СУММЫ ХАРАКТЕРОВ ПО МОДУЛЮ СВОБОДНОГО ОТ КУБОВ НА СДВИНУТЫХ ПРОСТЫХ

Метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами И. М. Виноградова позволил ему решить ряд арифметических проблем с простыми числами. Одна из них касается распределения значений неглавного характера на последовательностях сдвинутых простых чисел. В 1938 г. он доказал: если q — простое нечётное, (l, q) = 1, χ — неглавный характер по модулю q, тогда T(χ) = X p6x χ(p − l) ≪ x1+ε  r 1 q + q  x + x−1 6   . (IMV ) При x ≫ q1+ε эта оценка нетривиальна и из неё следует асимптотическая формула для числа квадратичных вычетов (невычетов) mod q вида p − l, p 6 x. Затем в 1953 г. И. М. Виноградов получил нетривиальную оценку T(χ) при x > q0,75+ε, q — простое. Этот результат был неожиданным. Дело в том, что T(χ) можно записать в виде суммы, по нулям соответствующей L — функции Дирихле; тогда в предположении справедливости расширенной гипотезы Римана для T(χ) получится нетривиальная оценка, но только при x > q1+ε. В 1968 г. А. А. Карацуба нашел метод, который позволил ему получить нетривиальную оценку коротких сумм характеров в конечных полях фиксированной степени. В 1970 г. он с помощью развития этого метода в соединении с методом И. М. Виноградова доказал: если q — простое, χ — неглавный характер по модулю q, x > q 1 2+ε, тогда T(χ) ≪ xq− ε2 1024 .  В 1985 г. З. Х. Рахмонов обобщил оценку (IMV) на случай составного модуля и доказал: пусть D — достаточно большое натуральное число, χ — неглавный характер по модулю D, χq — примитивный характер, порожденный характером χ, тогда T(χ) 6 x ln5 x r 1 q  + q x τ 2(q1) + x−1 6 τ (q1)  , q1 = Y p\D p̸\q p. Если характер χ совпадает со своим порождающим примитивным характером χq, то последняя оценка нетривиальна при x > q(ln q)13. В 2010 г. Дж. Б. Фридландер, К. Гонг, И. Е. Шпарлинский для составного q показали, что нетривиальная оценка суммы T(χq) существует, когда x — длина суммы — по порядку меньше q. Они доказали: для примитивного характера χq и всякого ε > 0 существует δ > 0, что для всех x > q 8 9+ε имеет место оценка T(χq) ≪ xq−δ. В 2013 г. З. Х. Рахмонов для составного q и примитивного характера χq доказал нетривиальную оценку T(χq) при x > q 5 6+ε. В этой работе для модулей q – свободных от кубов, доказана теорема об оценке суммы T(χq), являющиеся нетривиальной при x > q 1 2+ε. 

1. Виноградов И. М. Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР. 1952.

2. Виноградов И. М. Новый подход к оценке суммы значений χ(p+k) // Известия АН СССР, сер. матем. 1952. Т. 16. С. 197–210.

3. Виноградов И. М. Улучшение оценки для суммы значений χ(p+k) // Известия АН СССР, сер. матем. 1953. Т. 17, С. 285–290.

4. Карацуба А. А. О суммах характеров с простыми числами // ДАН СССР. 1970. Т. 190.№3. С. 517–518.

5. Карацуба А. А. Суммы характеров с простыми числами // Известия АН СССР, сер. матем. 1970. Т. 34. С. 299–321.

6. Рахмонов З. Х. О распределении значений характеров Дирихле // УМН. 1986. Т. 41. №1. С. 201–202.

7. Рахмонов З. Х. Об опенке суммы характеров с простыми числами // ДАН Таджикский ССР. 1986. Т. 29. №1. С. 16–20.

8. Рахмонов З. Х. О распределении значений характеров Дирихле и их приложения // Труды Математического института РАН. 1994. Т. 207. С. 286–296.

9. Дж. Б. Фридландерa, K. Гонг, И. Е. Шпарлинский Суммы значений характеров на сдвинутых простых числах // Матем. заметки. 2010. Т. 88. В. 4. С. 605–619.

10. Рахмонов З. Х. О распределении значений характеров Дирихле в последовательности сдвинутых простых чисел // Доклады АН Республики Таджикистан. 2013. Т. 56. №1. C. 5–9.

11. Рахмонов З. Х. Распределение значений характеров Дирихле в последовательности сдвинутых простых чисел // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика 2013. Т. 13. Вып. 4(2). С. 113-–117.

12. Рахмонов З. Х. Суммы характеров с простыми числами // Чебышевский сборник. 2014. Т. 15 . В. 2(50). С. 73–100.

13. Burgess D, A. On character sums and L — series // Proc. London Math. Soc. 1962, v. 12, no 3, pp. 193–206.

14. Burgess D, A. On character sums and L — series. II // Proc. London Math. Soc. 1963, v. 13, no 3, pp. 524–536.

15. Марджанишвили К. К. Оценка одной арифметической суммы // ДАН СССР. 1939. Т. 22, №7. 391–393.