ОБ ОЦЕНКЕ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ДИСКРИМИНАНТА НА ЕДИНИЧНОЙ ПРЯМОЙ

Исследования по теории дзета-функции Римана ведутся с большой интенсивностью вот уже на протяжении полутора столетий, и отдельные разделы теории стали самостоятельными научными направлениями современной аналитической теории чисел. Важную роль среди этих направлений играют теоремы о плотности распределения нулей дзетафункции Римана в критической полосе. В течении последних десятилетий этой теме посвящено большое количество научных статей. Она неоднократно затрагивалась в научных монографиях и специальных учебниках, посвященных различным вопросам аналитической теории чисел. Исследования поведения дзета-функции Римана ζ(s) в критической полосе существенным образом опираются на ее приближения отрезком ряда Дирихле.

Основным результатом данной работы является применение метода Виноградова для оценки ζ(s, k)-дзета-функции квадратичной формы K растущего отрицательного дискриминанта (−d). Непосредственному применение метода Виноградова для оценки ζ(s, k)- дзета-функции квадратичной формы K растущего отрицательного дискриминанта (−d) препятствует отсутствие подходящего для этих целей приближенного функционального уравнения. Обычно члены такого уравнения включают в себя сомножитель, являющийся значением характера группы классов дивизоров поля Q(√ −d) для положительно определенных квадратичных форм дискриминанта (−d). Данное обстоятельство является основным препятствием для эффективного применения метода тригонометрических сумм. С. М. Воронин в своей работе [1] получено приближенное функциональное уравнение для ζ(s,K), главный член которого представляет начальный отрезок ряда Дирихле этой функции, члены которого не «скручены» ни с каким характером. Это дает возможность сведения вопроса о его оценке к оценке двойной дзетовой суммы. Доказательство проводится путем приближения дзета-функции квадратичной формы отрезком ряда Дирихле. Так же в статье описана истории вопроса поведения дзета-функции Римана ζ(s) в критической полосе. Выделены основные результаты, актуальные на сегодняшний день, показаны приложения найденных результатов.

1. Воронин, С. М. О нулях дзета-функций квадратичных форм // Докл. АН СССР, 1977. Вып. 235, №2. — С. 257–258.

2. Виноградов, И. М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981.

3. Карацуба, А. А. Основы аналитической теории чисел. — М.: Наука. 2-е изд. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — 240 с.

4. Архипов, Г. И., Садовничий, В. А., Чубариков, В. Н. Лекции по математическому анализу: Учеб. для вузов. — 4-ое изд., М.: Дрофа, 2004. — 640 с.

5. Авдеев, И. Ф. Приближение дзета-функции квадратичной формы отрицательного дискриминанта // Чебышевский сборник, 2013. Том 14. Вып. 4(48). — С. 7–13.

6. Авдеев, И. Ф. О некоторых формулах суммирования // Чебышевский сборник, 2011. Том 12. Выпуск 4(40). — С. 24–32.

7. 7. Авдеев, Ф. С., Авдеев, И. Ф. Асимптотическое разложение остаточного члена в приближенном функциональном уравнении для дзета-функции Римана // Ученые записки Орловского государственного университета. Серия Естественные науки. — Орел, 2012. №3(47). — С.6–14.

8. Авдеев И. Ф. Об оценке остаточного члена в приближенном функциональном уравнении Харди–Литтлвуда для дзета-функции Римана // Ученые записки Орловского государственного университета. Серия Естественные науки. — Орел, 2012. №3(47). — С. 15–19.

9. Hardy, G. H., Littlewood, J. E. The zeros of Riemann’s zeta-function on the critical line, Math. Zs., 1921. №10. pp. 283–317.

10. Титчмарш, Е. К. Теория дзета-функции Римана. Изд. иностр. лит, 1953. — М.: с. 409

11. Архипов, Г. И. Избранные труды // Под ред. В. Н. Чубарикова. — Орел: изд-во Орловского государственного университета, 2013. — 464 с.

12. Ingham, A. E. On the difference between consecutive primes, Quart. J. Math, 1937. №8. pp. 255– 266.

13. Ingham A. E. On the estimation of N(σ, T), Quart. J. Math, 1940. №11, pp. 291–292.

14. Ivi´c, A. The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications. University of Belgrade, Yugoslavia, 1985.

15. Архипов, Г. И., Карацуба, А. А., Чубариков, В. Н. Кратные тригонометрические суммы, Тр. МИАН СССР, 1980. Том 151, 3–128