доктор физико-математических наук
doctor of physical and mathematical sciences
При изучении арифметических свойств значений обобщенных гипергеометрических функций часто применяют известный в теории трансцендентных чисел метод Зигеля. Наиболее общие результаты в данной области были получены именно этим методом. Однако возможности метода Зигеля в случае гипергеометрических функций с иррациональнымипараметрами ограничены. Это связано с тем, что такие гипергеометрические функции не являются E-функциями, и по этой причине построить линейную приближающую форму свысоким порядком нуля с помощью принципа Дирихле здесь не удается. При рассмотрении задач, связанных с исследованием арифметической природы значений гипергеометрических функций с иррациональными параметрами, в некоторых случаях можно применить метод, основанный на эффективном построении линейной приближающей формы, но возможности этого метода также ограничены из-за того, что слишком общие эффективные конструкции отсутствуют. Трудности имеются также и в тех случаях, когда такие конструкции известны. Особенности этих конструкций таковы, что часто не удается реализовать арифметическую часть метода.
Поэтому представляют интерес ситуации, когда можно провести требуемое исследование, опираясь на особые свойства конкретных гипергеометрических функций. Иногдаудается так подобрать параметры исследуемых функций, что можно преодолеть те трудности, которые возникают в общем случае. В настоящей работе рассматривается гипергеометрическая функция специального вида и ее производные. С помощью эффективной конструкции удалось не только доказать линейную независимость значений этих функций над некоторым мнимым квадратичным полем, но и получить соответствующий количественный результат в виде оценки модуля линейной формы от указанных значений.
The investigation of arithmetic properties of the values of the generalized hypergeometricfunctions is often carried out by means of known in the theory of transcendental numbers Siegel’smethod. The most general results in this field have been obtained precisely by this method.But the possibilities of Siegel’s method in case of hypergeometric functions with irrationalparameters are restricted. This is connected with the fact that such hypergeometric functions arenot E-functions and for that reason one is unable to construct linear approximating form withlarge order of zero by means of pigeonhole method. To consider problems connected with theinvestigation of arithmetic properties of the values of hypergeometric functions with irrationalparameters it is possible in some cases to use the method based on the effective constructionof linear approximating form but the possibilities of this method are also limited because ofthe absence of too general effective constructions. There are some difficulties also in the caseswhen such constructions are available. The peculiarities of these constructions often hinder therealization of arithmetic part of the method.For that reason of some interest are situations when one is able to realize the requiredinvestigation by means of specific properties of concrete functions. Sometimes it is possible tochoose the parameters of the functions under consideration in such a way that one receivesthe possibility to overcome the difficulties of the general case. In this paper we considerhypergeometric function of a special kind and its derivatives. By means of effective constructionit is possible not only to prove linear independence of the values of this function and itsderivatives over some imaginary quadratic field but also to obtain corresponding quantitativeresult in the form of the estimation the modulus of the linear form in the aforesaid values.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.