Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

ЭРГОДИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПОТОКОВ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК НА НЕКОТОРЫХ ГИПЕРБОЛОИДАХ В СВЯЗИ С ГИПОТЕЗАМИ ДЛЯ L-ФУНКЦИИ ДИРИХЛЕ

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-1-46-55

Полный текст:

Аннотация

Работа посвящена изучению связи теории распределения целых точек на простейшем гиперболоиде с некоторыми гипотезами для L-функции Дирихле. При применении дискретного эргодического метода (далее ДЭМ), разработанного Ю. В. Линником (см. [1, 2]) к задаче распределения целых точек на гиперболоидах x1x3 −x22 = m (так же как и в случае сферы) в формулировках теорем об асимптотически равномерном распределении целых точек участвует некоторое вспомогательное простое число p такое, что символ Лежандра −m p  = 1. В эргодических теоремах и теоремах перемешивания для целых точек наличие такого простого числа было естественным, так как оно порождало поток примитивных точек, используемый в ДЭМ при выводе асимптотических формул для числа целых точек на сфере и на гиперболоиде. Представляет большой интерес получение остаточных членов в асимптотических формулах для целых точек по областям на сфере и на гиперболоиде в рамках используемого ДЭМ (см. [2, 3]). Исследования в этом направлении для целых точек на эллипсоидах проводились А. В. Малышевым и автором [3], а также Е. П. Голубевой [4, 5] методом А. И. Виноградов [6], являющегося развитием дисперсионного метода Ю. В. Линника [7]. Оказывается, что некоторые ослабленные гипотезы для L-функции Дирихле, непосредственно следующие из расширенной гипотезы Римана позволяют устранить указанный недостаток. Учитывая это обстоятельство в сочетании с тем, что А. В. Малышевым и Б. М. Широковым в [8] получено новое доказательство ключевой леммы ДЭМ для гиперболоидов обоих видов, мы проводим соответствующее исследование. В нашей работе исследование ведется сразу для обоих случаев простейших гиперболоидов и в сочетании с использованием некоторых гипотез о поведении L-функции Дирихле получаем значительное упрощение рассуждений и улучшение формулировок результатов. В связи с нашим исследованием отметим так же, что Дьюк [9] методом модулярных форм с использованием результатов Иванца [10] получил асимптотическую формулу с безусловным остаточным членом для числа целых точек в областях на простейшем гиперболоиде. Но в [9] в отличие от нашей работы не рассматривалось распределение целых точек по классам вычетов по заданному модулю. В связи с этим возникает интересная задача по перенесению результатов Дьюк [9] на распределение целых точек простейшего гиперболоида по прогрессиям, т.е. по классам вычетов.

Об авторе

У. М. ПАЧЕВ
Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова
Россия

доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры геометрии и высшей алгебры, Кабардино-Балкарский государственный университет



Список литературы

1. Линник Ю. В. О представлении больших чисел положительными тернарными квадратичными формами// Изв. АН СССР. Сер. мат., 1940, Т. 4, №4/5, С. 363—402.

2. Линник Ю. В. Эргодические свойства алгебраических полей. Изд-во Ленинградского университета, 1967, — 208 c.

3. Малышев А. В., Пачев У.М. О представлении целых чисел положительными тернарными квадратичными формами (новый вариант дискретного эргодического метода)// Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1979, Т. 82, с. 33–87.

4. Голубева Е. П. О представлении больших чисел тернарными квадратичными формами// ДАН СССР, 1970, Т. 191, №3, С. 519—521.

5. Голубева Е. П. Асимптотика числа целых точек на некоторых эллипсоидах// Мат. заметки, 1972, Т. 11, №6, С. 625—634.

6. Виноградов А. И. Общее уравнение Харди—Литтлвуда// Мат. заметки, 1967, Т. 1, №2, С. 189—197.

7. Линник Ю. В. Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах// Л., издво ЛГУ, 1961, 208 с.

8. Малышев А. В., Широков Б. М. Новое доказательство ключевой леммы дискретного эргодического метода для вектор-матриц второго порядка// Вестн. Ленингр. унта, — 1991. Сер. 1, вып. 2, — С. 34—40.

9. Duke W. Hyperbolic distribution problems and half–integral weight Maas forms// Invent. Math. 1988. V. 92. P. 78–90.

10. Iwaniec H. Fourier coefficients of modular forms of half–integral weight// Invent. Math. 87. 385–401. (1987).

11. Скубенко Б. Ф. Асимптотическое распределение целых точек на однополостном гиперболоиде и эргодические теоремы// Изв. АН СССР. Сер. мат., 1962, Т. 26, №5, С. 721—752.

12. Малышев А. В. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами// Труды Мат. инта АН СССР, 1962, Т. 65, — 212 с.

13. Малышев А. В., Пачев У. М. Об остаточных членах в эргодических теоремах для целых точек на некоторых двуполостных гиперболоидах// Аналитическая теория чисел. Межвуз. сб. Петрозаводск, 1986, С. 46—51.

14. Малышев А. В., Пачев У. М. Об арифметике матриц второго порядка// Зап. научн. семин. ЛОМИ. Т. 93. (1980), С. 41–86.

15. Пачев У. М. О распределении целых точек на некоторых двуполостных гиперболоидах// Зап. научн. семин. ЛОМИ. Т. 93. (1980). С. 87–141.

16. Малышев А. В., Нгуен Нгор Гой О распределение целых точек на некторых однополостных гиперболоидах Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1983, Т. 121, С. 83–93.

17. Белова Н. Н., Малышев А. В. Эргодические свойства целых точек на эллипсоидах рода G[Ω,1] // Зап. научн. семин. ЛОМИ. Т. 106. 1981. С. 17–51.


Для цитирования:


ПАЧЕВ У.М. ЭРГОДИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПОТОКОВ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК НА НЕКОТОРЫХ ГИПЕРБОЛОИДАХ В СВЯЗИ С ГИПОТЕЗАМИ ДЛЯ L-ФУНКЦИИ ДИРИХЛЕ. Чебышевский сборник. 2016;17(1):171-186. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-1-46-55

For citation:


PACHEV U.M. ERGODIC PROPERTIES OF FLOWS FOR INTEGRAL POINTS ON SOME HYPERBOLOIDS IN CONNECTION WITH THE HYPOTHESIS FOR THE DIRICHLET L–FUNCTION. Chebyshevskii Sbornik. 2016;17(1):171-186. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-1-46-55

Просмотров: 134


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)