О НУЛЯХ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА ζ(S), ЛЕЖАЩИХ НА ПОЧТИ ВСЕХ КОРОТКИХ ПРОМЕЖУТКАХ КРИТИЧЕСКОЙ ПРЯМОЙ

Аннотация

Настоящая работа посвящена проблеме распределения нетривиальных нулей дзета-функция Римана ζ(s) на критической прямой ℜs = 1/2. На полуплоскости ℜs > 1 дзетафункция Римана задаётся рядом Дирихле ζ(s) = X+∞ n=1 n−s, и аналитически продолжается на всю комплексную плоскость кроме точки s = 1. Хорошо известно, что все нетривиальные нули дзета-функция Римана расположены симметрично действительной оси и прямой ℜs = 1/2, которая называется критической. В 1959 г. Риман высказал гипотезу о том, что все нетривиальные нули ζ(s) лежат на критической прямой ℜs = 1/2. Первое доказательство бесконечности множества нулей ζ(s) на критической прямой принадлежит Г. Харди. В 1942 г. А. Сельберг установил, что больше, чем cH ln T нулей нечетного порядка функции ζ(0, 5+it) лежит на отрезке [T, T +H],H = T0,5+ε, где ε — произвольная малая постоянная. В 1984 г. А. А. Карацуба усилил результат Сельберга, а именно для отрезка критической прямой меньшей длины [T, T + H],H = T27/82+ε. Проблема уменьшения длины выше указанного отрезка представляет собой трудность. Тем не менее, если рассматривать эту задачу «в срденем», то она решена А. А. Карацубой. Он доказал, что почти все отрезки прямой ℜs = 1/2 вида [T, T +Xε], где 0 < X0(ε) < X 6 T 6 2X, содержат более c0(ε)Tε ln T нулей нечетного порядка функции ζ(1/2+it). В 1988 г. Киселёва Л. В. получила результат подобного рода, но для отрезка (X,X + X11/12+ε). В настоящей работе длина отрезка осреднения уменьшена. Автор доказал результат Карацубы для отрезка (X,X + X7/8+ε).