О НАИЛУЧШИХ ЛИНЕЙНЫХ МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА

Аннотация

В статье вычислены точные значения различных поперечников в пространстве Bq,γ ,
1 ≤ q ≤ ∞ с весом γ классов W(r) q,a (Φ, μ). Эти классы состоят из функций f, аналитических в круге UR := {z : |z| ≤ R}(0 < R ≤ 1), у которых производные r(r ∈ N)-го порядка по аргументу f(r) a принадлежат пространству Bq,γ(1 ≤ q ≤ ∞, 0 < R ≤ 1), и имеют усредненные модули гладкости второго порядка, мажорируемые заданной функцией Φ, прич¨ем всюду далее предполагается, что Φ(t), t ≥ 0 есть произвольная непрерывная возрастающая функция такая, что Φ(0) = 0. Доказаны точные неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями аналитических в единичном круге функций и интегралами, содержащими усредн¨енное значение модуля гладкости второго порядка производной r-го порядка функции с конкретным весом, вытекающей из содержательного смысла постановки самой задачи. Полученный результат гарантирует вычисление точных значений бернштейновских и колмогоровских поперечников. Метод приближения, полученный при оценке сверху n-поперечника Колмогорова, опирается на оценке модуля гладкости комплексных полиномов, ранее доказанной Л. В. Тайковым. Особый интерес представляет задача построения наилучших линейных методов приближения классов функций W(r) q,a (Φ, μ) и связанные с этой задачей вычисления точных значений линейных и гельфандовских n-поперечников. Найденные наилучшие линейные методы зависят от заданного числа μ ≥ 1 и, в частности, при μ = 1 содержат ранее известные результаты. Также указаны в явном виде оптимальные подпространства заданной размерности, реализующие значения поперечников.