О ЦЕЛЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЛАХ И УНИТАРНЫХ МНОГОЧЛЕНАХ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-1-117-129
Аннотация
В статье рассматриваются алгебраические целые числа второй степени и приводимые квадратичные унитарные многочлены с целыми коэффициентами. Пусть Q > 4 — целое число. Пусть Ωn(Q, S) — количество целых алгебраических чисел степени n и высоты 6 Q, принадлежащих множеству S ⊆ R. В работе уточнён остаточный член в асимптотической формуле для Ω2(Q, I), где I — произвольный отрезок. Обозначим через R(Q) множество приводимых унитарных многочленов второй степени с целыми коэффициентами и высотой 6 Q. Получена формула #R(Q) = 2 XQ k=1 τ (k) + 2Q + hp Q i − 1, где τ (k) — количество делителей числа k. Показано также, что количество вещественных целых алгебраических чисел второй степени и высоты 6 Q имеет асимптотику Ω2(Q,R) = 8Q2 − 16 3 Q p Q − 4QlnQ + 8(1 − γ)Q + O p Q , где γ — постоянная Эйлера. Известно, что функция плотности распределения алгебраических целых степени n равномерно стремится к плотности алгебраических чисел степени n−1. Мы показываем, что при n = 2 интеграл от их разности имеет ненулевой предел при стремлении высоты чисел к бесконечности.
Об авторе
Д. В. Коледа
Институт математики НАН Беларуси
Россия
младший научный сотрудник, Институт математики Национальной академии наук Беларуси
Россия
младший научный сотрудник, Институт математики Национальной академии наук Беларуси
Список литературы
1. Barroero F. Counting algebraic integers of fixed degree and bounded height // Monatshefte f¨ur Mathematik. 2014. Vol. 175, No. 1. P 25–41.
2. Brown H., and Mahler K. A generalization of Farey sequences: Some exploration via the computer // J. Number Theory. 1971. Vol. 3, No. 3. P. 364–370.
3. Chandrasekharan K. Arithmetical functions, volume 167 of Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1970.
4. Chela R. Reducible polynomials // J. London Math. Soc. 1963. Vol. 38, No. 1. P. 183–188.
5. Chern S.-J., and Vaaler J. D. The distribution of values of Mahler’s measure // J. Reine Angew. Math. 2001. Vol. 540. P. 1–47.
6. Cobeli C., and Zaharescu A. The Haros-Farey sequence at two hundred years // Acta Univ. Apulensis Math. Inform. 2003. Vol. 5. P. 1–38.
7. Davenport H. On a principle of Lipschitz // J. London Math. Soc. 1951. Vol. 26. P. 179–183.
8. Davenport H. Corrigendum: “On a principle of Lipschitz” // J. London Math. Soc. 1964. Vol. 39. P. 580.
9. Hardy G. H. On Dirichlet’s divisor problem // Proc. London Math. Soc. (2). 1916. Vol. 15. P. 1–25.
10. Huxley M. N. Exponential sums and lattice points. III // Proc. London Math. Soc. (3). 2003. Vol. 87, No. 3. P. 591–609.
11. Koleda D. V. On the density function of the distribution of real algebraic numbers // arXiv preprint. 2014. arXiv:1405.1627.
12. Koleda D. V. The distribution of algebraic integers of given degree on the real line // arXiv preprint. 2014. arXiv:1407.2861.
13. Montgomery H. L., and Vaughan R. C. Multiplicative number theory. I. Classical theory, volume 97 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 2007.
14. Vorono¨ı G. Sur une fonction transcendante et ses applications `a la sommation de quelques s´eries // Ann. Sci. ´Ecole Norm. Sup. (3). 1904. Vol. 21. P. 207–267, 459–533.
15. Каляда Д. У. Аб размеркаваннi рэчаiсных алгебраiчных лiкаў дадзенай ступенi // Доклады НАН Беларуси. 2012. Т. 56, № 3. С. 28–33.
16. Каляда Д. У. Размеркаванне цэлых алгебраiчных лiкаў дадзенай ступенi на рэчаiснай прамой // Доклады НАН Беларуси. 2015. Т. 59, № 1. С. 18–22.
17. Коледа Д. В. Распределение алгебраических чисел второй степени // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. 2013. № 3. С. 54–63.
18. Коледа Д. В. Об асимптотике распределения алгебраических чисел при возрастании их высот // Чебышевский сб. 2015. Т. 16, № 1. С. 191–204.
Рецензия
Для цитирования:
Коледа Д.В. О ЦЕЛЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЛАХ И УНИТАРНЫХ МНОГОЧЛЕНАХ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ. Чебышевский сборник. 2016;17(1):117-129. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-1-117-129
For citation:
Koleda D.V. ON ALGEBRAIC INTEGERS AND MONIC POLYNOMIALS OF SECOND DEGREE. Chebyshevskii Sbornik. 2016;17(1):117-129. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-1-117-129
Просмотров:
483
Послать статью по эл. почте 