Весовые неравенства для потенциала Данкля–Рисса
Аннотация
Для классического потенциала Рисса или дробного интеграла $$I_{\alpha}$$ хорошо известны условия Харди-Литлвуда-Соболева-Стейна-Вейса $$(L^p, L^q)$$ -ограниченности со степенными весами. С помощью преобразования Фурье $$\mathcal{F}$$ потенциал Рисса определяется равенством $$\mathcal{F}(I_{\alpha}f)(y)=|y|^{-\alpha}\mathcal{F}(f)(y)$$. Важным обобщением преобразования Фурье стало преобразование Данкля $$\mathcal{F}_k$$, действующее в лебеговых пространствах с весом Данкля, определяемым с помощью системы корней $$R\subset\mathbb{R}^d$$, ее группы отражений G и неотрицательной функции кратности k на R, инвариантной относительно G. С. Тангавелу и Ю. Шу с помощью равенства $$\mathcal{F}_k(I_{\alpha}f)(y)=|y|^{-\alpha}\mathcal{F}_k(f)(y)$$ определили D-потенциал Рисса. Для D-потенциала Рисса также были доказаны условия ограниченности в лебеговых пространствах с весом Данкля и степенными весами, аналогичные условиям для потенциала Рисса. На конференции "Follow-up Approximation Theory and Function Spaces" в Centre de Recerca Matem`atica (CRM, Barcelona, 2017) М.Л. Гольдман поставил вопрос об условиях $$(L_p,L_q)$$-ограниченности D-потенциала Рисса с кусочно-степенными весами. Рассмотрение кусочно-степенных весов позволяет выявить влияние на ограниченность D-потенциала Рисса поведения весов в нуле и бесконечности. В настоящей работе на этот вопрос дается полный ответ. В частности,в случае потенциала Рисса получены необходимые и достаточные условия. В качестве вспомогательных результатов доказаны необходимые и достаточные условия ограниченности операторов Харди и Беллмана в лебеговых пространствах с весом Данкля и кусочно-степенными весами.
Об авторах
Дмитрий Викторович Горбачев
Тульский государственный университет, г. Тула.
Россия
доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики и информатики
Россия
доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики и информатики
Валерий Иванович Иванов
Тульский государственный университет, г. Тула.
Россия
Россия
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики и информатики
Список литературы
1. Frostman O. Potentiel d’equilibre et capacite des ensembles avec quelques applications a la theorie des fonctions. These. Communic. Semin. Math. de l’Univ. de Lund., 1935. Vol. 3.
2. Riesz M. L’integrale de Riemann-Liouville et le probleme de Cauchy // Acta Math. 1949. Vol.81, №1. P. 1–222.
3. Hardy G.H., Littelwood J.E. Some properties of fractional integrals, I // Math. Zeit. 1928. Vol. 27. P. 565–606.
4. Соболев С. Об одной теореме функционального анализа // Матем. сб. 1938. Т. 4(46), №4. С. 471–497.
5. Stein E.M., Weiss G. Fractional integrals on n-dimensional Euclidean space // J. Math. Mech.1958. Vol. 7, №4. P. 503–514.
6. Dunkl C.F. Hankel transforms associated to finite reflections groups // Contemp. Math. 1992.Vol. 138. P. 123–138.
7. Rösler M. Dunkl operators. Theory and applications, in Orthogonal Polynomials and Special Functions. Lecture Notes in Math. Springer-Verlag, 2003. Vol. 1817. P. 93–135.
8. Thangavelu S., Xu Y. Riesz transform and Riesz potentials for Dunkl transform // J. Comput. Appl. Math. 2007. Vol. 199. P. 181–195.
9. Rösler M. Positivity of Dunkl’s intertwinning operator // Duke Math. J. 1999. Vol. 98. P. 445–463.
10. Rösler M. Generalized Hermite polynomials and the heat equation for Dunkl operators // Comm. Math. Phys. 1998. Vol. 192. P. 519–542.
11. Trim`eche K. Paley-Wiener Theorems for the Dunkl transform and Dunkl translation operators // Integral Transform. Spec. Funct. 2002. Vol. 13. P. 17–38.
12. Gorbachev D. V., Ivanov V. I., Tikhonov S. Yu. Positive $L_p$-bounded Dunkl-type generalized translation operator and its applications // Constr. Approx. 2018. P. 1-51. doi.org/10.1007/s00365-018-9435-5
13. Rösler M. A positive radial product formula for the Dunkl kernel // Trans. Amer. Math. Soc. 2003. Vol. 355, №6. P. 2413-2438.
14. Gorbachev D. V., Ivanov V. I., Tikhonov S. Yu. Riesz potential and maximal function for Dunkl transform. Preprint CRM, Barcelona, 2018. №1238. P. 1-28.
15. Hassani S., Mustapha S., Sifi M. Riesz potentials and fractional maximal function for the Dunkl transform // J. Lie Theory. 2009. Vol. 19, №4. P. 725-734.
16. Abdelkefi C., Rachdi M. Some properties of the Riesz potentials in Dunkl analysis // Ricerche Mat. 2015. Vol. 64, №4. P. 195-215.
17. Nowak A., Stempak K. Potential operators associated with Hankel and Hankel-Dunkl transforms // J. d'Analyse Math. 2017. Vol. 131, №1. P. 277-321.
18. De Nápoli P. L., Drelichman I., Dur'{a}n R. G. On weighted inequalities for fractional integrals of radial functions // Illinois J. Math. 2011. Vol. 55. P. 575-587.
19. Duoandikoetxea J. Fractional integrals on radial functions with applications to weighted inequalities // Ann. Mat. Pura Appl. 2013. Vol. 192. P. 553-568.
20. Рубин Б. С. Одномерное представление, обращение и некоторые свойства потенциалов Рисса от радиальных функций // Матем. заметки. 1983. Т. 34, №4. P 521-533.
21. Sinnamon G, Stepanov V. D. The weighted Hardy inequality: new proofs and the case p=1 // J. London Math. Soc. 1996. Vol. 54, №2. P 89-101.
22. Kufner A., Opic B. Xardy-type inequalities. Pitman Research Notes in Mathematics Series. Harlow: Longman Scientific and Technical, 1990. 333 p.
23. Kufner A., Persson L. E. Weighted inequalities of Xardy type. Singopure-London: World Scientific hrblishing Co. Pte. Ltd., 2003. 358 p.
Рецензия
При поддержке: Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 18-11-00199).
Для цитирования:
Горбачев Д.В., Иванов В.И. Весовые неравенства для потенциала Данкля–Рисса. Чебышевский сборник. 2019;20(1):131-147. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-1-131-147
For citation:
Gorbachev D.V., Ivanov V.I. Weighted inequalities for Dunkl–Riesz potential. Chebyshevskii Sbornik. 2019;20(1):131-147. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-1-131-147
Просмотров: 308
Послать статью по эл. почте 