Алгебра рядов Дирихле моноида натуральных чисел

В работе для произвольного моноида натуральных чисел строятся основы алгебры рядов Дирихле либо над числовым полем, либо над кольцом целых чисел алгебраического числового поля.
Для любого числового поля $$\mathbb{K}$$ показано, что множество $$\mathbb{D}^*(M)_{\mathbb{K}}$$ всех обратимых рядов Дирихле из $$\mathbb{D}(M)_{\mathbb{K}}$$ является бесконечной абелевой группой, состоящей из рядов, у которых первый коэффициент отличен от нуля.
Вводится понятие целого ряда Дирихле моноида натуральных чисел, которые образуют алгебру над кольцом целых алгебраических чисел $$\mathbb{Z}_\mathbb{K}$$ алгебраического поля $$\mathbb{K}$$. Показано, что для группы $$\mathbb{U}_\mathbb{K}$$ алгебраических единиц кольца целых алгебраических чисел $$\mathbb{Z}_\mathbb{K}$$ алгебраического поля $$\mathbb{K}$$ множество $$\mathbb{D}(M)_{\mathbb{U}_\mathbb{K}}$$ целых рядов Дирихле, у которых $$a(1)\in\mathbb{U}_\mathbb{K}$$, является мультипликативной группой.
Для любого ряда Дирихле из алгебры рядов Дирихле моноида натуральных чисел определены приведенный ряд, необратимая часть и дополнительный ряд. Найдена формула разложения произвольного ряда Дирихле в произведение приведенного ряда и конструкции из необратимой части и дополнительного ряда.
Для любого моноида натуральных чисел выделена алгебра рядов Дирихле, сходящихся на всей комплексной области. Также построена алгебра рядов Дирихле с заданной полуплоскостью абсолютной сходимости. Показано, что для любого нетривиального моноида M и для любого вещественного $$\sigma_0$$ найдется бесконечное множество рядов Дирихле из $$\mathbb{D}(M)$$ таких, что областью их голоморфности является $$\alpha$$-полуплоскость $$\sigma>\sigma_0$$.
С помощью теоремы универсальности С. М. Воронина удалось доказать слабую форму теоремы универсальности для широкого класса дзета-функций моноидов натуральных чисел.
В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования. В частности, если верна гипотеза Линника-Ибрагимова, то для них должна быть справедлива и сильная теорема универсальности.

1. Воронин С. М. Теорема об "универсальности" дзета-функции Римана // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1975. — Т. 39, №3. — С. 475–486.

2. Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. — М.: Физ-матлит, 1994. — 376 с.

3. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. — М.: Наука, 1968. — 618 с.

4. Демидов С. С., Морозова Е. А., Чубариков В. Н., Реброва И. Ю., Балаба И. Н., Добровольский Н. Н., Добровольский Н. М., Добровольская Л. П., Родионов А. В., Пихтилькова О. А. Теоретико-числовой метод в приближенном анализе // Чебышевский сб. 2017. — Т. 18, вып. 4. — С. 6–85.

5. Н. Н. Добровольский Дзета-функция моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые множители // Чебышевский сб. 2017. Т. 18, вып. 4. С. 187–207.

6. Добровольский Н. Н. О моноидах натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы // Чебышевский сб. 2018. — Т. 19, вып. 1. — С. 79–105.

7. Добровольский Н. Н. Дзета-функция моноидов с заданной абсциссой абсолютной сходимости // Чебышевский сб. 2018. — Т. 19, вып. 2. — С. 142–150.

8. Добровольский Н. Н. Одна модельная дзета-функция моноида натуральных чисел // Чебышевcкий сборник. 2019. — Т. 20, вып. 1, С. 148–163.

9. Добровольский Н. Н., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Балаба И. Н., Реброва И. Ю. Гипотеза о ”заградительном ряде” для дзета-функций моноидов с экспоненциальной последовательностью простых // Чебышевский сб. 2018. — Т. 19, вып. 1. — С. 106–123.

10. Добровольский Н. Н., Калинина А. О., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М. О количестве простых элементов в некоторых моноидах натуральных чисел // Чебышевcкий сборник. 2018. — Т. 19, вып. 2. — С. 123–141.

11. Добровольский Н. Н., Калинина А. О., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М. О моноиде квадратичных вычетов // Чебышевcкий сборник. 2018. — Т. 19, вып. 3. — С. 95–108.

12. Дубицкас А., Мацайтене Р. Некоторые моменты из жизни Антанаса Лауринчикаса: в поисках Универсальности // Чебышевcкий сборник. 2019. — Т. 20, вып. 1, с. 6–45.

13. Лауринчикас А. П., Матсумото К., Стеудинг Й. “Универсальность L-функций, связанных с новыми формами”. Изв. РАН. Сер. матем. — Т. 67, №1 (2003). — С. 83–98; Izv. Math., 67:1 (2003). — P. 77–90.

14. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Мир, 1974. — 188 с.

15. Чудаков Н. Г. Введение в теорию L-функций Дирихле. — М. – Л.: ОГИЗ, 1947. — 204 с.