Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Обобщённые суммы Гаусса и многочлены Бернулли

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-1-282-291

Полный текст:

Аннотация

Для периодической арифметической функции с периодом, равным простому числу q, при целых m,n вводится понятие обобщённой суммы Гаусса $$G_f(m)$$ с символом Лежандра $$\left(\frac nq\right)$$: $$ G_f(m)=\sum_{n=1}^{q-1}\left(\frac nq\right)f\left(\frac{mn}q\right). $$ Рассмотрены частные случаи $$f(x)=B_\nu(\{x\}), \nu\geq 1,$$ где $$B_\nu(x)$$ - многочлены Бернулли. В работе используется техника конечных рядов Фурье. Если функция $$f\left(\frac{k}{q}\right)$$ определена в точках $$k=0,1,\ldots,q-1,$$ то её можно разложить в конечный ряд Фурье $$ f\left(\frac{k}{q}\right)=\sum_{m=0}^{q-1}c_me^{2\pi i\frac{mk}{q}}, \quad c_m=\frac{1}{q}\sum_{k=0}^{q-1}f\left(\frac{k}{q}\right)e^{-2\pi i\frac{mk}{q}}. $$ С помощью разложения в конечный ряд Фурье обобщённой суммы Гаусса $$ G_\nu(m)=G_\nu(m;B_\nu)=\sum_{n=1}^{q-1}\left(\frac nq\right)B_\nu{\left(\left\{x+\frac{mn}q\right\}\right)} $$ при $$\nu=1$$ и $$\nu=2$$ найдены новые формулы, выражающие значение символа Лежандра через полные суммы от периодических функций. Это обстоятельство позволяет получить новые аналитические свойства соответствующих рядов Дирихле и арифметических функций, что будет темой следующих работ. В работе обнаружено важное свойство сумм $$G_1$$ и $$G_2,$$ а именно: $$G_1\ne 0,$$ если $$q\equiv 3\pmod 4$$ и $$G_1=0,$$ если $$q\equiv 1\pmod 4;$$ $$G_2= 0,$$ если $$q\equiv 3\pmod 4$$  и $$G_2=\frac 1{q^2}\sum\limits_{n=1}^{q-1}n^2\left(\frac nq\right),$$ если $$q\equiv 1\pmod 4.$$

Об авторе

Владимир Николаевич Чубариков

Россия

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математических и компьютерных методов анализа, декан Механико-математического факультета Московского государственного университета имени
М. В. Ломоносова, г. Москва.



Список литературы

1. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел, 2-е изд., Москва, Наука, 1980, 144 с.

2. Hua L.-K. Selected Papers. New York Inc.: Springer Verlag, 1983, pp. 888.

3. Архипов Г. И. Избранные труды. Орел: Изд-во Орловского гос.ун-та, 2013. 464 с.

4. Arkhipov G. I., Chubarikov V. N., Karatsuba A. A. Trigonometric Sums in Number Theory and Analysis. De Gruyter expositions in mathematics; 39. Berlin, New York, 2004. 554 c.

5. Chubarikov,V. N. Azerbaijan-Turkey-Ukrainian Int.Conf.“Mathematical Analysis, Differential Equations and their Applications”. Abstracts.(September 08–13, 2015, Baku—Azerbaijan). Linear arithmetic sums and Gaussian multiplication theorem. 2015, p. 38.

6. Чубариков В. Н. Элементарный вывод оценки полной рациональной арифметической суммы от многочлена // Чебышевский сборник. — 2015. — Т.16, №3(55). — С.452–461.

7. Чубариков В. Н. Показатель сходимости среднего значения полных рациональных арифметических сумм // Чебышевский сборник. — 2015. — Т.16, №4(56). — С.303–318.

8. Чубариков В. Н. Арифметические суммы от значений полинома // Докл. РАН — 2016. — Т.466, №2. — С.152–153.

9. Чубариков В. Н. Полные рациональные арифметические суммы // Вестн. Моск. ун-та. Сер.I, Математика, механика. 2015. №1. С. 60–61.

10. Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. — М.: Изд-во Академии наук СССР, 1959, 979 с.

11. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел.

12. Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., М., 1971,

13. Прахар К. Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967,

14. Xассе Г. Лекции по теории чисел, пер. с нем., М., 1953.

15. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985.

16. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. — М.: Наука, 1967. 376 с.

17. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. (второе издание) / М.: МЦНМО, 2004. 288 с.


Для цитирования:


Чубариков В.Н. Обобщённые суммы Гаусса и многочлены Бернулли. Чебышевский сборник. 2019;20(1):282-291. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-1-282-291

For citation:


Chubarikov V.N. Generalized Gaussian sums and Bernoulli polynomials. Chebyshevskii Sbornik. 2019;20(1):282-291. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-1-282-291

Просмотров: 110


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)