Критерий периодичности непрерывных дробей ключевых элементов гиперэллиптических полей

Аннотация

Периодичность и квазипериодичность функциональных непрерывных дробей в гиперэллиптическом поле $$L = \mathbb{Q}(x)(\sqrt{f})$$ имеет более сложную природу, чем периодичность числовых непрерывных дробей элементов квадратичных полей. Известно, что периодичность непрерывной дроби элемента $$\sqrt{f}/h^{g+1}$$, построенной по нормированию, связанному с многочленом h первой степени, эквивалентна наличию нетривиальных S-единиц в поле L рода g и эквивалентна наличию нетривиального кручения в группе классов дивизоров. В данной статье найден точный промежуток значений $$s \in \mathbb{Z}$$ таких, что элементы $$\sqrt{f}/h^s$$ имеют периодическое разложение в непрерывную дробь, где $$f \in \mathbb{Q}[x]$$ - свободный от квадратов многочлен четной степени. Для многочленов f нечетной степени проблема периодичности непрерывных дробей элементов вида $$\sqrt{f}/h^s$$ рассмотрена в статье [5], причем там доказано, что длина квазипериода не превосходит степени фундаментальной S-единицы поля L. Проблема периодичности непрерывных дробей элементов вида $$\sqrt{f}/h^s$$ для многочленов f четной степени является более сложной. Это подчеркивается найденным нами примером многочлена f степени 4, для которого соответствующие непрерывные дроби имеют аномально большую длину периода. Ранее в статье [5] также были найдены примеры непрерывных дробей элементов гиперэллиптического поля L с длиной  квазипериода значительно превосходившей степень фундаментальной S-единицы поля L.