Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

ОБОБЩЕННАЯ ПРОБЛЕМА ДЕЛИТЕЛЕЙ С НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ, ИМЕЮЩИМИ ДВОИЧНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-1-270-283

Полный текст:

Аннотация

Пусть τk(n) — число решений уравнения x1x2 · · · xk = n в натуральных числах x1, x2, . . . xk. Пусть Dk(x) = X n6x τk(n). Задача получения асимптотической формулы для Dk(x) при k = 2 называется проблемой делителей Дирихле, а при k > 3 — обобщенной проблемой делителей Дирихле. Эта асимптотическая формула имеет вид Dk(x) = xPk−1(log x) + O(xαk+ε), где Pk−1(x) — многочлен степени k − 1, 0 < αk < 1, ε > 0 — сколь угодно малое число. Обобщенная проблема делителей Дирихле имеет богатую историю. В 1849 Л. Дирихле [1] доказал, что αk 6 1 − 1 k , k > 2. В 1903 году Г.Ф. Вороной [2] доказал, что (см. также [3]) αk 6 1 − 1 k + 1 , k > 2. В 1922 году Г. Харди и Д. Литтлвуд [4] доказал, что αk 6 1 − 3 k + 2 , k > 4. В 1979 году. Р. Хис-Браун [5] доказал, что αk 6 1 − 3 k , k > 8. В 1972 году замечательный результат получил А. А. Карацуба [6]. Его оценка остаточного члена асимптотической формулы имеет вид O(x1− c k2/3 (c1 log x)k), где c > 0, c1 > 0 — абсолютные постоянные. Эта оценка равномерна по 2 6 k 6 log x. Пусть N0 — класс множества натуральных чисел, двоичного разложения которых содержат четное число единиц. В 1991 автор [8] решил проблему делителей Дирихле в числах из множества N0 и получил формулу X n6X n∈N0 τ (n) = 1 2 X n6X  τ (n) + O(Xω ln2 X),  где τ (n) — число делителей n, ω = 1 2

Об авторе

К. М. Эминян
Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана Финансовый университет при Правительстве РФ
Россия

кандидат физико-математических наук, доцент. Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Финансовый университет при Правительстве РФ



Список литературы

1. Diriclet L. ¨Uber die Bestimmung der mittleren Werte in der Zahlentheorie// Abh. Akad Berlin (Werke 2, 49 - 66), 1849, Math. Abh., 69–83.

2. Voronoi G. Sur un probl´eme du calcul des fonctions asymptitiques//J. Fur die reine und angewandte, Math., 1903, 126, 241–282.

3. Landau E. ¨Uber die Anzahl der Gitterpunkte in gewissen Bereichen, Nacher//K. Gas. Wiss. G¨ottingen, Math.-Phys. Klassen, 1912, 6, 687–771.

4. Hardy G., Littlewood J. The approximate functional equation in the theory of the zeta-function, with applications to the divisor problems of Dirichlet and Piltz//Proc. London Maht. Soc. 2, 1922, 21, 39–74.

5. D. R. Heath-Brown, Recent Progress in Analytic Number Theory//Symposium Durham, 1979, v.1 London: Academic Press. 1981.

6. Карацуба А. А. Равномерная оценка остаточного члена в проблеме делителей Дирихле//Изв. АН СССР, Сер. матем., 1972, 36:3, 475–483.

7. Gelfond A. O. Sur les nombres qui ont des propri´et´es additives et multiplicatives donn´ees//Acta Arith. 1968. Vol. XII. P. 259-265.

8. Эминян К. М. О проблеме делителей Дирихле в некоторых последовательностях натуральных чисел//Изв. АН СССР. Сер. матем., 55:3 1991, 680-686.

9. Эминян К. М. Проблема Гольдбаха в простых числах с двоичными разложениями специального вида//Изв. РАН. Сер. матем., 78:1 2014, 215-224.

10. Эминян К. М. О средних значениях функции τk(n) в некоторых последовательностях натуральных чисел//Мат. заметки, Том 90 выпуск 3 сентябрь 2011.

11. Mauduit C. et Rivat J. Sur un probl`eme de Gelfond: la somme des chiffres des nombres premiers//Annals of Mathematics. Second Series. 2010. V. 171. No 3, 1591-1646.

12. Green B. Three topics in additive prime number theory // Current Developments in Mathematics, Vol. 2007 (2009), 1-41.

13. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. 2-е изд. М.: Наука, 1983.

14. Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. М.: Физматлит, 1994.

15. Монтгомери Г. Мультипликативная теория чисел. М.: Мир, 1974.


Для цитирования:


Эминян К.М. ОБОБЩЕННАЯ ПРОБЛЕМА ДЕЛИТЕЛЕЙ С НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ, ИМЕЮЩИМИ ДВОИЧНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА. Чебышевский сборник. 2016;17(1):270-283. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-1-270-283

For citation:


Eminyan K.M. GENERALIZED PROBLEM OF DIVISORS WITH NATURAL NUMBERS WHOSE BINARY EXPANSIONS HAVE SPECIAL TYPE. Chebyshevskii Sbornik. 2016;17(1):270-283. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-1-270-283

Просмотров: 86


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)