САМОУЛУЧШЕНИЕ Lp-НЕРАВЕНСТВА ПУАНКАРЕ ПРИ p > 0

Аннотация

Классическое (θ, p)-неравенство Пуанкаре на Rn  1 μ(B) ˆ B  f(y) − 1 μ(B) ˆ B f dμ θ dμ(y)   1/θ . rB   1  μ(B) ˆ B |∇f|p dμ    1/p , (rB — радиус шара B ⊂ Rn) обладает свойством самоулучшения — из (1, p)-неравенства, 1 < p < n, вытекает «более сильное» (q, p)-неравенство (Соболева–Пуанкаре), где 1/q = 1/p − 1/n (неравенство A . B означает, что A 6 cB с несущественной постоянной c). Такой эффект изучался в ряде работ для неравенств более общего вида   1 μ(B)  ˆ B |f(y) − SBf|θ dμ(y)   1/θ . η(rB)    1 μ(B) ˆ σB gp dμ    1/p для функций на метрическом пространстве с мерой. Здесь f ∈ Lθ 
loc, g ∈ Lp loc, SBf — некоторое число, зависящее от шара B и функции f, η — некоторая положительная возрастающая функция, σ > 1. В качестве SBf выбиралось среднее значение функции f по шару B и рассматривался случай p > 1. Мы изучаем свойство самоулучшения для таких неравенств на квазиметрических пространствах с мерой, удовлетворяющей условию удвоения с показателем γ > 0. Существенным отличием нашей работы от предыдущих является рассмотрение случая p, θ > 0. В этой ситуации функции не обязаны быть суммируемыми и мы берем SBf = I(θ) B f — наилучшее приближение постоянными в метрике пространства Lθ(B). Мы доказываем, что если η(t)t−α возрастает при некотором α > 0, то при 0 < p < γ/α и θ > 0 из (θ, p)-неравенства Пуанкаре вытекает (q, p)-неравенство с 1/q > 1/p − γ/α. При p > γ(γ+α)−1 (при таких p функция f является локально суммируемой) отсюда вытекает также (q, p)-неравенство с интегральными средними на месте наилучших приближений I(θ) B f. В работе рассматриваются также случаи αp = γ и αp > γ. Если αp = γ, то из (θ, p)-неравенства Пуанкаре вытекает (q, p)-неравенство с любым q > 0 и, более того, справедливо экспоненциальное неравенство типа известного неравенства Трудингера. Если же αp > γ, то из (θ, p)-неравенства Пуанкаре вытекает неравенство |f(x) − f(y)| . η(d(x, y))[d(x, y)]−γ/p . [d(x, y)]α−γ/p для почти всех x и y из любого фиксированного шара B (. зависит от B).