Получена лиувиллева классификация натуральной гамильтоновой системы на проективной плоскости с метрикой вращения и линейным интегралом. Вычислены все инварианты Фоменко — Цишанга (т. е. меченые молекулы) системы.

Изучается понятие „intermediate bordism group" , которое было введено П. Дж. Экклзом для исследовании фильтраций в стабильных гомотопических группах сфер. Введено новое понятие группы кобордизма стабильно-оснащенных погружений. Строится представляю щее пространство для новых групп и вычисляются ранги этих групп кобордизма. Инварианты Хопфа и гомоморфизм Кана-Придди обобщаются на группы кобордизма стабильно-оснащенных погружений.

Мы изучаем, как модифицируются модели квантовой теории при перепараметризации координат пространства-времени и одновременно некоторых преобразований полевой функции. Предъявлены преобразования, которые превращают действие массивного поля в пространстве-времени Минковского в действие безмассового поля в некотором искривлённом пространстве.

С помощью основ теории групп и алгебр Ли, их (ко)присоединенных представлений и принципа максимума Понтрягина для задачи оптимального быстродействия даны независимое обоснование методов геодезического векторного поля поиска геодезических левоинвариантных (суб)финслеровых метрик на группах Ли и поиска соответствующих локально оптимальных управлений в (суб)римановом случае, а также несколько их применений.

В работе рассматривается класс прямоугольных многогранников в трехмерном пространстве Лобачевского, все вершины которых лежат на абсолюте. Получены новые верхние оценки объемов через число граней многогранника. Вычислены объемы многогранников, имеющих не более, чем 23 граней. Показано, что наименьшие объемы реализуются на антипризмах и скрученных антипризмах. Установлены первые 248 значений объемов идеальных прямоугольных многогранников. Введен класс многогранников с изолированными треугольниками, получены комбинаторные оценки на существование и приведены минимальные примеры таких многогранников.

На плоском n-мерном торе изучаются стохастические дифференциальные включения с производными в среднем, у которых правые части имеют, вообще говоря, не выпуклые (асферические) значения. Выделен подкласс таких включений, для которых существует последовательность $\varepsilon$-аппроксимаций, поточечно сходящаяся к измеримому по Борелю селектору. На этой основе получена теорема существования решения.

Пусть $\mathcal G$ — семейство периодических групп периода $2$ или $4$,
а $\Bar \Sigma^m$ — гомотопическая $m$-пространственная форма
где $\pi_1(\Bar \Sigma^m)\in \mathcal G$.
Для $m=3$ мы изучаем множество степеней отображения
$D(\Bar \Sigma_1^m, \Bar \Sigma_2^m)$ из $\Bar \Sigma_1^m$ в $\Bar \Sigma_2^m$.

За последние сто лет многие существенные гравитационные явления были предсказаны и обнаружены Общей теорией относительности (GR), которая до сих пор остается лучшей теорией гравитации. Тем не менее, из-за великих наблюдательных открытий 20-го века некоторые (квантовые) теоретические и (астрофизические и космологические) феноменологические трудности современной гравитации были мотивацией для поиска более
общей теории гравитации, чем ОТО. В результате были рассмотрены многие модификации ТО. Одним из многообещающих недавних исследований является нелокальная модифицированная гравитация. В этой статье мы представляем обзор некоторых нелокальных гравитационных моделей с их точными космологическими решениями, в которых нелокальность выражается аналитической функцией от оператора Даламбера — Бельтрами. Некоторые из полученных решений содержат эффекты, которые обычно присваиваются
темной материи и темной энергии.

Рассматриваются коэрцитивные непрерывные инъективные отображения, действующие из одного линейного конечномерного пространства в другое. Доказано, что образы этих отображений являются ретрактами линейных пространств.

В работе рассматривается задача оптимального управления с обратной связью для начально-краевой задачи, описывающей движение нелинейно-вязкой жидкости. Доказывается существование оптимального решения, дающего минимум заданному функционалу качества. Для доказательства существования оптимального решения используется аппроксимационно-топологический метод исследования задач гидродинамики.

При изучении арифметических свойств значений обобщенных гипергеометрических функций часто применяют известный в теории трансцендентных чисел метод Зигеля. Наиболее общие результаты в данной области были получены именно этим методом. Однако возможности метода Зигеля в случае гипергеометрических функций с иррациональными
параметрами ограничены. Это связано с тем, что такие гипергеометрические функции не являются E-функциями, и по этой причине построить линейную приближающую форму с
высоким порядком нуля с помощью принципа Дирихле здесь не удается. При рассмотрении задач, связанных с исследованием арифметической природы значений гипергеометрических функций с иррациональными параметрами, в некоторых случаях можно применить метод, основанный на эффективном построении линейной приближающей формы, но возможности этого метода также ограничены из-за того, что слишком общие эффективные конструкции отсутствуют. Трудности имеются также и в тех случаях, когда такие конструкции известны. Особенности этих конструкций таковы, что часто не удается реализовать арифметическую часть метода.

Поэтому представляют интерес ситуации, когда можно провести требуемое исследование, опираясь на особые свойства конкретных гипергеометрических функций. Иногда
удается так подобрать параметры исследуемых функций, что можно преодолеть те трудности, которые возникают в общем случае. В настоящей работе рассматривается гипергеометрическая функция специального вида и ее производные. С помощью эффективной конструкции удалось не только доказать линейную независимость значений этих функций над некоторым мнимым квадратичным полем, но и получить соответствующий количественный результат в виде оценки модуля линейной формы от указанных значений.

В работе изучается взаимосвязь между расстоянием Громова — Хаусдорфа и задачами дискретной оптимизации. Расстояние Громова — Хаусдорфа до метрического пространства с одинаковыми непутевыми расстояниями используется используется для решения следующих проблем: вычисление длин ребер минимального остовного дерева для конечного метрического пространства; обобщенная пробам Борсука; вычисление хроматического
числа и минимального размера клинкового покрытия для простого графа.

В 2018 году на Всемирном экономическом форуме в Давосе была представлена новая метрика экономической эффективности стран под названием Индекс инклюзивного развития (IDI), состоящий из 12 показателей. Новая метрика подразумевает, что странам может потребоваться проведение структурных реформ для улучшения как экономического роста, так и эффективности социальной инклюзивности. Именно поэтому важно, чтобы метод расчета IDI имел сильную статистическую и математическую основу для точности и прозрачности результатов и их дальнейшего использования в общественных целях.

В данной работе мы предлагаем новый подход к оценке IDI — нейросетевую модель REL-PCANet, которая основана на принципах RELARM и RankNet и объединяет элементы PCA, методы, применяемые в распознавании изображений и механизмах обучения ранжированию. Кроме того, мы определяем новый подход к оценке матрицы целевых вероятностей TRnet для отражения динамических изменений в инклюзивном развитии стран. Эмпирическое исследование показало, что REL-PCANet обеспечивает надежные оценки и результаты ранжирования, что позволяет рекомендовать ее для использования в практической деятельности.

Шахматные комплексы и их обобщения, как объекты, и дискретная теория Морса, как инструмент, представлены в виде объединяющей темы, связывающая различные области геометрии, топологии, алгебры и комбинаторики. Теорема Эдмондса и Фулкерсона о бутылочном горлышке (минимаксе) реализуется и интерпретируется как результат о критической точке дискретной функции Морса на сфере Бира Bier(K) ассоциированного симплициального комплекса K. Мы проиллюстрируем использование «стандартных дискретных функций Морса» на обобщенных шахматных комплексах, доказав результат связности для шахматных комплексов с кратностями. Приложения включают новые результаты типа Тверберга-Ван Кампена-Флореса для разбиений симплекса без j-кратных пересечений.

В работе приводится алгоритм топологической классификации невырожденных особенностей типа седло-фокус интегрируемых гамильтоновых систем с тремя степенями свободы с точностью до полулокальной эквивалентности. В частности, мы доказываем, что любую особенность типа седло-фокус можно представить в виде почти прямого произведения, в котором действующая группа циклическая. На основе построенного алгоритма получен полный список особенностей типа седло-фокус сложности 1, 2 и 3, т. е. особенностей с одной, двумя или тремя особыми точками ранга 0 на слое. Ранее обе особенности типа седло-фокус сложности 1 были также описаны Л. М. Лерманом.

На поверхности, гомеоморфной 2-мерной сфере, изучается натуральная механическая система с магнитным полем, инвариантная относительно $S^1$-действия. Для особых точек ранга 0 отображения момента получен критерий невырожденности, определен тип невырожденных особых точек (центр-центр и фокус-фокус), описаны бифуркации типичных вырожденных особых точек (интегрируемая гамильтонова бифуркация Хопфа двух типов). Для семейств особых окружностей ранга 1 отображения момента (состоящих из относительных положений равновесия системы) получено их параметрическое задание, доказан критерий невырожденности, определен тип невырожденных (эллиптические и гиперболические) и типичных вырожденных (параболические) особых окружностей. Получено параметрическое задание бифуркационной диаграммы отображения момента. Описаны геометрические свойства бифуркационной диаграммы и бифуркационного комплекса в случае, когда задающие систему функции находятся в общем положении. Определена топология неособых изоэнергетических 3-мерных многообразий, описана топология слоения Лиувилля на них с точностью до грубой лиувиллевой эквивалентности (в терминах атомов и молекул Фоменко). Описаны “расщепляющиеся” гиперболические особенности ранга 1, являющиеся топологически неустойчивыми бифуркациями слоения Лиувилля.

По теореме Абеля лемнискату Бернулли можно разделить циркулем и линейкой на n равных дуг,
где $n=2^kp_1\ldots p_m$ и $p_j$ - попарно различные простые числа Ферма. Важное свойство
лемнискаты, используемое в доказательстве теоремы Абеля, состоит в том, что она допускает
параметризацию рациональными функциями, в которой длина дуги выражается эллиптическим интегралом первого рода. Жозеф Альфред Серре предложил способ описывать все такие кривые в работе [1]. В работах [1, 2, 3] он нашел целые серии таких кривых и описал их важные свойства. С тех пор других примеров кривых с рациональной параметризацией и длиной дуги, выражающейся эллиптическим интегралом первого рода, известно не было. В данной заметке мы строим новый пример такой кривой.

В работе кратко описывается полная таблица ориентируемых замкнутых неприводи-
мых 3-многообразий сложности <=13, методы ее построения и проверки, кроме того, фор-
мулируется ряд гипотез касающихся роста числа многообразий различных типов. В при-
ложении дается сжатое объяснение использованных понятий.

В работе рассматриваются топологические характеристики многозначных отображений, которые могут быть представлены в виде конечной композиции отображений с асферичными значениями. Для такого рода случайных отображений, уплотняющих относительно некоторой абстрактной меры некомпактности, вводится случайный индекс неподвижных точек, описываются его свойства и даются применения к теоремам о неподвижной точке. Определяется топологическая степень совпадения для уплотняющей пары, состоящей из линейного фредгольмова оператора нулевого индекса и многозначного отображения указанного выше класса. В последнем разделе указаны возможности распространения этой теории на случайные уплотняющие пары.

Основная цель данной статьи — исследовать коммутирующие потоки и интегрируемые системы на конфигурационом пространстве плоских шарнирных многоугольников. Наше исследование приводит к определению естественной формы объема на каждом конфигурационном пространтве плоских шарнирных многоугольников, понятию перекрестных произведений интегрируемых систем, а также к понятию мульти-намбу интегрируемых систем. Первые интегралы наших систем являются функциями типа Ботта-Морса, которые могут быть использованы для изучения топологии конфигурационных пространств.

Рассматривается система из бесконечного числа абсолютно упругих частиц на прямой, массы и начальные расстояния между которыми периодически повторяются. Изучаются условия, при которых в таких системах могут существовать решения типа бегущих волн.

В этой статье мы рассмотрим методы и результаты классификации $k$-форм (соотв. $k$-векторов на $ \R ^ n $), понимаемых как описание пространства орбит стандартного $\GL(n, \R)$-действие на $\Lambda^k \R^{n*}$
(соотв. на $\Lambda ^k \R^n$). Мы обсудим существование связанной геометрии, определяемой дифференциальными формами на гладких многообразиях. Эта статья также содержит Приложение, написанное Михаилом Боровым, о методах когомологии Галуа для нахождения вещественных форм комплексных орбит.

Рассматриваются деформации задачи Кеплера и гармонического осциллятора, для которых дополнительные интегралы движения являются координатами приведённого дивизора, согласно теореме Римана — Роха. Для этого семейства некоммутативно интегрируемых систем обсуждается справедливость гипотезы Мищенко — Фоменко о существовании интегралов движения из единого функционального класса, в данном случае полиномиальных интегралов движения.

Доказана теорема о среднем для тригонометрических сумм на последовательности многочленов биномиального типа. Как известно, классическая теорема И. М. Виноградова о среднем [10] относится к последовательности многочленов вида $\{x^n, n\geq 0\}.$
Важным приложением найденной теоремы о среднем являются оценки сумм вида
$$
\sum_{m\leq P}e^{2\pi if(m)}, f(m)=\sum_{k=0}^n\alpha_kp_k(m),
$$
где $p_k(x)$ - последовательность целозначных многочленов биномиального типа,
а набор чисел $(\alpha_1\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ представляет собой точку $n$-мерного единичного куба $\Omega: 0\leq \alpha_1,\dots,$ $\alpha_n<1.$