Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

ОБ ОЦЕНКЕ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ДИСКРИМИНАНТА НА ЕДИНИЧНОЙ ПРЯМОЙ

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-1-23-26

Полный текст:

Аннотация

Исследования по теории дзета-функции Римана ведутся с большой интенсивностью вот уже на протяжении полутора столетий, и отдельные разделы теории стали самостоятельными научными направлениями современной аналитической теории чисел. Важную роль среди этих направлений играют теоремы о плотности распределения нулей дзетафункции Римана в критической полосе. В течении последних десятилетий этой теме посвящено большое количество научных статей. Она неоднократно затрагивалась в научных монографиях и специальных учебниках, посвященных различным вопросам аналитической теории чисел. Исследования поведения дзета-функции Римана ζ(s) в критической полосе существенным образом опираются на ее приближения отрезком ряда Дирихле.

Основным результатом данной работы является применение метода Виноградова для оценки ζ(s, k)-дзета-функции квадратичной формы K растущего отрицательного дискриминанта (−d). Непосредственному применение метода Виноградова для оценки ζ(s, k)- дзета-функции квадратичной формы K растущего отрицательного дискриминанта (−d) препятствует отсутствие подходящего для этих целей приближенного функционального уравнения. Обычно члены такого уравнения включают в себя сомножитель, являющийся значением характера группы классов дивизоров поля Q(√ −d) для положительно определенных квадратичных форм дискриминанта (−d). Данное обстоятельство является основным препятствием для эффективного применения метода тригонометрических сумм. С. М. Воронин в своей работе [1] получено приближенное функциональное уравнение для ζ(s,K), главный член которого представляет начальный отрезок ряда Дирихле этой функции, члены которого не «скручены» ни с каким характером. Это дает возможность сведения вопроса о его оценке к оценке двойной дзетовой суммы. Доказательство проводится путем приближения дзета-функции квадратичной формы отрезком ряда Дирихле. Так же в статье описана истории вопроса поведения дзета-функции Римана ζ(s) в критической полосе. Выделены основные результаты, актуальные на сегодняшний день, показаны приложения найденных результатов.

Об авторе

И. Ф. Авдеев
Орловский государственный университет имени И. С. Тургенева
Россия

кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математических и компьютерных методов анализа экономических процессов, Орловский государственный университет имени И. С. Тургенева



Список литературы

1. Воронин, С. М. О нулях дзета-функций квадратичных форм // Докл. АН СССР, 1977. Вып. 235, №2. — С. 257–258.

2. Виноградов, И. М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981.

3. Карацуба, А. А. Основы аналитической теории чисел. — М.: Наука. 2-е изд. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — 240 с.

4. Архипов, Г. И., Садовничий, В. А., Чубариков, В. Н. Лекции по математическому анализу: Учеб. для вузов. — 4-ое изд., М.: Дрофа, 2004. — 640 с.

5. Авдеев, И. Ф. Приближение дзета-функции квадратичной формы отрицательного дискриминанта // Чебышевский сборник, 2013. Том 14. Вып. 4(48). — С. 7–13.

6. Авдеев, И. Ф. О некоторых формулах суммирования // Чебышевский сборник, 2011. Том 12. Выпуск 4(40). — С. 24–32.

7. 7. Авдеев, Ф. С., Авдеев, И. Ф. Асимптотическое разложение остаточного члена в приближенном функциональном уравнении для дзета-функции Римана // Ученые записки Орловского государственного университета. Серия Естественные науки. — Орел, 2012. №3(47). — С.6–14.

8. Авдеев И. Ф. Об оценке остаточного члена в приближенном функциональном уравнении Харди–Литтлвуда для дзета-функции Римана // Ученые записки Орловского государственного университета. Серия Естественные науки. — Орел, 2012. №3(47). — С. 15–19.

9. Hardy, G. H., Littlewood, J. E. The zeros of Riemann’s zeta-function on the critical line, Math. Zs., 1921. №10. pp. 283–317.

10. Титчмарш, Е. К. Теория дзета-функции Римана. Изд. иностр. лит, 1953. — М.: с. 409

11. Архипов, Г. И. Избранные труды // Под ред. В. Н. Чубарикова. — Орел: изд-во Орловского государственного университета, 2013. — 464 с.

12. Ingham, A. E. On the difference between consecutive primes, Quart. J. Math, 1937. №8. pp. 255– 266.

13. Ingham A. E. On the estimation of N(σ, T), Quart. J. Math, 1940. №11, pp. 291–292.

14. Ivi´c, A. The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications. University of Belgrade, Yugoslavia, 1985.

15. Архипов, Г. И., Карацуба, А. А., Чубариков, В. Н. Кратные тригонометрические суммы, Тр. МИАН СССР, 1980. Том 151, 3–128


Рецензия

Для цитирования:


Авдеев И.Ф. ОБ ОЦЕНКЕ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ДИСКРИМИНАНТА НА ЕДИНИЧНОЙ ПРЯМОЙ. Чебышевский сборник. 2016;17(1):23-26. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-1-23-26

For citation:


Avdeev I.F. ESTIMATE OF THE ZETA-FUNCTIONS OF QUADRATIC FORMS NEGATIVE DISCRIMINANT ON THE UNIT LINE. Chebyshevskii Sbornik. 2016;17(1):23-26. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-1-23-26

Просмотров: 493


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)