Одна модельная дзета-функция моноида натуральных чисел

Аннотация

В работе исследуется дзета-функция $$\zeta(M(p_1,p_2)|\alpha)$$ моноида $$M(p_1,p_2)$$, порожденного простыми числами $$p_1<p_2$$ вида 3n+2. Далее, выделяется основной моноид $$M_{3,1}(p_1,p_2)\subset M(p_1,p_2)$$ и основное множество $$ A_{3,1}(p_1,p_2)= M(p_1,p_2)\setminus M_{3,1}(p_1,p_2).$$ Для соответствующих дзета-функций найдены явные конечные формулы, задающие аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость, кроме счётного множества полюсов. Найдены обратные ряды для этих дзета-функций и функциональные уравнения.
В работе даны определения трём новым типам моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы: моноиды степеней, моноиды Эйлера по модулю q и единичные моноиды по модулю q. Указаны выражение их дзета-функций через эйлеровы произведения.
В работе рассмотрен эффект Дэвенпорта-Хейльбронна для дзета-функций моноидов натуральных чисел, связанный с появлением нулей у дзета-функций слагаемых, получающихся при разбиении на классы вычетов по модулю.
Для моноидов с экспоненциальной последовательностью простых чисел доказана гипотеза о заградительном ряде и показано, что областью голоморфности дзета-функции такого моноида является комплексная полуплоскость справа от мнимой оси.
В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.