p-адические L-функции и p-адические кратные дзета значения

Статья посвящена памяти Георгия Вороного. Описываются новые избранные результаты о рядах Эйзенштейна, о (мотивных), (p-адических), (кратных) значениях (круговых) дзета и L-функций, и их приложения, полученные ниже перечисляемыми авторами, а также элементарное введение в эти результаты. Дан краткий обзор новых результатов о (мотивных), (p-адических), (кратных) значениях (круговых) дзета функциях, L-функциях и рядах Эйзенштейна. Статья ориентирована на избранные задачи и не является исчерпывающей. Начало статьи содержит краткое изложение результатов о числах Бернулли, связанных с исследованиями Георгия Вороного. Результаты о кратных значениях дзета функций были представлены Д. Загиром, П. Делинем и А. Гончаровым, А. Гончаровым, Ф. Брауном, К. Глэносом (Glanois) и другими. С. Унвер ("Unver) исследовал кратные p-адические дзета-значения глубины два. Таннакиева интерпретация кратных p-адических дзета-значений дана Х. Фурушо. Краткая история и связи между группами Галуа, фундаментальными группами, мотивами и арифметическими функциями представлены в докладе Ю. Ихара. Результаты о кратных дзета-значениях, группах Галуа и геометрии модулярных многообразий представлены Гончаровым. Интересная унипотентная мотивная фундаментальная группа определена и исследована Делинем и Гончаровым. В данной работе мы кратко упоминаем в рамках (p-адических) L-функций и (p-адических) (кратных) дзета-значений применения подходов Куботы-Леопольдта и Ивасавы, которые основанны на p-адических L-функциях Куботы-Леопольда, и арифметических p-адических L-функциях Ивасавы. Прореферирован ряд недавних работ (и соответствующих результатов): кратные дзета-значения в корнях из единицы, построение семейств мотивных итерированных интегралов с предписанными свойствами по Глэносу (Glanois); явные выражения для круговых p-адических кратных дзета-значений глубины два по Унверу (Unver); связи арифметических степеней циклов Кудлы-Рапопорта на интегральной модели многообразия Шимуры, соответствующей унитарной группе сигнатуры (1,1), с коэффициентами Фурье центральных производных рядов Эйзенштейна рода 2 по Санкарану (Sankaran). Более полно с содержанием статьи можно ознакомиться по приводимому ниже оглавлению: Введение. 1. Сравнения типа Вороного для чисел Бернулли. 2. Римановы дзета-значения. 3. О группах классов колец с теорией дивизоров. Мнимые квадратичные и круговые поля. 4. Ряды Эйзенштейна. 5. Группы классов, поля классов и дзета-функции. 6. Кратные дзета-значения. 7. Элементы неархимедовых локальных полей и неархимедова анализа. 8. Итерированные интегралы и (кратные) дзета-значения. 9. Формальные и p-делимые группы. 10. Мотивы и (p-адические) (кратные) дзета-значения. 11. О рядах Эйзенштейна, ассоциированных с многообразиями Шимуры. Разделы 1-9 и подраздел 11.1 (О некоторых многообразиях Шимуры и модулярных формах Зигеля) можно рассматривать как элементарное введение в результаты раздела 10 и подраздела 11.2 (О несобственном пересечении дивизоров Кудлы-Рапопорта и рядах Эйзенштейна).

Я глубоко признателен Н. М. Добровольскому за помощь и поддержку в процессе подготовки статьи к печати.

1. Zagier D. Periods of modular forms, traces of Hecke operators, and multiple $zeta-$values // Research into Automorphic Forms and $L-$functions. Kyoto: Surikaisekikenkyusho Kokyuroku, 843. 1993. P. 162-170.

2. Манин Ю.И. Круговые поля и модулярные кривые // УМН. 1971. Т. 26, вып. 6 (162). C. 7-78.

3. Манин Ю.И. Параболические точки и дзета-функции модулярных кривых // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1972. Т. 36, вып. 1. С. 19-64.

4. Deligne P. Le groupe fondamental de la droite projective moins trois points // Galois Groups over Q (Eds. Ihara et al.). New York: Springer Verlag. 1989. P. 79-297.

5. Deligne P., Goncharov A. Groupes fondamentaux motiviques de Tate mixte // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4). 2005. Vol. 38, no. 1. P. 1-56.

6. Goncharov A. Multiple zeta-values, Galois groups, and geometry of modular varieties // European Congr. of Mathematics. Progr. Math. Vol. I. Barcelona: Birkhauser 2000. P. 361-392.

7. Brown F. Mixed Tate motives over Z // Ann. of Math. 2012. Vol. 175, no. 1. P. 949-976.

8. Glanois C. Motivic unipotent fundamental groupoid of $mathbb{G}_m backslash mu_N$ for $N = 2, 3, 4, 6, 8$ and Galois descents // Journal of Number Theory. 2016. 160. P. 334-384.

9. "Unver S. p-adic multiple zeta values // Journal of Number Theory. 2004. 108. P. 111-156.

10. Furusho H. p-adic multiple zeta values II. Tannakian interpretations // Am. J. Math. 2007. Vol. 129, no. 4. P.1105-1144.

11. "Unver S. ``Cyclotomic $p$-adic multi-zeta values in depth two // Manuscr. Math. 2016. Vol. 149, no. 3-4. P.405-441.

12. Ihara Y. Braids, Galois Groups, and Some Arithmetic Functions // Proc. of the ICM 90 (I). Tokyo Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag.1991. P. 99-120.

13. Kubota K. Leopoldt H.-W. Einep-adische Theorieder Zetawerte. I // J. Reine Angew. Math. 1964. 214/215. P. 328-339.

14. Iwasawa K. Analogies between number fields and function fields // Collected Papers. Vol. II. Tokyo: Springer-Verlag, 2001. P. 606-611.

15. Weber H. Lehrbuch der Algebra. vol. III. Braunschweig: F. Vieweg und Sohn, 1908.

16. Hasse H. Zum Hauptidealsatz der komplexen Multiplikation // Monatshefte fur Math. 1931. 38. P.315-322, 323-330, 331-344.

17. Deuring M. Klassenkorper der komplexen Multiplikation // Enzyklopadie der Math. Wiss. 1961. Bd. 12. Heft 10. Teil II, 23.

18. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985. 510 с.

19. Вороной Г.Ф. Собрание сочинений. Т. I. Киев: Издательство Акад. наук Укр. ССР, 1952. 403 с..

20. Hashimoto M. Equivariant class group. II: Enriched descent theorem // Commun. Algebra. 2017. Vol. 45, no.4. P. 1509-1532.

21. Коблиц Н. $p$-адические числа, $p$-адический анализ и дзета-функции. Ижевск: Бибфизмат, 1997. 192 с.

22. Паршин А.Н. Об одном обобщении якобиева многообразия // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1966. Т. 30, вып. 1. С. 175-182.

23. Chen, K. Iterated path integrals // Bull. Amer. Math. Soc. 1977. 83. P. 831-879.

24. Algebraic Number Theory. Edited by J. Cassels and A. Fr{" o}hlich. London: Academic Press. 2003. 366 p.

25. Hazewinkel M. Formal Groups. NY: Academic Press. 1977. 573 p.

26. Введенский О.Н. О локальных “полях классов” эллиптических кривых // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1973. Т. 37, вып. 1. С. 20-88.

27. Введенский О.Н. О “универсальных нормах” формальных групп, определенных над кольцом локального поля // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1973. Т. 37, вып. 4. С. 737-751.

28. Дринфельд В. Г. О квазитреугольных квазихопфовых алгебрах и одной группе, тесно связанной с $Gal(overline{mathbb{Q}}/mathbb{Q})$ // Алгебра и анализ. 1990. Т. 2, вып. 4. С. 149–181

29. Goncharov A. Galois symmetries of fundamental groupoids and noncommutative geometry // Duke Math. J. 2005. Vol. 128, no. 2. P. 209-284.

30. Deligne P. 2010, ``Le groupe fondamental unipotent motivique de $G_msetminus mu_N$ pour N = 2,3,4,6 or 8 // Publ. Math. IHES, vol. 112, no. 1, pp. 101 - 141.

31. Kudla K. Special cycles and derivatives of Eisenstein series // Math. Sci. Research Institute Publ. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 2004. Vol. 49. P. 243-270.

32. Kudla K., Rapoport M. Special cycles on unitary Shimura varieties II: global theory // J. Reine Angew. Math. 2014. Vol. 697. P. 91-157.

33. Kudla K. Derivatives of Eisenstein Series and Arithmetic Geometry // Proc. of ICM 2002. Vol. II. Beijing: Higher Education Press. 2004. P. 173-183.

34. Kudla K., Rapoport M. Special cycles on unitary Shimura varieties I. Unramified local theory // Invent. math. 2011. Vol. 184. P. 629-682.

35. Harashita, S. Geometry and analysis of automorphic forms of several variables // Proc. Int. Symp. in honor of Takayuki Oda on the occasion of his 60th birthday, Univ. of Tokyo, Tokyo, Japan, September 14-17, 2009. Series on Number Theory and its Applications 7. Hackensack, NJ: World Scientific. 2012. P. 41-55.

36. Hironaka Y. Local Zeta functions on Hermitian forms and its application to local densities // Number Theory. 1998. Vol. 71. P. 40-64.

37. Sankaran S. Improper intersections of Kudla-Rapoport divisors and Eisenstein serie // J. Inst. Math. Jussieu. 2017. Vol. 16, no. 5. P. 899-945.

38. Sankaran S. Unitary cycles on Shimura curves and the Shimura lift I // Documenta Math. 2013. Vol. 18. P. 1403-1464.

39. Глазунов Н.М. Алгорифмы и программы для исследований в диофантовой геометрии // Препринт 73-16. Киев: Инситут кибернетики АН УССР, 1973. 26 с.

40. Glazunov N. Class groups of rings with divisor theory, L-functions and moduli spaces // Int. Conf. Algebraic and geometric methods of analysis. Book of abstracts. Odessa-Kiev: Institute of Math. 2018. С.19-20. Available at: https://www.imath.kiev.ua/~topology/conf/agma2018

41. Glazunov N.M. Class Fields, Riemann Surfaces and (Multiple) Zeta Values // Proc. 3-d Int. Conf. Computer Algebra & Information Technologies. Odessa: I.I. Mechnikov National University, 2018. С.152-154.

42. Glazunov, N. Quadratic forms, algebraic groups and number theory // Чебышевский сборник. 2015. Т.16, вып. 4. С. 77-89.

43. Glazunov, N. Extremal forms and rigidity in arithmetic geometry and in dynamics // Чебышевский сборник. 2015. Т.16, вып. 3. С. 124-146.