от кубов, доказана теорема об оценке суммы T(χq), являющиеся нетривиальной при x > q 1 2+ε. 

217-231 80
Аннотация

И. М. Виноградов первым начал изучать короткие тригонометрические суммы с простыми числами. Для сумм вида Sk(α; x, y) = X x−y<n6x Λ(n)e(αnk), α = a q + λ, |λ| 6 1 qτ , 1 6 q 6 τ. при k = 1, используя свой метод оценок сумм с простыми числами, он доказал нетриви- альную оценку при exp(c(ln ln x)2) ≪ q ≪ x1/3, y > x2/3+ε, основу которой наряду с «решетом Виноградова», при k = 1 составляют оценки коротких двойных тригонометрических сумм вида Jk(α; x, y,M,N) = X M<m62M a(m) X U<n62N x−y<mn6x b(n)e(α(mn)k), где a(m) и b(n) – произвольные комплекснозначные функции, M, N – натуральные, N 6 U < 2N, x > x0, y – вещественные числа. Затем Хейзелгроув, В. Статулявычус, Пан Чен-дон и Пан Чен-бьяо, Чжан Тао получили нетривиальную оценку суммы S1(α; x, y), y > xθ, q — произвольное, и доказали асимптотическую формулу в тернарной проблемы Гольдбаха с почти равными слагаемыми с условиями |pi − N/3| 6 H, H = Nθ, соответственно при θ = 63 64 + ε, 279 308 + ε, 2 3 + ε, 5 8 + ε.  Сумму J2(α; x, y,M,N) изучили Дж. Лю и Чжан Тао и получили нетривиальную оценку суммы S2(α; x, y) при y > x 11 16+ε.  Работа посвящена выводу нетривиальных оценок сумм J3(α; x, y,M,N), в которых имеется «длинная» сплошная сумма на малых дугах.

232-239 86
Аннотация

В монографии «Universal algebra» Г. Гретцер приводит следующий пример. Пусть A — универсальная алгебра (множество с некоторым набором операций Σ). Возьмём проивольное подмножество B ⊆ A и для каждой операции f ∈ Σ (обозначим её арность через n) рассмотрим, каким образом f действует на элементы из Bn. Не обязательно f(B) ⊆ B, поэтому в общем случае B не является подалгеброй алгебры A. Если же ввести понятие частичной операции на B как отображения некоторого подмножества множества Bn в множество B, то B будет множеством с заданным на нём набором частичных операций. Такие множества называются частичными универсальными алгебрами. В нашем примере B будет частичной универсальной подалгеброй алгебры A в том смысле, что множество B будет замкнуто относительно всех частичных операций частичной алгебры B. Таким образом, частичные универсальные алгебры естественным образом возникают при изучении обычных универсальных алгебр. Понятие конгруэнции универсальной алгебры обобщается на частичные алгебры. Известно, что конгруэнции частичной универсальной алгебры A всегда образуют решётку, а если A является полной (то есть обычной) алгеброй, то решётка конгруэнций алгебры A является подрешёткой решётки отношений эквивалентности на A. Решётка конгруэнций частичной универсальной алгебры является её важной характеристикой. Для важнейших классов универсальных алгебр был получен ряд результатов, характеризующих алгебры A, не имеющие никаких конгруэнций, кроме тривиальных (отношение равенства на A и отношение A2). Оказалось, что в большинстве случаев, когда решётка конгруэнций универсальной алгебры тривиальна, сама алгебра имеет отнюдь не тривиальное строение. А что можно сказать про алгебры A, у которых решётка конгруэнций, наоборот, содержит все отношения эквивалентности на A? Оказывается, что в этом случае каждая операция f универсальной алгебры A является либо константой (|f(A)| = 1), либо проекцией (f(x1, ..., xi, ..., xn) ≡ xi). Кожуховым И. Б. были описание полугруппы, у которых каждое отношение эквивалентности является односторонней конгруэнцией. Интересно обобщить эти результаты на случай частичных универсальных алгебр. В данной работе изучаются частичные n-арные группоиды G, у которых операция f удовлетворяет следующему условию: для любых элементов x1, ..., xk−1, xk+1, ..., xn ∈ G значение выражения f(x1, ..., xk−1, y, xk+1, ..., xn) определено не менее, чем для трёх различных элементов y ∈ G. Доказывается, что если каждое отношение эквивалентности на G является конгруэнцией частичного n-арного гурппоида (G, f), то при определённых условиях на G частичная операция f является константой.

240-253 81
Аннотация

В статье вычислены точные значения различных поперечников в пространстве Bq,γ ,
1 ≤ q ≤ ∞ с весом γ классов W(r) q,a (Φ, μ). Эти классы состоят из функций f, аналитических в круге UR := {z : |z| ≤ R}(0 < R ≤ 1), у которых производные r(r ∈ N)-го порядка по аргументу f(r) a принадлежат пространству Bq,γ(1 ≤ q ≤ ∞, 0 < R ≤ 1), и имеют усредненные модули гладкости второго порядка, мажорируемые заданной функцией Φ, прич¨ем всюду далее предполагается, что Φ(t), t ≥ 0 есть произвольная непрерывная возрастающая функция такая, что Φ(0) = 0. Доказаны точные неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями аналитических в единичном круге функций и интегралами, содержащими усредн¨енное значение модуля гладкости второго порядка производной r-го порядка функции с конкретным весом, вытекающей из содержательного смысла постановки самой задачи. Полученный результат гарантирует вычисление точных значений бернштейновских и колмогоровских поперечников. Метод приближения, полученный при оценке сверху n-поперечника Колмогорова, опирается на оценке модуля гладкости комплексных полиномов, ранее доказанной Л. В. Тайковым. Особый интерес представляет задача построения наилучших линейных методов приближения классов функций W(r) q,a (Φ, μ) и связанные с этой задачей вычисления точных значений линейных и гельфандовских n-поперечников. Найденные наилучшие линейные методы зависят от заданного числа μ ≥ 1 и, в частности, при μ = 1 содержат ранее известные результаты. Также указаны в явном виде оптимальные подпространства заданной размерности, реализующие значения поперечников.

254-269 106
Аннотация

Теория n-арных групп возникла как обобщение теории обычных (бинарных) групп. Многие определения из теории групп имеют n-арный аналог в теории n-арных групп. Например, n-арными аналогами абелевой группы являются абелева и полуабелева n-арные группы. n- арная группа ⟨G, f⟩ называется полуабелевой, если в ней верно тождество f(x1, x2, . . . , xn −1, xn) = f(xn, x2, . . . , xn−1, x1). Если же в n-арной группе ⟨G, f⟩ верны тождества f(x1, . . . , xn) = f(xσ(1), . . . , xσ(n)) для любой подстановки σ ∈ Sn, то ее называют абелевой. Имеется тесная связь между группами и n-арными группами. Отметим частный случай теоремы Глускин-Хоссу для полуабелевых n-арных групп. На любой полуабелевой n-арной группе ⟨G, f⟩ можно определить абелеву группу ⟨G,+⟩, где a + b = f(a, c, . . . , c, ¯c, b) для c из G. Тогда для элемента d = f(c, . . . , c) и автоморфизма ϕ(x) = f(c, x, c, . . . , c, ¯c) группы ⟨G,+⟩, верны равенства ϕ(d) = d, ϕn−1(x) = x для любого x ∈ G, f(a1, . . . , an) = a1 + ϕ(a2) + . . . + ϕn−2(an−1) + an + d. Группу ⟨G,+⟩ называют ретрактом n-арной группы ⟨G, f⟩ и обозначают retc⟨G, f⟩. Верно и обратно: в любой абелевой группе ⟨G,+⟩ для выбранных автоморфизма ϕ и элемента d с указанными выше условиями задается полуабелева n-арная группа ⟨G, f⟩. n-арную группу ⟨G, f⟩ в этом случае называют (ϕ, d)-определенной на группе ⟨G,+⟩ и обозначают derϕ,d⟨G,+⟩. Пусть ⟨G, f⟩ = derϕ,d⟨G,+⟩ – полуабелева n-арная группа. Для каждого автоморфизма ϕ′ группы ⟨G,+⟩, сопряженного автоморфизму ϕ, на группе ⟨G,+⟩ рассмотрим эндоморфизм μϕ′ (x) = x + ϕ′(x) + . . . + ϕ′n−2(x). Im μϕ′ – образ этого эндоморфизма. Пусть ϕ′ = θ ◦ ϕ ◦ θ−1. Тогда для каждого такого автоморфизма θ имеем смежный класс θ(d) + Im μϕ′ по подгруппе Im μϕ′ . Набор {θ(d) + Im μϕ′ | θ ∈ Aut ⟨G,+⟩} всех таких смежных классов назовем определяющим набором множеств для n-арной группы ⟨G, f⟩. Доказано, что полуабелевы n-арные группы ⟨G, f⟩ = derϕ,d⟨G,+⟩ и ⟨G, f′⟩ = derψ,q⟨G,+⟩ изоморфны тогда и только тогда, когда автоморфизмы ϕ и ψ сопряжены в группе автоморфизмов группы ⟨G,+⟩ и определяющие наборы множеств этих n-арных групп одинаковые с точностью до перестановки. В работе изучаются конечные полуабелевы n-арные группы. Показано, что любая полуабелева n-арная группа ⟨G, f⟩ порядка |G| = pα1 1 pα2 2 . . . pαk k изоморфна прямому произведению ⟨G1, f1⟩ × ⟨G2, f2⟩ × . . . × ⟨Gk, fk⟩ n-арных pi-групп ⟨Gi, fi⟩ порядков |Gi| = pαi i , где pi – различные простые числа. Это разложение определено однозначно. Опираясь на указанное разложение конечной полуабелевой n-арной группы в прямое произведение примарных полуабелевых n-арных групп и на его единственность, мы приходим к основному утверждению о конечных полуабелевых n-арных группах: всякая конечная полуабелева n-арная группа изоморфна прямому произведению примарных полуабелевых n-арных групп. Любые два таких разложения имеют по одинаковому числу множителей и примарные множители в этих разложениях по одному и тому же простому числу имеют одинаковые инварианты. Доказана основная теорема о строении конечных абелевых n-арных групп: всякая конечная абелева n-арная группа изоморфна прямому призведению примарных абелевых полуциклических n-арных групп. Любые два таких разложения имеют по одинаковому числу множителей каждого порядка и по каждому простому делителю порядка этой n-арной группы произведения примарных множителей в этих разложениях имеют одинаковые инварианты.

270-283 76
Аннотация

Пусть τk(n) — число решений уравнения x1x2 · · · xk = n в натуральных числах x1, x2, . . . xk. Пусть Dk(x) = X n6x τk(n). Задача получения асимптотической формулы для Dk(x) при k = 2 называется проблемой делителей Дирихле, а при k > 3 — обобщенной проблемой делителей Дирихле. Эта асимптотическая формула имеет вид Dk(x) = xPk−1(log x) + O(xαk+ε), где Pk−1(x) — многочлен степени k − 1, 0 < αk < 1, ε > 0 — сколь угодно малое число. Обобщенная проблема делителей Дирихле имеет богатую историю. В 1849 Л. Дирихле [1] доказал, что αk 6 1 − 1 k , k > 2. В 1903 году Г.Ф. Вороной [2] доказал, что (см. также [3]) αk 6 1 − 1 k + 1 , k > 2. В 1922 году Г. Харди и Д. Литтлвуд [4] доказал, что αk 6 1 − 3 k + 2 , k > 4. В 1979 году. Р. Хис-Браун [5] доказал, что αk 6 1 − 3 k , k > 8. В 1972 году замечательный результат получил А. А. Карацуба [6]. Его оценка остаточного члена асимптотической формулы имеет вид O(x1− c k2/3 (c1 log x)k), где c > 0, c1 > 0 — абсолютные постоянные. Эта оценка равномерна по 2 6 k 6 log x. Пусть N0 — класс множества натуральных чисел, двоичного разложения которых содержат четное число единиц. В 1991 автор [8] решил проблему делителей Дирихле в числах из множества N0 и получил формулу X n6X n∈N0 τ (n) = 1 2 X n6X  τ (n) + O(Xω ln2 X),  где τ (n) — число делителей n, ω = 1 2

286-298 324
Аннотация

Владимир Игоревич Парусников скончался 22 августа 2015 года после тяжелой и продолжительной болезни. Он родился в Москве 21 января 1957 года. Владимир Игоревич окончил механико-математический факультет Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, в 1982 году — аспирантуру и в 1983 году защитил кандидатскую диссертацию на мехмате МГУ. В Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша он работал с 1982 года младшим, а с 1996 — старшим научным сотрудником. Опубликовал более 45 научных работ по функциональным и числовым цепным дробям и их обобщениям. В. И. Парусников был добрым, честным, ответственным человеком и талантливым математиком. Его кончина — это большая потеря для ИПМ им. М. В. Келдыша и для науки в целом. Похоронен на Хованском кладбище в Москве. Здесь даётся обзор его математических работ. Сначала он изучал обобщённые функциональные цепные дроби и получил по ним сильные результаты. Последние двадцать лет он совместно с А. Д. Брюно искал многомерное обобщение цепной дроби, дающее как наилучшие диофантовы приближения, так и периоды в алгебраическом случае. Такое обобщение было найдено. Первый раздел статьи подготовлен А. И. Аптекаревым, второй раздел — А. Д. Брюно, список научных работ В. И. Парусникова — А. Б. Батхиным.



Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)