О ЧАСТИЧНЫХ n-АРНЫХ ГРУППОИДАХ, У КОТОРЫХ КАЖДОЕ ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ЯВЛЯЕТСЯ КОНГРУЭНЦИЕЙ

В монографии «Universal algebra» Г. Гретцер приводит следующий пример. Пусть A — универсальная алгебра (множество с некоторым набором операций Σ). Возьмём проивольное подмножество B ⊆ A и для каждой операции f ∈ Σ (обозначим её арность через n) рассмотрим, каким образом f действует на элементы из Bn. Не обязательно f(B) ⊆ B, поэтому в общем случае B не является подалгеброй алгебры A. Если же ввести понятие частичной операции на B как отображения некоторого подмножества множества Bn в множество B, то B будет множеством с заданным на нём набором частичных операций. Такие множества называются частичными универсальными алгебрами. В нашем примере B будет частичной универсальной подалгеброй алгебры A в том смысле, что множество B будет замкнуто относительно всех частичных операций частичной алгебры B. Таким образом, частичные универсальные алгебры естественным образом возникают при изучении обычных универсальных алгебр. Понятие конгруэнции универсальной алгебры обобщается на частичные алгебры. Известно, что конгруэнции частичной универсальной алгебры A всегда образуют решётку, а если A является полной (то есть обычной) алгеброй, то решётка конгруэнций алгебры A является подрешёткой решётки отношений эквивалентности на A. Решётка конгруэнций частичной универсальной алгебры является её важной характеристикой. Для важнейших классов универсальных алгебр был получен ряд результатов, характеризующих алгебры A, не имеющие никаких конгруэнций, кроме тривиальных (отношение равенства на A и отношение A2). Оказалось, что в большинстве случаев, когда решётка конгруэнций универсальной алгебры тривиальна, сама алгебра имеет отнюдь не тривиальное строение. А что можно сказать про алгебры A, у которых решётка конгруэнций, наоборот, содержит все отношения эквивалентности на A? Оказывается, что в этом случае каждая операция f универсальной алгебры A является либо константой (|f(A)| = 1), либо проекцией (f(x1, ..., xi, ..., xn) ≡ xi). Кожуховым И. Б. были описание полугруппы, у которых каждое отношение эквивалентности является односторонней конгруэнцией. Интересно обобщить эти результаты на случай частичных универсальных алгебр. В данной работе изучаются частичные n-арные группоиды G, у которых операция f удовлетворяет следующему условию: для любых элементов x1, ..., xk−1, xk+1, ..., xn ∈ G значение выражения f(x1, ..., xk−1, y, xk+1, ..., xn) определено не менее, чем для трёх различных элементов y ∈ G. Доказывается, что если каждое отношение эквивалентности на G является конгруэнцией частичного n-арного гурппоида (G, f), то при определённых условиях на G частичная операция f является константой.

1. Кожухов И. Б., Решетников А. В. Алгебры, у которых все отношения эквивалентности являются конгруэнциями. // Фундаментальная и прикладная математика. Т. 16, № 3. 2010. С. 161–192.

2. G. Gr¨atzer. Universal algebra. Second Edition. Springer. 2008, 2nd ed. with updates, 1979, Second Edition, Springer Science + Business Media, LLC. 586 p.

3. Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Частичные алгебраические действия. С.-Петербург, Росс. гос. пед. ун-т им. А. И. Герцена: Образование. 1991. 163 с.

4. Gr¨atzer G., Schmidt E. T. Characterizations of congruence lattices of abstract algebras. // Acta Sci. Math. (Szeged). Vol.24, № 3. 1963. P. 34–59.

5. G. Gr¨atzer, G. H.Wenzel. On the concept of congruence relation in partial algebras. // Math. Scand. Vol. 20. 1967. P. 275–280.

6. Решетников А. В. О конгруэнциях частичных n-арных группоидов // Изв. Сарат. ун-та.

7. Нов. сер. Т. 11, сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 3, ч. 2. 2011 С. 46–51.

8. Joel Berman. Strong congruence lattices of finite partial algebras // Algebra Universalis. Volume 1, issue 1. December 1971. P. 133–135.

9. Burmeister P. Free partial algebras. // J. Reine Angew. Math. Volume 1970, issue 241. January 1970. P. 75–86.

10. Clifford A. H., Hall T. E. A characterisation of R-classes of semigroups as a partial groupoids. // Semigroup Forum. Volume 6. 1973. P. 246–254.

11. Кулик В.Т. О наибольших сильных отношениях конгруэнтности частичных универсальных алгебр. // Исследования по алгебре. Саратов: изд. Саратовского ун-та. 1970. С. 40–46.

12. Кулик В.Т. О решётках сильных отношений конгруэнтности полугруппоидов. // Упорядоченные множества и решётки. Вып. 2. Саратов: изд. Саратов. ун-та. 1974. С. 42–50.

13. Е. С. Ляпин, Внутреннее полугрупповое продолжение некоторых полугрупповых амальгам. // Известия вузов. Матем. № 11. 1993. С. 20–26.

14. Pastijn F. A generalization of Green’s equivalence relations for halfgroupoids. // Simon Stevin. Volume 49. 1976 P. 165–175.

15. Fleischer I. On extending congruences from partial algebras. // Fund. math. Volume 88. 1975. P. 11–16.

16. Schelp R. H. A partial semigroup approach to partially ordered sets. // Proc. London Math. Soc. Volume 24. 1972. P. 46–58.