О НЕЛИНЕЙНОЙ СУММЕ КЛООСТЕРМАНА
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-1-140-147
Аннотация
Во многих задачах теории чисел, связанных с распределением обратных величин в кольце вычетов по заданному модулю q, большую роль играют оценки тригонометрических сумм специального вида, которые называются суммами Клоостермана. В свою очередь, оценки таких сумм зачастую опираются на оценку А. Вейля т.н. полной суммы Клоостемана по простому модулю. Последняя позволяет оценивать со степенным понижением суммы Клоостермана, число N слагаемых в которых превышает величину q0.5+ε, где ε > 0 — сколь угодно малое фиксированное число. Оценка А. Вейля была получена средствами алгебраической геометрии. Позже С. А. Степановым было найдено элементарное её дказательство, также достаточно сложное. Цель настоящей заметки — дать элементарный вывод оценки суммы Клоостермана, также позволяющий получить степенное понижение в случае N > q0.5+ε. Этот вывод основан на использовании т.н. “аддитивного сдвига” переменной суммирования, который широко используется в различных задачах теории чисел.
Об авторе
М. А. Королёв
Математический институт им. В. А. Стеклова РАН
Россия
Россия
доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Отдела алгебры и теории чисел Федерального государственного бюджетного учреждения науки Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Список литературы
1. Виноградов И. М. Основы теории чисел, 9-е изд. М., Наука, 1981.
2. Salie H. ¨Uber die Kloostermanschen Summen S(u, v; q) // Math. Z. Т. 34. 1931. C. 91—109.
3. Estermann T. On Kloosterman’s sum // Mathematika. Т. 8. Вып. 1 1961. C. 83–86.
4. Weil A. On some exponential sums // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. Т. 34. 1948. C. 204–207.
5. Степанов С. А. Об оценке сумм Клостермана // Изв. АН СССР. Сер. матем.. Т. 35. Вып. 2. 1971. C. 308–323.
6. Bourgain J. More on the sum -product phenomenon in prime fields and its applications // Int. J. Number Theory. Т. 1. 2005. C. 1–32.
7. Baker R. C. Kloosterman sums with prime variable // Acta Arith. Т. 152. Вып. 4. 2012. C. 351–372.
8. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. Тр. МИАН СССР. Т. 23. Изд -во АН СССР, М.–Л., 1947, 3–109.
9. Burgess D. A. On character sums and primitive roots // Proc. London Math. Soc.. Т. 12. Вып. 3 1962. C. 179–192.
10. Карацуба А. А. Тригонометрические суммы специального вида и их приложения // Изв. АН СССР. Сер. матем.. Т. 28. Вып. 1. 1964. C. 237-–248.
11. Карацуба А. А. Об оценках сумм характеров // Изв. АН СССР. Сер. матем.. Т. 34. Вып. 1. 1970. C. 20-–30.
12. Карацуба А. А. Суммы характеров с простыми числами // Изв. АН СССР. Сер. матем. Т. 34. Вып. 2. 1970. C. 299-–321.
13. Карацуба А. А. Суммы характеров с весами // Изв. РАН. Сер. матем.. Т. 64. Вып. 2. 2000. C. 29-–42.
14. Бургейн Ж., Гараев М. З. Сумма множеств, образованных обратными элементами в полях простого порядка, и полилинейные суммы Клоостермана // Изв. РАН. Сер. матем. Т. 78. Вып. 4. 2014. C. 19-–72.
15. Fouvry E., Michel P. Sur certaines sommes d’exponentielles sur les nombres premiers // Ann. scient. ´Ec. Norm. Sup.. Т. 31. Вып. 1. 1998. C. 93–130.
Рецензия
Для цитирования:
Королёв М.А. О НЕЛИНЕЙНОЙ СУММЕ КЛООСТЕРМАНА. Чебышевский сборник. 2016;17(1):140-147. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-1-140-147
For citation:
Korolev M.A. ON NON-LINEAR KLOOSTERMAN SUM. Chebyshevskii Sbornik. 2016;17(1):140-147. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-1-140-147
Просмотров: 327
Послать статью по эл. почте 