Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Критерий периодичности непрерывных дробей ключевых элементов гиперэллиптических полей

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-1-246-258

Полный текст:

Аннотация

Периодичность и квазипериодичность функциональных непрерывных дробей в гиперэллиптическом поле $$L = \mathbb{Q}(x)(\sqrt{f})$$ имеет более сложную природу, чем периодичность числовых непрерывных дробей элементов квадратичных полей. Известно, что периодичность непрерывной дроби элемента $$\sqrt{f}/h^{g+1}$$, построенной по нормированию, связанному с многочленом h первой степени, эквивалентна наличию нетривиальных S-единиц в поле L рода g и эквивалентна наличию нетривиального кручения в группе классов дивизоров. В данной статье найден точный промежуток значений $$s \in \mathbb{Z}$$ таких, что элементы $$\sqrt{f}/h^s$$ имеют периодическое разложение в непрерывную дробь, где $$f \in \mathbb{Q}[x]$$ - свободный от квадратов многочлен четной степени. Для многочленов f нечетной степени проблема периодичности непрерывных дробей элементов вида $$\sqrt{f}/h^s$$ рассмотрена в статье [5], причем там доказано, что длина квазипериода не превосходит степени фундаментальной S-единицы поля L. Проблема периодичности непрерывных дробей элементов вида $$\sqrt{f}/h^s$$ для многочленов f четной степени является более сложной. Это подчеркивается найденным нами примером многочлена f степени 4, для которого соответствующие непрерывные дроби имеют аномально большую длину периода. Ранее в статье [5] также были найдены примеры непрерывных дробей элементов гиперэллиптического поля L с длиной  квазипериода значительно превосходившей степень фундаментальной S-единицы поля L.

Об авторах

Владимир Петрович Платонов
Федеральное государственное учреждение «Федеральный научный центр Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук» (ФГУ ФНЦ НИИСИ РАН); Математический институт им. В. А. Стеклова РАН (МИАН), г. Москва.
Россия


Глеб Владимирович Федоров
Федеральное государственное учреждение «Федеральный научный центр Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук» (ФГУ ФНЦ НИИСИ РАН); Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова (МГУ имени М. В. Ломоносова), г. Москва.
Россия

кандидат физико-математических наук



Список литературы

1. Abel N. H. Uber die Integration der Differential-Formel p dx/sqrt(R), wenn R und p ganze Functionen sind // J. Reine Angew. Math. 1826. №1. P. 185–221.

2. Chebychev P. L. Sur l’integration de la differential // J. Math. Pures Appl. 1864. Vol. 2, №9. P. 225–246.

3. Платонов В. П. Теоретико-числовые свойства гиперэллиптических полей и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел // УМН. 2014. Т. 69, №1(415). С. 3–38.

4. Berry, T. G. 1990, “On periodicity of continued fractions in hyperelliptic function fields”, Arch. Math., vol. 55, pp. 259–266.

5. Платонов В. П., Федоров Г. В. О проблеме периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Матем. сб. 2018. Т. 209, №4. С. 54–94.

6. Беняш-Кривец В. В., Платонов В. П. Группы S-единиц в гиперэллиптических полях и непрерывные дроби // Матем. сб. 2009. Т. 200, №1. С. 15–44.

7. Федоров Г. В. Периодические непрерывные дроби и S-единицы с нормированиями второй степени в гиперэллиптических полях // Чебышевский сборник. 2018. Т. 19, №3.

8. Платонов В. П., Федоров Г. В. О периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // ДАН. 2017. Т. 474, №5. С. 540–544.

9. Платонов В. П., Федоров Г. В. О периодичности непрерывных дробей в эллиптических полях // ДАН. 2017. Т. 475, №2. С. 133–136.

10. Платонов В. П., Жгун В. С., Федоров Г. В. Непрерывные дроби в гиперэллиптических полях и многочлены Мамфорда // ДАН. 2016. Т. 471, №6. С. 640–644.

11. Платонов В. П., Петрунин М. М. Группы S-единиц и проблема периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Тр. МИАН. 2018. Т. 302. С. 354–376.

12. Платонов В. П., Петрунин М. М. S-единицы и периодичность в квадратичных функциональных полях // УМН. 2016. Т. 71, №5. С. 181–182.

13. Платонов В.П., Петрунин М. М. S-единицы в гиперэллиптических полях и периодичность непрерывных дробей // ДАН. 2016. Т. 470, №3. С. 260–265.

14. Жгун В. С., Обобщенные якобианы и непрерывные дроби в гиперэллиптических полях // Чебышевский сборник. 2017. Т. 18, №4. С. 208–220.

15. Платонов В. П., Федоров Г. В., S-единицы и периодичность непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // ДАН. 2015. Т. 465, №5. С. 537–541.

16. Kubert D.S., Universal bounds on the torsion of elliptic curves // Proc. London Math.Soc. (3). 1976. Vol. 33, №2. P. 193–237.


Для цитирования:


Платонов В.П., Федоров Г.В. Критерий периодичности непрерывных дробей ключевых элементов гиперэллиптических полей. Чебышевский сборник. 2019;20(1):246-258. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-1-246-258

For citation:


Platonov V.P., Fedorov G.V. The criterion of periodicity of continued fractions of key elements in hyperelliptic fields. Chebyshevskii Sbornik. 2019;20(1):246-258. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-1-246-258

Просмотров: 108


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)