Статьи
Эта статья посвящена литовскому теоретико-числовику профессору Антанасу Лаурин-
чикасу по случаю его 70-летия. Очерчиваются основные этапы развития его научной ка-
рьеры. Хотя А. Лауринчикас начал с вероятностной теории чисел, впоследствии он стал
одним из ведущих мировых ученых в области теории дзета-функций, особенно в отноше-
нии их универсальности. Приводится краткий обзор его довузовской жизни и описывается
развитие его карьеры математика с момента поступления в Вильнюсский университет.
Мы рассмотрим некоторые результаты Антанаса, начиная с ранних, а затем осветимосновные результаты.
В конце представлен список научных публикаций А. Лауринчикаса.
Статья посвящена памяти Георгия Вороного. Описываются новые избранные результаты о рядах Эйзенштейна, о (мотивных), (p-адических), (кратных) значениях (круговых) дзета и L-функций, и их приложения, полученные ниже перечисляемыми авторами, а также элементарное введение в эти результаты. Дан краткий обзор новых результатов о (мотивных), (p-адических), (кратных) значениях (круговых) дзета функциях, L-функциях и рядах Эйзенштейна. Статья ориентирована на избранные задачи и не является исчерпывающей. Начало статьи содержит краткое изложение результатов о числах Бернулли, связанных с исследованиями Георгия Вороного. Результаты о кратных значениях дзета функций были представлены Д. Загиром, П. Делинем и А. Гончаровым, А. Гончаровым, Ф. Брауном, К. Глэносом (Glanois) и другими. С. Унвер ("Unver) исследовал кратные p-адические дзета-значения глубины два. Таннакиева интерпретация кратных p-адических дзета-значений дана Х. Фурушо. Краткая история и связи между группами Галуа, фундаментальными группами, мотивами и арифметическими функциями представлены в докладе Ю. Ихара. Результаты о кратных дзета-значениях, группах Галуа и геометрии модулярных многообразий представлены Гончаровым. Интересная унипотентная мотивная фундаментальная группа определена и исследована Делинем и Гончаровым. В данной работе мы кратко упоминаем в рамках (p-адических) L-функций и (p-адических) (кратных) дзета-значений применения подходов Куботы-Леопольдта и Ивасавы, которые основанны на p-адических L-функциях Куботы-Леопольда, и арифметических p-адических L-функциях Ивасавы. Прореферирован ряд недавних работ (и соответствующих результатов): кратные дзета-значения в корнях из единицы, построение семейств мотивных итерированных интегралов с предписанными свойствами по Глэносу (Glanois); явные выражения для круговых p-адических кратных дзета-значений глубины два по Унверу (Unver); связи арифметических степеней циклов Кудлы-Рапопорта на интегральной модели многообразия Шимуры, соответствующей унитарной группе сигнатуры (1,1), с коэффициентами Фурье центральных производных рядов Эйзенштейна рода 2 по Санкарану (Sankaran). Более полно с содержанием статьи можно ознакомиться по приводимому ниже оглавлению: Введение. 1. Сравнения типа Вороного для чисел Бернулли. 2. Римановы дзета-значения. 3. О группах классов колец с теорией дивизоров. Мнимые квадратичные и круговые поля. 4. Ряды Эйзенштейна. 5. Группы классов, поля классов и дзета-функции. 6. Кратные дзета-значения. 7. Элементы неархимедовых локальных полей и неархимедова анализа. 8. Итерированные интегралы и (кратные) дзета-значения. 9. Формальные и p-делимые группы. 10. Мотивы и (p-адические) (кратные) дзета-значения. 11. О рядах Эйзенштейна, ассоциированных с многообразиями Шимуры. Разделы 1-9 и подраздел 11.1 (О некоторых многообразиях Шимуры и модулярных формах Зигеля) можно рассматривать как элементарное введение в результаты раздела 10 и подраздела 11.2 (О несобственном пересечении дивизоров Кудлы-Рапопорта и рядах Эйзенштейна).
Я глубоко признателен Н. М. Добровольскому за помощь и поддержку в процессе подготовки статьи к печати.
Для классического потенциала Рисса или дробного интеграла $$I_{\alpha}$$ хорошо известны условия Харди-Литлвуда-Соболева-Стейна-Вейса $$(L^p, L^q)$$ -ограниченности со степенными весами. С помощью преобразования Фурье $$\mathcal{F}$$ потенциал Рисса определяется равенством $$\mathcal{F}(I_{\alpha}f)(y)=|y|^{-\alpha}\mathcal{F}(f)(y)$$. Важным обобщением преобразования Фурье стало преобразование Данкля $$\mathcal{F}_k$$, действующее в лебеговых пространствах с весом Данкля, определяемым с помощью системы корней $$R\subset\mathbb{R}^d$$, ее группы отражений G и неотрицательной функции кратности k на R, инвариантной относительно G. С. Тангавелу и Ю. Шу с помощью равенства $$\mathcal{F}_k(I_{\alpha}f)(y)=|y|^{-\alpha}\mathcal{F}_k(f)(y)$$ определили D-потенциал Рисса. Для D-потенциала Рисса также были доказаны условия ограниченности в лебеговых пространствах с весом Данкля и степенными весами, аналогичные условиям для потенциала Рисса. На конференции "Follow-up Approximation Theory and Function Spaces" в Centre de Recerca Matem`atica (CRM, Barcelona, 2017) М.Л. Гольдман поставил вопрос об условиях $$(L_p,L_q)$$-ограниченности D-потенциала Рисса с кусочно-степенными весами. Рассмотрение кусочно-степенных весов позволяет выявить влияние на ограниченность D-потенциала Рисса поведения весов в нуле и бесконечности. В настоящей работе на этот вопрос дается полный ответ. В частности,в случае потенциала Рисса получены необходимые и достаточные условия. В качестве вспомогательных результатов доказаны необходимые и достаточные условия ограниченности операторов Харди и Беллмана в лебеговых пространствах с весом Данкля и кусочно-степенными весами.
В работе исследуется дзета-функция $$\zeta(M(p_1,p_2)|\alpha)$$ моноида $$M(p_1,p_2)$$, порожденного простыми числами $$p_1<p_2$$ вида 3n+2. Далее, выделяется основной моноид $$M_{3,1}(p_1,p_2)\subset M(p_1,p_2)$$ и основное множество $$ A_{3,1}(p_1,p_2)= M(p_1,p_2)\setminus M_{3,1}(p_1,p_2).$$ Для соответствующих дзета-функций найдены явные конечные формулы, задающие аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость, кроме счётного множества полюсов. Найдены обратные ряды для этих дзета-функций и функциональные уравнения.
В работе даны определения трём новым типам моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы: моноиды степеней, моноиды Эйлера по модулю q и единичные моноиды по модулю q. Указаны выражение их дзета-функций через эйлеровы произведения.
В работе рассмотрен эффект Дэвенпорта-Хейльбронна для дзета-функций моноидов натуральных чисел, связанный с появлением нулей у дзета-функций слагаемых, получающихся при разбиении на классы вычетов по модулю.
Для моноидов с экспоненциальной последовательностью простых чисел доказана гипотеза о заградительном ряде и показано, что областью голоморфности дзета-функции такого моноида является комплексная полуплоскость справа от мнимой оси.
В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.
В работе для каждого моноида M натуральных чисел определён новый класс периодических функций $$M_s^\alpha$$, который является подклассом известного класса Коробова периодических функций $$E_s^\alpha$$. Относительно нормы $$\|f(\vec{x})\|_{E_s^\alpha}$$ класс $$M_s^\alpha$$ является несепарабельным банаховым подпространством класса $$E_s^\alpha$$.
Установлено, что класс $$M_s^\alpha$$ замкнут относительно действия интегрального оператора Фредгольма и на этом классе разрешимо интегральное уравнение Фредгольма второго рода. В работе получены оценки нормы образа интегрального оператора, которые содержат норму ядра и s-ю степень дзета-функции моноида M. Получены оценки на параметр $$\lambda$$, при которых интегральный оператор $$A_{\lambda,f}$$ является сжатием. Доказана теорема о представлении единственного решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода в виде ряда Неймана.
В работе рассмотрены вопросы решения дифференциального уравнения с частными производными с дифференциальным оператором $$Q\left(\frac{\partial }{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial }{\partial x_s}\right)$$ в пространстве $$M^\alpha_{s}$$, который зависит от арифметических свойств спектра этого оператора.
В работе обнаружен парадоксальный факт, что для моноида $$M_{q,1}$$ чисел сравнимых с 1 по модулю q квадратурная формула с параллелепипедальной сеткой для допустимого набора коэффициентов по модулю q точна на классе $$M_{q,1,s}^\alpha$$. Более того, это утверждение остается верным и для класса $$M_{q,a,s}^\alpha$$ с 1 < a < q, когда q - простое число. Так как функции из класса $$M_{q,a,s}^\alpha$$ с 1 < a < q не имеют нулевого коэффициента Фурье $$C(\vec{0})$$, то при простом q сумма значений функции по узлам соответствующей параллелепипедальной сетки будет нулевой.
В работе для произвольного моноида натуральных чисел строятся основы алгебры рядов Дирихле либо над числовым полем, либо над кольцом целых чисел алгебраического числового поля.
Для любого числового поля $$\mathbb{K}$$ показано, что множество $$\mathbb{D}^*(M)_{\mathbb{K}}$$ всех обратимых рядов Дирихле из $$\mathbb{D}(M)_{\mathbb{K}}$$ является бесконечной абелевой группой, состоящей из рядов, у которых первый коэффициент отличен от нуля.
Вводится понятие целого ряда Дирихле моноида натуральных чисел, которые образуют алгебру над кольцом целых алгебраических чисел $$\mathbb{Z}_\mathbb{K}$$ алгебраического поля $$\mathbb{K}$$. Показано, что для группы $$\mathbb{U}_\mathbb{K}$$ алгебраических единиц кольца целых алгебраических чисел $$\mathbb{Z}_\mathbb{K}$$ алгебраического поля $$\mathbb{K}$$ множество $$\mathbb{D}(M)_{\mathbb{U}_\mathbb{K}}$$ целых рядов Дирихле, у которых $$a(1)\in\mathbb{U}_\mathbb{K}$$, является мультипликативной группой.
Для любого ряда Дирихле из алгебры рядов Дирихле моноида натуральных чисел определены приведенный ряд, необратимая часть и дополнительный ряд. Найдена формула разложения произвольного ряда Дирихле в произведение приведенного ряда и конструкции из необратимой части и дополнительного ряда.
Для любого моноида натуральных чисел выделена алгебра рядов Дирихле, сходящихся на всей комплексной области. Также построена алгебра рядов Дирихле с заданной полуплоскостью абсолютной сходимости. Показано, что для любого нетривиального моноида M и для любого вещественного $$\sigma_0$$ найдется бесконечное множество рядов Дирихле из $$\mathbb{D}(M)$$ таких, что областью их голоморфности является $$\alpha$$-полуплоскость $$\sigma>\sigma_0$$.
С помощью теоремы универсальности С. М. Воронина удалось доказать слабую форму теоремы универсальности для широкого класса дзета-функций моноидов натуральных чисел.
В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования. В частности, если верна гипотеза Линника-Ибрагимова, то для них должна быть справедлива и сильная теорема универсальности.
Пусть $$(x_n)_{n \geq 0} $$ - s-мерная последовательность типа Холтона, полученная из глобального функционального поля, $$b \geq 2$$, $$\gamma =(\gamma_1,..., \gamma_s)$$, $$\gamma_i \in [0, 1)$$ с b-адическим разложением $$\gamma_i= \gamma_{i,1}b^{-1}+ \gamma_{i,2}b^{-2}+...$$, $$i=1,...,s$$. В этой статье мы докажем, что $$[0,\gamma_1) \times ...\times [0,\gamma_s)$$ - множество ограниченного остатка относительно последовательности $$(x_n)_{n \geq 0}$$ тогда и только тогда, когда \begin{equation} \nonumber \max_{1 \leq i \leq s} \max \{ j \geq 1 \; | \; \gamma_{i,j} \neq 0 \} < \infty. \end{equation}
Мы также получим аналогичные результаты для обобщенных последовательностей Нидеррайтера, последовательностей Хинга-Нидеррайтера и последовательностей Нидеррайтера-Хинга.