Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

О НУЛЯХ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА ζ(S), ЛЕЖАЩИХ НА ПОЧТИ ВСЕХ КОРОТКИХ ПРОМЕЖУТКАХ КРИТИЧЕСКОЙ ПРЯМОЙ

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-1-71-89

Полный текст:

Аннотация

Настоящая работа посвящена проблеме распределения нетривиальных нулей дзета-функция Римана ζ(s) на критической прямой ℜs = 1/2. На полуплоскости ℜs > 1 дзетафункция Римана задаётся рядом Дирихле ζ(s) = X+∞ n=1 n−s, и аналитически продолжается на всю комплексную плоскость кроме точки s = 1. Хорошо известно, что все нетривиальные нули дзета-функция Римана расположены симметрично действительной оси и прямой ℜs = 1/2, которая называется критической. В 1959 г. Риман высказал гипотезу о том, что все нетривиальные нули ζ(s) лежат на критической прямой ℜs = 1/2. Первое доказательство бесконечности множества нулей ζ(s) на критической прямой принадлежит Г. Харди. В 1942 г. А. Сельберг установил, что больше, чем cH ln T нулей нечетного порядка функции ζ(0, 5+it) лежит на отрезке [T, T +H],H = T0,5+ε, где ε — произвольная малая постоянная. В 1984 г. А. А. Карацуба усилил результат Сельберга, а именно для отрезка критической прямой меньшей длины [T, T + H],H = T27/82+ε. Проблема уменьшения длины выше указанного отрезка представляет собой трудность. Тем не менее, если рассматривать эту задачу «в срденем», то она решена А. А. Карацубой. Он доказал, что почти все отрезки прямой ℜs = 1/2 вида [T, T +Xε], где 0 < X0(ε) < X 6 T 6 2X, содержат более c0(ε)Tε ln T нулей нечетного порядка функции ζ(1/2+it). В 1988 г. Киселёва Л. В. получила результат подобного рода, но для отрезка (X,X + X11/12+ε). В настоящей работе длина отрезка осреднения уменьшена. Автор доказал результат Карацубы для отрезка (X,X + X7/8+ε). 

Об авторе

До Дык Там
Белгородский государственный национальный исследовательский университет
Россия

аспирант Белгородского государственного национального исследовательского университета



Список литературы

1. Риман Б. Сочинения. М.–Л.: ОГИЗ, 1948. 479 c.

2. Hardy G. H., Littlewood J. E. The zeros of Riemann’s zeta-function on the critical line // Mathematische Zeitschrift. 1921. Vol. 10. pp. 283–317.

3. Selberg A. On the zeros of Riemann’s zeta-function // Skr. Norske Vid. Akad. Oslo. 1942. Vol. 10. pp. 1–59.

4. Карацуба А. А. О расстоянии между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой // Тр. МИАН СССР. 1981. Т. 157, С. 49–63.

5. Карацуба А. А. О нулях функции ζ(s) на коротких промежутках критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1984. T. 48, №3. C. 569–584.

6. Карацуба А. А. Распределение нулей функции ζ(1/2 + it) // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1984. Т. 48, вып. 6. С. 1214–1224.

7. Карацуба А. А. О нулях дзета-функции Римана на критической прямой // Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 167, С. 167–178.

8. Карацуба А. А. О вещественных нулях функции ζ(1/2 + it) // УМН. 1985. Т. 40, №4. С. 171–172.

9. Карацуба А. А. Дзета-функция Римана и ее нули // УМН. 1985. Т. 40, №5. С. 23–82.

10. Карацуба А. А. О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой // Изв. РАН. Сер. матем. 1992. Т. 56, №2. С. 372–397.

11. Карацуба А. А. Уточнение теорем о количестве нулей, лежащих на отрезках критической прямой, некоторых рядов Дирихле // УМН. 1992. Т. 47, №2. С. 193–194.

12. Киселева Л. В. О количестве нулей функции ζ(s) на “почти всех” коротких промежутках критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. Т. 52, вып. 3. С. 479–500.

13. Малышев А. В. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами // Тр. МИАН СССР 1962. Т. 65. С. 3–212.

14. Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана // М.: Мир, 1953. 406 c.

15. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983. 240 С.

16. Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. // М.: Физматлит, 1994. 376 c.

17. Карацуба А. А. Новый подход к проблеме нулей некоторых рядов Дирихле // Сборник статей. Труды Международной конференции по теории чисел, посвященной 100-летию со дня рождения академика И. М. Виноградова Тр. МИАН 1994. вып. 207. С. 180–196.


Для цитирования:


Там Д. О НУЛЯХ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА ζ(S), ЛЕЖАЩИХ НА ПОЧТИ ВСЕХ КОРОТКИХ ПРОМЕЖУТКАХ КРИТИЧЕСКОЙ ПРЯМОЙ. Чебышевский сборник. 2016;17(1):71-89. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-1-71-89

For citation:


Tam D. ON THE ZEROS OF THE RIEMANN ZETA FUNCTION, LYING IN ALMOST ALL SHORT INTERVALS OF THE CRITICAL LINE. Chebyshevskii Sbornik. 2016;17(1):71-89. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-1-71-89

Просмотров: 313


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)