Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕЦИАЛЬНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОЧЕК В ОБЛАСТЯХ МАЛОЙ МЕРЫ

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-1-52-70

Полный текст:

Аннотация

Задачи о распределении алгебраических чисел и точек с алгебраически сопряженными координатами являются естественным продолжением задач о целых и рациональных точках в фигурах и телах евклидова пространства. В данной статье мы исследуем вопрос о распределении специальных алгебраических точек α = (α1, α2), координаты которых являются алгебраически сопряженными числами ограниченной степени и высоты с дополнительным условием: производная их минимального многочлена принимает малые значения в точках α1 и α2. Такие точки возникают в задачах, связанных с классификациями чисел Малера [1], предложенной в 1932 году, и Коксма [2], предложенной несколько позднее в 1939 году. Одной из таких задач является проблема существования Т-чисел в классификации Малера. Около 40 лет было неясно, существуют ли такие числа или этот класс пуст, и только в 1970 году в работе В. Шмидта [3] было показано, что класс Т-чисел непустой и предложена конструкция данных чисел. Другая проблема — это вопрос о различии классификаций Малера и Коксма. В 2003 году Я. Бюжо опубликовал работу [4], в которой доказано, что существуют числа, для которых характеристики Малера и Коксма различны. Для доказательства данных фактов используются специальные алгебраические точки α = (α1, α2), рассмотренные в статье. Мы рассматриваем специальные алгебраические точки α = (α1, α2) такие, что высота алгебраических чисел α1 и α2 не превосходит Q, а их степень не превосходит n и модуль производной их минимального члена P(t) принимает следующие значения: |P′(α1)| ≤ Q1−v1 и |P′(α2)| ≤ Q1−v2 при 0 < v1, v2 < 1. В работе найдены точные оценки сверху и снизу для количества специальных алгебраических точек в прямоугольниках, мера Лебега которых имеет порядок Q−1+v1+v2 .

Об авторе

А. Г. Гусакова
Институт математики НАН Беларуси
Россия
аспирантка, Институт математики НАН Беларуси


Список литературы

1. Mahler K. Zur Approximation der Exponentialfunktion und des Logarithmus. Teil I, II // J. reine und angew. Math. 1932. Vol. 166. P. 118–136, 137–150.

2. Koksma J.F. ¨Uber die Mahlersche Klasseneinteilung der transzendenten Zahlen und die Approximation komplexer Zahlen durch algebraische Zahlen // Mh. Math. Physik. 1939. Vol. 48. P. 176–189.

3. Schmidt W. T-numbers do exist // Symposia Mathematica (INDAM, Rome, 1968/1969). 1970. Vol. IV. P. 3–26.

4. Bugeaud Y. Mahler’s classification of numbers compared with Kosma’s // Acta Arith. 2003. Vol. 110, №1. P. 89–105.

5. Спринджук В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел. Минск: Наука и техника, 1967. 184 c.

6. Mahler K. An inequality for the discriminant of a polynomial // Michigan Math. J. 1964. Vol. 11. P. 257–262.

7. Everst J.-H. Distance between the conjugates if an algebraic number // Publ. Math. Debrecen. 2004. Vol. 65, №3-4. P. 323–340.

8. Beresnevich V., Bernik V., G¨otze F. The distribution of close conjugate algebraic numbers // Compos. Math. 2010. Vol. 146, №5. P. 1165–1179.

9. Бударина Н. В., Г¨етце Ф. Расстояние между сопряженными алгебраическими числами в кластерах // Матем. заметки. 2013. Т. 94, №5. С. 780–783.

10. Bugeaud Y., Mignotte M. Polynomials root separation // Int. J. Number Theory. 2010. Vol. 6, №3. P. 587–602.

11. Bugeaud Y., Mignotte M. On the distance between roots of integer polynomials // Proc. Edinb. Math. Soc. 2004. Vol. 47, №3. P. 553–556.

12. Schmidt W. M. Diophantine approximation // Lecture Notes in Math., 785, Springer, Berlin, 1980. x+299 p.

13. Bugeaud Y. Approximation by algebraic integers and Hausdorff dimension // J. London Math. Soc. 2002. Vol. 65, №2. P. 547–559.

14. Берник В.И., Г¨етце Ф. Распределение действительных алгебраических чисел произвольной степени в коротких интеревалах // Известия РАН. Серия математическая. 2015. Т. 79, №1. C. 21–42.

15. Bernik V., G¨otze F., Kukso O. On algebraic points in the plane near smooth curves // Lithuanian Math. Journal. 2014. Vol. 54, №3. P. 231–251.

16. Гусакова А. Г., Берник В. И. Количество алгебраических чисел с малой производной их минимального многочлена в корне на коротких интервалах // Труды института математики. 2014. Т. 22б №2. C. 18–31.

17. Берник В. И. Применение размерности Хаусдорфа в теории диофантовых приближений // Acta Arithm. 1983. Vol. 42, №3. P. 219–253.

18. Берник В. И., Домбровский И.Р. Эффективные оценки меры множеств, определяемых диофантовыми условиями // Труды МИАН. 1994. Т. 207. C. 35–41.

19. Берник В. И. О точном порядке приближения нуля значениями целочисленных многочленов // Acta Arith. 1989. Vol. 53, №1. P. 17–28.

20. Davenport H. On a principle of Lipschitz // J. London Math. Soc. 1951. Vol. 26. P. 179 –183.

21. Huxley M. N. Area, lattice points, and exponential sums // London Mathematical Society Monographs, New Series. 1996. Vol. 13, Oxford University Press. New York.

22. Bugeaud Y. Approximation by algebraic numbers // Cambridge Tracts in Mathematics. 2004. Vol. 160. Cambridge University Press. Cambridge. 274 p.


Для цитирования:


Гусакова А.Г. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕЦИАЛЬНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОЧЕК В ОБЛАСТЯХ МАЛОЙ МЕРЫ. Чебышевский сборник. 2016;17(1):52-70. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-1-52-70

For citation:


Gusakova A.G. DITRIBUTION OF SPECIAL ALGEBRAIC POINTS IN DOMAINS OF SMALL MEASURE. Chebyshevskii Sbornik. 2016;17(1):52-70. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-1-52-70

Просмотров: 89


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)