Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Обобщенная предельная теорема для периодической дзета-функции Гурвица

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-1-259-269

Полный текст:

Аннотация

С времен Бора и Йессена (1910-1935) в теории дзета-функций прмменяются вероятностные методы. В 1930 г. они доказали первую теорему для дзета-функции Римана $$\zeta(s), $$ $$s=\sigma+it,$$ которая является прототипом современных предельных теорем, характеризующих поведение дзета-функции при помощи слабой сходимости вероятностных мер. Более точно, они получили, что при $$\sigma>1$$ существует предел $$lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \mathrm{J} \left\{t\in[0,T]: \log\zeta(\sigma+it)\in R\right\},$$ где R - прямоугольник на комплексной плоскости со сторонами, паралельными осям, а $$\mathrm{J}A$$ обозначает меру Жордана множества $$A\subset \mathbb{R}.$$ Два года спустя они распространили приведенный результат на полуплоскость $$\sigma>\frac{1}{2}.$$ Идеи Бора и Йессена были развиты в работах Винтнера, Борщсениуса, Йессена, Сельберга и других известных математиков. Современные версии теорем Бора-Йессена для широкого класса дзета-функций были получены в работах К. Матсумото. В основном теория Бора-Йессена применялась для дзета-функций, имеющих эйлерово произведение по простым числам. В настоящей статье доказывается предельная теорема для дзета-функций, не имеющих эйлерова произведения и являющихся обобщением классичесской дзета-функции Гурвица. Пусть $$\alpha, 0<\alpha \leqslant 1, $$ фиксированный параметр, а $$\mathfrak{a}=\{a_m: m\in \mathbb{N}_0= \mathbb{N}\cup\{0\}\}$$ - периодическая последовательность комплексных чисел. Тогда периодическая дзета-функция Гурвица $$\zeta(s,\alpha; \mathfrak{a})$$ в полуплоскости $$\sigma>1$$ определяется рядом Дирихле $$\zeta(s,\alpha; \mathfrak{a})=\sum_{m=0}^\infty frac{a_m}{(m+\alpha)^s}$$ и мероморфно продолжается на всю комплексную плоскость. Пусть $$\mathcal{B}(\mathbb{C})$$ - борелевское $$\sigma$$-поле комплексной плоскости, $$\mathrm{meas}A$$ - мера Лебега измеримого множества $$A\subset \mathbb{R},$$ а функция $$\varphi(t)$$ при $$ t\geqslant T_0$$ имеет монотонную положительную производную $$\varphi'(t), $$ при $$t\to\infty$$ удовлетворяющую оценкам $$(\varphi'(t))^{-1}=o(t)$$ и $$\varphi(2t) \max_{t\leqslant u\leqslant 2t} (\varphi'(u))^{-1}\ll t. $$ Тогда в статье получено, что при $$\sigma>\frac{1}{2}$$ $$ \frac{1}{T} \mathrm{meas}\left\{t\in[0,T]: \zeta(\sigma+i\varphi(t), \alpha; \mathfrak{a})\in A\right\},\quad A\in \mathcal{B}(\mathbb{C}), $$ при $$T\to\infty$$ слабо сходится к некоторой в явном виде заданной вероятностной мере на $$(\mathbb{C}, \mathcal{B}(\mathbb{C})).$$

Об авторе

Аудроне Римкявичене
Шяуляйская государственная коллегия
Литва

доктор математики, доцент



Список литературы

1. Billingsley P. Convergence of Probability Measures. New York: John Wiley and Sons, 1968.

2. Bohr H., Jessen B. ¨Uber die Wertverteilung der Riemanschen Zetafunktion, Erste Mitteilung // Acta Math. 1930. Vol. 54. P. 1–35.

3. Bohr H., Jessen B. ‘¨Uber die Wertverteilung der Riemanschen Zetafunktion, Zweite Mitteilung // Acta Math. 1932. Vol. 58. P. 1–55.

4. Genien˙e D., Rimkeviˇcien˙e A. A joint limit theorem for periodic Hurwitz zeta-functions with algebraic irrational parameters // Math. Modelling and Analysis. 2013. Vol. 18, no. 1. P. 149–159.

5. Javtokas A., Laurinˇcikas A. On the periodic Hurwitz zeta-function // Hardy-Ramanujan J. 2006. Vol. 29, no. 3. P. 18–36.

6. Laurinˇcikas A. Limit Theorems for the Riemann Zeta-Function. Dordrecht, Boston, London: Kluwer, 1996.

7. Laurinˇcikas A. The joint universality for periodic Hurwitz zeta-functions // Analysis. 2006. Vol. 26, no. 3, P. 419–428.

8. Matsumoto K. Probabilistic value-distribution theory of zeta-functions // Sugaku Expositions. 2004. Vol. 17. P. 51–71.

9. Miseviˇcius G., Rimkeviˇcien˙e A. Joint limit theorems for periodic Hurwitz zeta-functions. II // Annales Univ. Sci. Budapest., Sect. Comp. 2013. Vol. 41. P. 173–185.

10. Rimkeviˇcien˙e A. Limit theorems for the periodic Hurwitz zeta-function // ˇSiauliai Math. Semin. 2010. Vol. 5(13). P. 55–69.

11. Rimkeviˇcien˙e A. Joint limit theorems for the periodic Hurwitz zeta-functions // ˇSiauliai Math. Semin. 2011. Vol. 6(14). P. 53–68.


Для цитирования:


Римкявичене А. Обобщенная предельная теорема для периодической дзета-функции Гурвица. Чебышевский сборник. 2019;20(1):259-269. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-1-259-269

For citation:


Rimkeviciene A. A generalized limit theorem for the periodic Hurwitz zeta-function. Chebyshevskii Sbornik. 2019;20(1):259-269. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-1-259-269

Просмотров: 114


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)