О ЦЕЛЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЛАХ И УНИТАРНЫХ МНОГОЧЛЕНАХ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ

Аннотация

В статье рассматриваются алгебраические целые числа второй степени и приводимые квадратичные унитарные многочлены с целыми коэффициентами. Пусть Q > 4 — целое число. Пусть Ωn(Q, S) — количество целых алгебраических чисел степени n и высоты 6 Q, принадлежащих множеству S ⊆ R. В работе уточнён остаточный член в асимптотической формуле для Ω2(Q, I), где I — произвольный отрезок. Обозначим через R(Q) множество приводимых унитарных многочленов второй степени с целыми коэффициентами и высотой 6 Q. Получена формула #R(Q) = 2 XQ k=1 τ (k) + 2Q + hp Q i − 1, где τ (k) — количество делителей числа k. Показано также, что количество вещественных целых алгебраических чисел второй степени и высоты 6 Q имеет асимптотику Ω2(Q,R) = 8Q2 − 16 3 Q p Q − 4QlnQ + 8(1 − γ)Q + O  p Q  , где γ — постоянная Эйлера. Известно, что функция плотности распределения алгебраических целых степени n равномерно стремится к плотности алгебраических чисел степени n−1. Мы показываем, что при n = 2 интеграл от их разности имеет ненулевой предел при стремлении высоты чисел к бесконечности.