О значениях гипергеометрических функций

Аннотация

При изучении арифметических свойств значений обобщенных гипергеометрических функций часто применяют известный в теории трансцендентных чисел метод Зигеля. Наиболее общие результаты в данной области были получены именно этим методом. Однако возможности метода Зигеля в случае гипергеометрических функций с иррациональными
параметрами ограничены. Это связано с тем, что такие гипергеометрические функции не являются E-функциями, и по этой причине построить линейную приближающую форму с
высоким порядком нуля с помощью принципа Дирихле здесь не удается. При рассмотрении задач, связанных с исследованием арифметической природы значений гипергеометрических функций с иррациональными параметрами, в некоторых случаях можно применить метод, основанный на эффективном построении линейной приближающей формы, но возможности этого метода также ограничены из-за того, что слишком общие эффективные конструкции отсутствуют. Трудности имеются также и в тех случаях, когда такие конструкции известны. Особенности этих конструкций таковы, что часто не удается реализовать арифметическую часть метода.

Поэтому представляют интерес ситуации, когда можно провести требуемое исследование, опираясь на особые свойства конкретных гипергеометрических функций. Иногда
удается так подобрать параметры исследуемых функций, что можно преодолеть те трудности, которые возникают в общем случае. В настоящей работе рассматривается гипергеометрическая функция специального вида и ее производные. С помощью эффективной конструкции удалось не только доказать линейную независимость значений этих функций над некоторым мнимым квадратичным полем, но и получить соответствующий количественный результат в виде оценки модуля линейной формы от указанных значений.