Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

СУММЫ ХАРАКТЕРОВ ПО МОДУЛЮ СВОБОДНОГО ОТ КУБОВ НА СДВИНУТЫХ ПРОСТЫХ

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-1-201-216

Полный текст:

Аннотация

Метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами И. М. Виноградова позволил ему решить ряд арифметических проблем с простыми числами. Одна из них касается распределения значений неглавного характера на последовательностях сдвинутых простых чисел. В 1938 г. он доказал: если q — простое нечётное, (l, q) = 1, χ — неглавный характер по модулю q, тогда T(χ) = X p6x χ(p − l) ≪ x1+ε  r 1 q + q  x + x−1 6   . (IMV ) При x ≫ q1+ε эта оценка нетривиальна и из неё следует асимптотическая формула для числа квадратичных вычетов (невычетов) mod q вида p − l, p 6 x. Затем в 1953 г. И. М. Виноградов получил нетривиальную оценку T(χ) при x > q0,75+ε, q — простое. Этот результат был неожиданным. Дело в том, что T(χ) можно записать в виде суммы, по нулям соответствующей L — функции Дирихле; тогда в предположении справедливости расширенной гипотезы Римана для T(χ) получится нетривиальная оценка, но только при x > q1+ε. В 1968 г. А. А. Карацуба нашел метод, который позволил ему получить нетривиальную оценку коротких сумм характеров в конечных полях фиксированной степени. В 1970 г. он с помощью развития этого метода в соединении с методом И. М. Виноградова доказал: если q — простое, χ — неглавный характер по модулю q, x > q 1 2+ε, тогда T(χ) ≪ xq− ε2 1024 .  В 1985 г. З. Х. Рахмонов обобщил оценку (IMV) на случай составного модуля и доказал: пусть D — достаточно большое натуральное число, χ — неглавный характер по модулю D, χq — примитивный характер, порожденный характером χ, тогда T(χ) 6 x ln5 x r 1 q  + q x τ 2(q1) + x−1 6 τ (q1)  , q1 = Y p\D p̸\q p. Если характер χ совпадает со своим порождающим примитивным характером χq, то последняя оценка нетривиальна при x > q(ln q)13. В 2010 г. Дж. Б. Фридландер, К. Гонг, И. Е. Шпарлинский для составного q показали, что нетривиальная оценка суммы T(χq) существует, когда x — длина суммы — по порядку меньше q. Они доказали: для примитивного характера χq и всякого ε > 0 существует δ > 0, что для всех x > q 8 9+ε имеет место оценка T(χq) ≪ xq−δ. В 2013 г. З. Х. Рахмонов для составного q и примитивного характера χq доказал нетривиальную оценку T(χq) при x > q 5 6+ε. В этой работе для модулей q – свободных от кубов, доказана теорема об оценке суммы T(χq), являющиеся нетривиальной при x > q 1 2+ε. 

Об авторах

З. Х. Рахмонов
Институт математики Академии наук Республики Таджикистан
Россия

доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент Академии наук Республики Таджикистан, директор Института математики им. А. Джураева Академии наук Республики Таджикистан



Ш. Х. Мирзорахимов
Институт математики Академии наук Республики Таджикистан
Россия


Список литературы

1. Виноградов И. М. Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР. 1952.

2. Виноградов И. М. Новый подход к оценке суммы значений χ(p+k) // Известия АН СССР, сер. матем. 1952. Т. 16. С. 197–210.

3. Виноградов И. М. Улучшение оценки для суммы значений χ(p+k) // Известия АН СССР, сер. матем. 1953. Т. 17, С. 285–290.

4. Карацуба А. А. О суммах характеров с простыми числами // ДАН СССР. 1970. Т. 190.№3. С. 517–518.

5. Карацуба А. А. Суммы характеров с простыми числами // Известия АН СССР, сер. матем. 1970. Т. 34. С. 299–321.

6. Рахмонов З. Х. О распределении значений характеров Дирихле // УМН. 1986. Т. 41. №1. С. 201–202.

7. Рахмонов З. Х. Об опенке суммы характеров с простыми числами // ДАН Таджикский ССР. 1986. Т. 29. №1. С. 16–20.

8. Рахмонов З. Х. О распределении значений характеров Дирихле и их приложения // Труды Математического института РАН. 1994. Т. 207. С. 286–296.

9. Дж. Б. Фридландерa, K. Гонг, И. Е. Шпарлинский Суммы значений характеров на сдвинутых простых числах // Матем. заметки. 2010. Т. 88. В. 4. С. 605–619.

10. Рахмонов З. Х. О распределении значений характеров Дирихле в последовательности сдвинутых простых чисел // Доклады АН Республики Таджикистан. 2013. Т. 56. №1. C. 5–9.

11. Рахмонов З. Х. Распределение значений характеров Дирихле в последовательности сдвинутых простых чисел // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика 2013. Т. 13. Вып. 4(2). С. 113-–117.

12. Рахмонов З. Х. Суммы характеров с простыми числами // Чебышевский сборник. 2014. Т. 15 . В. 2(50). С. 73–100.

13. Burgess D, A. On character sums and L — series // Proc. London Math. Soc. 1962, v. 12, no 3, pp. 193–206.

14. Burgess D, A. On character sums and L — series. II // Proc. London Math. Soc. 1963, v. 13, no 3, pp. 524–536.

15. Марджанишвили К. К. Оценка одной арифметической суммы // ДАН СССР. 1939. Т. 22, №7. 391–393.


Для цитирования:


Рахмонов З.Х., Мирзорахимов Ш.Х. СУММЫ ХАРАКТЕРОВ ПО МОДУЛЮ СВОБОДНОГО ОТ КУБОВ НА СДВИНУТЫХ ПРОСТЫХ. Чебышевский сборник. 2016;17(1):201-216. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-1-201-216

For citation:


Rakhmonov Z.K., Mirzorakhimov S.K. SUMS OF CHARACTERS MODULO A CUBEFREE AT SHIFTED PRIMES. Chebyshevskii Sbornik. 2016;17(1):201-216. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-1-201-216

Просмотров: 107


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)