Эта статья посвящена литовскому теоретико-числовику профессору Антанасу Лаурин-
чикасу по случаю его 70-летия. Очерчиваются основные этапы развития его научной ка-
рьеры. Хотя А. Лауринчикас начал с вероятностной теории чисел, впоследствии он стал
одним из ведущих мировых ученых в области теории дзета-функций, особенно в отноше-
нии их универсальности. Приводится краткий обзор его довузовской жизни и описывается
развитие его карьеры математика с момента поступления в Вильнюсский университет.

Мы рассмотрим некоторые результаты Антанаса, начиная с ранних, а затем осветимосновные результаты.

В конце представлен список научных публикаций А. Лауринчикаса.

Статья посвящена памяти Георгия Вороного. Описываются новые избранные результаты о рядах Эйзенштейна, о (мотивных), (p-адических), (кратных) значениях (круговых) дзета и L-функций, и их приложения, полученные ниже перечисляемыми авторами, а также элементарное введение в эти результаты. Дан краткий обзор новых результатов о (мотивных), (p-адических), (кратных) значениях (круговых) дзета функциях, L-функциях и рядах Эйзенштейна. Статья ориентирована на избранные задачи и не является исчерпывающей. Начало статьи содержит краткое изложение результатов о числах Бернулли, связанных с исследованиями Георгия Вороного. Результаты о кратных значениях дзета функций были представлены Д. Загиром, П. Делинем и А. Гончаровым, А. Гончаровым, Ф. Брауном, К. Глэносом (Glanois) и другими. С. Унвер ("Unver) исследовал кратные p-адические дзета-значения глубины два. Таннакиева интерпретация кратных p-адических дзета-значений дана Х. Фурушо. Краткая история и связи между группами Галуа, фундаментальными группами, мотивами и арифметическими функциями представлены в докладе Ю. Ихара. Результаты о кратных дзета-значениях, группах Галуа и геометрии модулярных многообразий представлены Гончаровым. Интересная унипотентная мотивная фундаментальная группа определена и исследована Делинем и Гончаровым. В данной работе мы кратко упоминаем в рамках (p-адических) L-функций и (p-адических) (кратных) дзета-значений применения подходов Куботы-Леопольдта и Ивасавы, которые основанны на p-адических L-функциях Куботы-Леопольда, и арифметических p-адических L-функциях Ивасавы. Прореферирован ряд недавних работ (и соответствующих результатов): кратные дзета-значения в корнях из единицы, построение семейств мотивных итерированных интегралов с предписанными свойствами по Глэносу (Glanois); явные выражения для круговых p-адических кратных дзета-значений глубины два по Унверу (Unver); связи арифметических степеней циклов Кудлы-Рапопорта на интегральной модели многообразия Шимуры, соответствующей унитарной группе сигнатуры (1,1), с коэффициентами Фурье центральных производных рядов Эйзенштейна рода 2 по Санкарану (Sankaran). Более полно с содержанием статьи можно ознакомиться по приводимому ниже оглавлению: Введение. 1. Сравнения типа Вороного для чисел Бернулли. 2. Римановы дзета-значения. 3. О группах классов колец с теорией дивизоров. Мнимые квадратичные и круговые поля. 4. Ряды Эйзенштейна. 5. Группы классов, поля классов и дзета-функции. 6. Кратные дзета-значения. 7. Элементы неархимедовых локальных полей и неархимедова анализа. 8. Итерированные интегралы и (кратные) дзета-значения. 9. Формальные и p-делимые группы. 10. Мотивы и (p-адические) (кратные) дзета-значения. 11. О рядах Эйзенштейна, ассоциированных с многообразиями Шимуры. Разделы 1-9 и подраздел 11.1 (О некоторых многообразиях Шимуры и модулярных формах Зигеля) можно рассматривать как элементарное введение в результаты раздела 10 и подраздела 11.2 (О несобственном пересечении дивизоров Кудлы-Рапопорта и рядах Эйзенштейна).

Я глубоко признателен Н. М. Добровольскому за помощь и поддержку в процессе подготовки статьи к печати.

Для классического потенциала Рисса или дробного интеграла $$I_{\alpha}$$ хорошо известны условия Харди-Литлвуда-Соболева-Стейна-Вейса $$(L^p, L^q)$$ -ограниченности со степенными весами. С помощью преобразования Фурье $$\mathcal{F}$$ потенциал Рисса определяется равенством $$\mathcal{F}(I_{\alpha}f)(y)=|y|^{-\alpha}\mathcal{F}(f)(y)$$. Важным обобщением преобразования Фурье стало преобразование Данкля $$\mathcal{F}_k$$, действующее в лебеговых пространствах с весом Данкля, определяемым с помощью системы корней $$R\subset\mathbb{R}^d$$, ее группы отражений G и неотрицательной функции кратности k на R, инвариантной относительно G. С. Тангавелу и Ю. Шу с помощью равенства $$\mathcal{F}_k(I_{\alpha}f)(y)=|y|^{-\alpha}\mathcal{F}_k(f)(y)$$ определили D-потенциал Рисса. Для D-потенциала Рисса также были доказаны условия ограниченности в лебеговых пространствах с весом Данкля и степенными весами, аналогичные условиям для потенциала Рисса. На конференции "Follow-up Approximation Theory and Function Spaces" в Centre de Recerca Matem`atica (CRM, Barcelona, 2017)  М.Л. Гольдман поставил вопрос об условиях $$(L_p,L_q)$$-ограниченности D-потенциала Рисса с кусочно-степенными весами. Рассмотрение кусочно-степенных весов позволяет выявить влияние на ограниченность D-потенциала Рисса поведения весов в нуле и бесконечности. В настоящей работе на этот вопрос дается полный ответ. В частности,в случае потенциала Рисса получены необходимые и достаточные условия. В качестве вспомогательных результатов доказаны необходимые и достаточные условия ограниченности операторов Харди и Беллмана в лебеговых пространствах с весом Данкля и кусочно-степенными весами.

В работе исследуется дзета-функция $$\zeta(M(p_1,p_2)|\alpha)$$ моноида $$M(p_1,p_2)$$, порожденного простыми числами $$p_1<p_2$$ вида 3n+2. Далее, выделяется основной моноид $$M_{3,1}(p_1,p_2)\subset M(p_1,p_2)$$ и основное множество $$ A_{3,1}(p_1,p_2)= M(p_1,p_2)\setminus M_{3,1}(p_1,p_2).$$ Для соответствующих дзета-функций найдены явные конечные формулы, задающие аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость, кроме счётного множества полюсов. Найдены обратные ряды для этих дзета-функций и функциональные уравнения.
В работе даны определения трём новым типам моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы: моноиды степеней, моноиды Эйлера по модулю q и единичные моноиды по модулю q. Указаны выражение их дзета-функций через эйлеровы произведения.
В работе рассмотрен эффект Дэвенпорта-Хейльбронна для дзета-функций моноидов натуральных чисел, связанный с появлением нулей у дзета-функций слагаемых, получающихся при разбиении на классы вычетов по модулю.
Для моноидов с экспоненциальной последовательностью простых чисел доказана гипотеза о заградительном ряде и показано, что областью голоморфности дзета-функции такого моноида является комплексная полуплоскость справа от мнимой оси.
В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.

В работе для каждого моноида M натуральных чисел определён новый класс периодических функций $$M_s^\alpha$$, который является подклассом известного класса Коробова периодических функций $$E_s^\alpha$$. Относительно нормы $$\|f(\vec{x})\|_{E_s^\alpha}$$ класс $$M_s^\alpha$$ является несепарабельным банаховым подпространством класса $$E_s^\alpha$$.
Установлено, что класс $$M_s^\alpha$$ замкнут относительно действия интегрального оператора Фредгольма и на этом классе разрешимо интегральное уравнение Фредгольма второго рода. В работе получены оценки нормы образа интегрального оператора, которые содержат норму ядра и s-ю степень дзета-функции моноида M. Получены оценки на параметр $$\lambda$$, при которых интегральный оператор $$A_{\lambda,f}$$ является сжатием. Доказана теорема о представлении единственного решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода в виде ряда Неймана.
В работе рассмотрены вопросы решения дифференциального уравнения с частными производными с дифференциальным оператором $$Q\left(\frac{\partial }{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial }{\partial x_s}\right)$$ в пространстве $$M^\alpha_{s}$$, который зависит от арифметических свойств спектра этого оператора.
В работе обнаружен парадоксальный факт, что для моноида $$M_{q,1}$$ чисел сравнимых с 1 по модулю q квадратурная формула с параллелепипедальной сеткой для допустимого набора коэффициентов по модулю q точна на классе $$M_{q,1,s}^\alpha$$. Более того, это утверждение остается верным и для класса $$M_{q,a,s}^\alpha$$ с 1 < a < q, когда q - простое число. Так как функции из класса $$M_{q,a,s}^\alpha$$ с 1 < a < q не имеют нулевого коэффициента Фурье $$C(\vec{0})$$, то при простом q сумма значений функции по узлам соответствующей параллелепипедальной сетки будет нулевой.

В работе для произвольного моноида натуральных чисел строятся основы алгебры рядов Дирихле либо над числовым полем, либо над кольцом целых чисел алгебраического числового поля.
Для любого числового поля $$\mathbb{K}$$ показано, что множество $$\mathbb{D}^*(M)_{\mathbb{K}}$$ всех обратимых рядов Дирихле из $$\mathbb{D}(M)_{\mathbb{K}}$$ является бесконечной абелевой группой, состоящей из рядов, у которых первый коэффициент отличен от нуля.
Вводится понятие целого ряда Дирихле моноида натуральных чисел, которые образуют алгебру над кольцом целых алгебраических чисел $$\mathbb{Z}_\mathbb{K}$$ алгебраического поля $$\mathbb{K}$$. Показано, что для группы $$\mathbb{U}_\mathbb{K}$$ алгебраических единиц кольца целых алгебраических чисел $$\mathbb{Z}_\mathbb{K}$$ алгебраического поля $$\mathbb{K}$$ множество $$\mathbb{D}(M)_{\mathbb{U}_\mathbb{K}}$$ целых рядов Дирихле, у которых $$a(1)\in\mathbb{U}_\mathbb{K}$$, является мультипликативной группой.
Для любого ряда Дирихле из алгебры рядов Дирихле моноида натуральных чисел определены приведенный ряд, необратимая часть и дополнительный ряд. Найдена формула разложения произвольного ряда Дирихле в произведение приведенного ряда и конструкции из необратимой части и дополнительного ряда.
Для любого моноида натуральных чисел выделена алгебра рядов Дирихле, сходящихся на всей комплексной области. Также построена алгебра рядов Дирихле с заданной полуплоскостью абсолютной сходимости. Показано, что для любого нетривиального моноида M и для любого вещественного $$\sigma_0$$ найдется бесконечное множество рядов Дирихле из $$\mathbb{D}(M)$$ таких, что областью их голоморфности является $$\alpha$$-полуплоскость $$\sigma>\sigma_0$$.
С помощью теоремы универсальности С. М. Воронина удалось доказать слабую форму теоремы универсальности для широкого класса дзета-функций моноидов натуральных чисел.
В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования. В частности, если верна гипотеза Линника-Ибрагимова, то для них должна быть справедлива и сильная теорема универсальности.

В настоящей заметке мы получим необходимое и достаточное условие на тройку неотрицательных целых чисел a < b < c при выполнении которого многочлен Нюмена $$\sum_{j=0}^a x^j + \sum_{j=b}^c x^j$$ имеет корень на единичном круге. Изпользуя это условие мы докажем, что для каждого $$d \geq 3$$ существует такое целое положительное число n > d, что многочлен Нюмена $$1+x+\dots+x^{d-2}+x^n$$ длины d не имеет корней на единичном круге.

Абелева группа G называется TI-группой если любое ассоциативное кольцо с аддитивной группой G является филиальным. Абелева группа называется SI-группой ($$SI_H$$-группой), если любое (ассоциативное) кольцо с аддитивной группой G является SI-кольцом (гамильтоновым кольцом). В работе в классе редуцированных алгебраически компактных абелевых групп описаны  TI-группы, а также SI-группы и $$SI_H$$-группы.

Умножение на абелевой группе G - это гомоморфизм $$\mu: G\otimes G\rightarrow G$$. Абелева группа G называется MT-группой, если любое умноженеие на ее периодической части однозначно продолжается до умножения на G. MT-группы изучались во многих работах по теории аддитивных групп колец, но вопрос об их строении остается открытым. В настоящней работе для MT-группы G рассматривается сервантная вполне характеристическая подгруппа $$G^*_\Lambda$$, одно из основных свойств которой заключается в том, что  подгруппа $$\bigcap\limits_{p \in \Lambda (G)}pG^*_\Lambda$$ является ниль-идеалом в любом кольце с аддитивной группой G (здесь $$\Lambda(G)$$ - множество всех простых чисел p, для которых p-примарная компонента группы G отлична от нуля). Показано, что для любой MT-группы G либо $$G=G^*_\Lambda$$, либо факторгруппа $$G/G^*_\Lambda$$ несчетна.

Пусть $$(x_n)_{n \geq 0} $$ - s-мерная последовательность типа Холтона, полученная из глобального функционального поля, $$b \geq 2$$, $$\gamma =(\gamma_1,..., \gamma_s)$$, $$\gamma_i \in [0, 1)$$ с b-адическим разложением $$\gamma_i= \gamma_{i,1}b^{-1}+ \gamma_{i,2}b^{-2}+...$$, $$i=1,...,s$$. В этой статье мы докажем, что $$[0,\gamma_1) \times ...\times [0,\gamma_s)$$ - множество ограниченного остатка относительно последовательности $$(x_n)_{n \geq 0}$$ тогда и только тогда, когда \begin{equation} \nonumber \max_{1 \leq i \leq s} \max \{ j \geq 1 \; | \; \gamma_{i,j} \neq 0 \} < \infty. \end{equation}
Мы также получим аналогичные результаты для обобщенных последовательностей Нидеррайтера, последовательностей Хинга-Нидеррайтера и последовательностей Нидеррайтера-Хинга.

Периодичность и квазипериодичность функциональных непрерывных дробей в гиперэллиптическом поле $$L = \mathbb{Q}(x)(\sqrt{f})$$ имеет более сложную природу, чем периодичность числовых непрерывных дробей элементов квадратичных полей. Известно, что периодичность непрерывной дроби элемента $$\sqrt{f}/h^{g+1}$$, построенной по нормированию, связанному с многочленом h первой степени, эквивалентна наличию нетривиальных S-единиц в поле L рода g и эквивалентна наличию нетривиального кручения в группе классов дивизоров. В данной статье найден точный промежуток значений $$s \in \mathbb{Z}$$ таких, что элементы $$\sqrt{f}/h^s$$ имеют периодическое разложение в непрерывную дробь, где $$f \in \mathbb{Q}[x]$$ - свободный от квадратов многочлен четной степени. Для многочленов f нечетной степени проблема периодичности непрерывных дробей элементов вида $$\sqrt{f}/h^s$$ рассмотрена в статье [5], причем там доказано, что длина квазипериода не превосходит степени фундаментальной S-единицы поля L. Проблема периодичности непрерывных дробей элементов вида $$\sqrt{f}/h^s$$ для многочленов f четной степени является более сложной. Это подчеркивается найденным нами примером многочлена f степени 4, для которого соответствующие непрерывные дроби имеют аномально большую длину периода. Ранее в статье [5] также были найдены примеры непрерывных дробей элементов гиперэллиптического поля L с длиной  квазипериода значительно превосходившей степень фундаментальной S-единицы поля L.

С времен Бора и Йессена (1910-1935) в теории дзета-функций прмменяются вероятностные методы. В 1930 г. они доказали первую теорему для дзета-функции Римана $$\zeta(s), $$ $$s=\sigma+it,$$ которая является прототипом современных предельных теорем, характеризующих поведение дзета-функции при помощи слабой сходимости вероятностных мер. Более точно, они получили, что при $$\sigma>1$$ существует предел $$lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \mathrm{J} \left\{t\in[0,T]: \log\zeta(\sigma+it)\in R\right\},$$ где R - прямоугольник на комплексной плоскости со сторонами, паралельными осям, а $$\mathrm{J}A$$ обозначает меру Жордана множества $$A\subset \mathbb{R}.$$ Два года спустя они распространили приведенный результат на полуплоскость $$\sigma>\frac{1}{2}.$$ Идеи Бора и Йессена были развиты в работах Винтнера, Борщсениуса, Йессена, Сельберга и других известных математиков. Современные версии теорем Бора-Йессена для широкого класса дзета-функций были получены в работах К. Матсумото. В основном теория Бора-Йессена применялась для дзета-функций, имеющих эйлерово произведение по простым числам. В настоящей статье доказывается предельная теорема для дзета-функций, не имеющих эйлерова произведения и являющихся обобщением классичесской дзета-функции Гурвица. Пусть $$\alpha, 0<\alpha \leqslant 1, $$ фиксированный параметр, а $$\mathfrak{a}=\{a_m: m\in \mathbb{N}_0= \mathbb{N}\cup\{0\}\}$$ - периодическая последовательность комплексных чисел. Тогда периодическая дзета-функция Гурвица $$\zeta(s,\alpha; \mathfrak{a})$$ в полуплоскости $$\sigma>1$$ определяется рядом Дирихле $$\zeta(s,\alpha; \mathfrak{a})=\sum_{m=0}^\infty frac{a_m}{(m+\alpha)^s}$$ и мероморфно продолжается на всю комплексную плоскость. Пусть $$\mathcal{B}(\mathbb{C})$$ - борелевское $$\sigma$$-поле комплексной плоскости, $$\mathrm{meas}A$$ - мера Лебега измеримого множества $$A\subset \mathbb{R},$$ а функция $$\varphi(t)$$ при $$ t\geqslant T_0$$ имеет монотонную положительную производную $$\varphi'(t), $$ при $$t\to\infty$$ удовлетворяющую оценкам $$(\varphi'(t))^{-1}=o(t)$$ и $$\varphi(2t) \max_{t\leqslant u\leqslant 2t} (\varphi'(u))^{-1}\ll t. $$ Тогда в статье получено, что при $$\sigma>\frac{1}{2}$$ $$ \frac{1}{T} \mathrm{meas}\left\{t\in[0,T]: \zeta(\sigma+i\varphi(t), \alpha; \mathfrak{a})\in A\right\},\quad A\in \mathcal{B}(\mathbb{C}), $$ при $$T\to\infty$$ слабо сходится к некоторой в явном виде заданной вероятностной мере на $$(\mathbb{C}, \mathcal{B}(\mathbb{C})).$$

В статье рассматривается задача рассеяния звуковых волн абсолютно жестким цилиндром с радиально-неоднородным изотропным упругим покрытием в плоском волноводе. Полагается, что волновод заполнен однородной идеальной жидкостью, одна его граница является абсолютно жесткой, а другая - акустически мягкой, законы неоднородности материала покрытия цилиндра описываются дифференцируемыми функциями, гармоническая звуковая волна возбуждается заданным распределением источников на сечении волновода. В случае установившихся колебаний распространение малых возмущений в идеальной жидкости описывается  уравнением Гельмгольца. Колебания неоднородного изотропного упругого цилиндрического слоя описываются общими уравнениями движения сплошной среды. Для нахождения поля смещений в неоднородном покрытии построена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Первичное поле возмущений  представлено совокупностью собственных волн волновода. Давление рассеянного цилиндрическим телом поля  ищется в виде потенциала простого слоя. Построена функция Грина для уравнения Гельмгольца, удовлетворяющая заданным граничным условиям на стенках волновода и условиям излучения на бесконечности. Функция плотности распределения источников ищется в виде разложения в ряд Фурье. Для нахождения коэффициентов этого разложения получена бесконечная линейная система уравнений. Проведено усечение бесконечной системы и ее решение найдено методом обратной матрицы. Получены аналитические выражения для рассеянного акустического поля в разных областях волновода.

Для периодической арифметической функции с периодом, равным простому числу q, при целых m,n вводится понятие обобщённой суммы Гаусса $$G_f(m)$$ с символом Лежандра $$\left(\frac nq\right)$$: $$ G_f(m)=\sum_{n=1}^{q-1}\left(\frac nq\right)f\left(\frac{mn}q\right). $$ Рассмотрены частные случаи $$f(x)=B_\nu(\{x\}), \nu\geq 1,$$ где $$B_\nu(x)$$ - многочлены Бернулли. В работе используется техника конечных рядов Фурье. Если функция $$f\left(\frac{k}{q}\right)$$ определена в точках $$k=0,1,\ldots,q-1,$$ то её можно разложить в конечный ряд Фурье $$ f\left(\frac{k}{q}\right)=\sum_{m=0}^{q-1}c_me^{2\pi i\frac{mk}{q}}, \quad c_m=\frac{1}{q}\sum_{k=0}^{q-1}f\left(\frac{k}{q}\right)e^{-2\pi i\frac{mk}{q}}. $$ С помощью разложения в конечный ряд Фурье обобщённой суммы Гаусса $$ G_\nu(m)=G_\nu(m;B_\nu)=\sum_{n=1}^{q-1}\left(\frac nq\right)B_\nu{\left(\left\{x+\frac{mn}q\right\}\right)} $$ при $$\nu=1$$ и $$\nu=2$$ найдены новые формулы, выражающие значение символа Лежандра через полные суммы от периодических функций. Это обстоятельство позволяет получить новые аналитические свойства соответствующих рядов Дирихле и арифметических функций, что будет темой следующих работ. В работе обнаружено важное свойство сумм $$G_1$$ и $$G_2,$$ а именно: $$G_1\ne 0,$$ если $$q\equiv 3\pmod 4$$ и $$G_1=0,$$ если $$q\equiv 1\pmod 4;$$ $$G_2= 0,$$ если $$q\equiv 3\pmod 4$$  и $$G_2=\frac 1{q^2}\sum\limits_{n=1}^{q-1}n^2\left(\frac nq\right),$$ если $$q\equiv 1\pmod 4.$$