Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

САМОУЛУЧШЕНИЕ Lp-НЕРАВЕНСТВА ПУАНКАРЕ ПРИ p > 0

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-1-187-200

Полный текст:

Аннотация

Классическое (θ, p)-неравенство Пуанкаре на Rn  1 μ(B) ˆ B  f(y) − 1 μ(B) ˆ B f dμ θ dμ(y)   1/θ . rB   1  μ(B) ˆ B |∇f|p dμ    1/p , (rB — радиус шара B ⊂ Rn) обладает свойством самоулучшения — из (1, p)-неравенства, 1 < p < n, вытекает «более сильное» (q, p)-неравенство (Соболева–Пуанкаре), где 1/q = 1/p − 1/n (неравенство A . B означает, что A 6 cB с несущественной постоянной c). Такой эффект изучался в ряде работ для неравенств более общего вида   1 μ(B)  ˆ B |f(y) − SBf|θ dμ(y)   1/θ . η(rB)    1 μ(B) ˆ σB gp dμ    1/p для функций на метрическом пространстве с мерой. Здесь f ∈ Lθ 
loc, g ∈ Lp loc, SBf — некоторое число, зависящее от шара B и функции f, η — некоторая положительная возрастающая функция, σ > 1. В качестве SBf выбиралось среднее значение функции f по шару B и рассматривался случай p > 1. Мы изучаем свойство самоулучшения для таких неравенств на квазиметрических пространствах с мерой, удовлетворяющей условию удвоения с показателем γ > 0. Существенным отличием нашей работы от предыдущих является рассмотрение случая p, θ > 0. В этой ситуации функции не обязаны быть суммируемыми и мы берем SBf = I(θ) B f — наилучшее приближение постоянными в метрике пространства Lθ(B). Мы доказываем, что если η(t)t−α возрастает при некотором α > 0, то при 0 < p < γ/α и θ > 0 из (θ, p)-неравенства Пуанкаре вытекает (q, p)-неравенство с 1/q > 1/p − γ/α. При p > γ(γ+α)−1 (при таких p функция f является локально суммируемой) отсюда вытекает также (q, p)-неравенство с интегральными средними на месте наилучших приближений I(θ) B f. В работе рассматриваются также случаи αp = γ и αp > γ. Если αp = γ, то из (θ, p)-неравенства Пуанкаре вытекает (q, p)-неравенство с любым q > 0 и, более того, справедливо экспоненциальное неравенство типа известного неравенства Трудингера. Если же αp > γ, то из (θ, p)-неравенства Пуанкаре вытекает неравенство |f(x) − f(y)| . η(d(x, y))[d(x, y)]−γ/p . [d(x, y)]α−γ/p для почти всех x и y из любого фиксированного шара B (. зависит от B).

Об авторе

А. И. Порабкович
Белорусский Государственный Университет
Россия

аспирант



Список литературы

1. P. Haj lasz, P. Koskela Sobolev met Poincar´e // Memoirs of Amer. Math. Soc. 2000. V. 145, P. 1–115.

2. И. А. Иванишко, В. Г. Кротов Обобщенное неравенство Пуанкаре–Соболева на метрических пространствах // Труды Ин-та математики НАН Беларуси. 2006. Т. 14, №1. С. 51–61.

3. Е. В. Игнатьева Неравенство типа Соболева-Пуанкаре на метрических пространствах в терминах шарп-максимальных функций // Матем. заметки. 2007. Т. 81, №1. С. 140–144.

4. V. G. Krotov Maximal Functions Measuring Smoothness // Recent Advances in Harmonic Analysis and Applications In Honor of Konstantin Oskolkov, Proc. in Math. and Stat. 2013. V. 25. С. 197–223.

5. A. P. Calder´on Estimates for singular integral operators in terms of maximal functions // Studia Math. 1972. V. 44, P. 167–186.

6. A. P. Calder´on, R. Scott Sobolev type inequalities for p > 0 // Studia Math. 1978. V. 62, P. 75–92.

7. R. DeVore, R. Sharpley Maximal functions measuring local smoothness // Memoirs of the Amer. Math. Soc. 1984. V. 47, P. 1–115.

8. P. Haj lasz Sobolev spaces on an arbitrary metric spaces // Potential Anal. 1996. V. 5, №4. P. 403–415.

9. R. R. Coifman, G.Weiss Analyse harmonique non-commutative sur certain espaces homogen´es. // Lecture Notes in Math. 1971. V. 242, P. 1–176.

10. J. Heinonen Lectures on Analysis on Metric Spaces. / Berlin: Springer-Verlag. 2001.

11. E. Stein Singular integrals and differentiability properties of functions. / Prinston Univ. Press. 1970.

12. В. Г. Кротов Количественная форма C-свойства Лузина. // Укр. Матем. Журнал. 2010. №3. C. 388–396.

13. В. Г. Кротов Критерии компактности в пространствах Lp, p > 0. // Матем. Сборник. 2012. №7. C. 129–148.

14. В. Г. Кротов, А. И. Порабкович Оценки Lp-осцилляций функций при p > 0. // Матем. заметки. 2015. Т. 97, №3. С. 407–420.

15. N. Trudinger On embedding into Orlicz spaces and some applications. // J. Math. Mech. 1967. Vol. 17. P. 473-483.


Для цитирования:


Порабкович А.И. САМОУЛУЧШЕНИЕ Lp-НЕРАВЕНСТВА ПУАНКАРЕ ПРИ p > 0. Чебышевский сборник. 2016;17(1):187-200. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-1-187-200

For citation:


Porabkovich A.I. SELF-IMPROVEMENT OF (θ, p) POINCAR´E INEQUALITY FOR p > 0. Chebyshevskii Sbornik. 2016;17(1):187-200. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-1-187-200

Просмотров: 173


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)