Получено обобщение одной классической теоремы Шмелькина о полициклических группах. А. Л. Шмелькин доказал, что если G — полицик- лическая группа, то она почти аппроксимируема конечными p-группами для любого простого числа p. Напомним, что группа G называется аппроксимируемой конечными p-группами, если для каждого неединичного элемента a группы G существует гомоморфизм группы G на конечную p-группу, при котором образ элемента a отличен от 1. Группа G назы- вается почти аппроксимируемой конечными p-группами, если она содержит подгруппу конечного индекса, которая аппроксимируема конечными p-группами. Одним из обобщений понятия полициклической группы является по- нятие разрешимой группы конечного ранга. Напомним, что группа G называется группой конечного ранга, если существует целое положительное число r такое, что любая конечно порожденная подгруппа группы G порождается не более чем r элементами. Для разрешимой группы конечного ранга получено следующее необходимое и достаточное условие аппроксимируемости конечными π-группами для подходящего конечного множества π простых чисел. Группа G конечного ранга аппроксимируема конечными π-группами для некоторого конечного множества π простых чисел тогда и только тогда, когда G является редуцированной поли-(циклической, квазициклической, рациональной) группой. Напомним, что группа G называется редуцированной, если в ней нет неединичных полных подгрупп. Группу H мы называем полной, если в ней из любого элемента h можно извлечь корень любой натуральной степени. Доказано, что если разрешимая группа конечного ранга аппроксимируема конечными π-группами для некоторого конечного множества π простых чисел, то она почти аппроксимируема конечными нильпотентными π-группами. Доказано также следующее обобщение сформулированной выше теоремы Шмелькина. Пусть π — фиксированное конечное множество простых чисел. Разрешимая группа G конечного ранга почти аппроксимируема конечными π-группами тогда и только тогда, когда G — редуцированная поли- (циклическая, квазициклическая, рациональная) группа, не содержащая π-полных элементов бесконечного порядка. Напомним, что элемент g группы G называется π-полным, если для каждого π-числа m из элемента g можно извлечь в группе G корень m-й степени.

В работе приводится обзор результатов о строении полупростых конеч- номерных алгебры Хопфа с изоморфными неприводимыми неодномерны- ми представлениями одной размерности. Кроме того, приведены новые результаты о групповых элементах построенных алгебр Хопфа и о строе- нии дуальной алгебры Хопфа.

 

 

Пусть G — конечно порожденная группа Артина с копредставлением G =< a1, ..., an;haiaj i mij = hajaii mji , i, j = 1, n, i 6= j >, где haiaj i mij — слово длины mij , состоящее из mij чередующихся букв ai и aj , i 6= j, mij — число, соответствующее симметрической матрице Кокстера, где mij > 2, i 6= j. Если группе G соответствует конечный связный деревограф Γ такой, что вершинам некоторого ребра e графа Γ соответствуют образующие ai и aj , то ребру e соответствует соотношение вида haiaj i mij = hajaii mji , i 6= j. В этом случае мы имеем группу Артина с древесной струк- турой. Группы Артина с древесной структурой введены В. Н. Безверхним, алгоритмические проблемы в них рассматривались В. Н. Безверхним и О. Ю. Платоновой (Карповой). Группу G можно представить как древесное произведение двупорожденных групп Артина, объединенных по бесконечным циклическим подгруппам. При этом от графа Γ группы G перейдем к графу Γ следующим образом: вершинам графа Γ поставим в соответствие группы Артина на двух образующих Gij =< ai , aj ;haiaj i mij = hajaii mji , i 6= j >, а ребру e, соединяющему вершины, соответствующие Gij и Gjk, — циклическую подгруппу < aj >. В настоящей работе доказывается теорема о свободных подгруппах для групп Артина с древесной структурой: пусть H — конечно порожденная подгруппа группы Артина G с древесной структурой, причем для любого g ∈ G и любой подгруппы Gij , i 6= j, выполнено равенство gHg−1∩Gij = E, то H является свободной. В доказательстве основной теоремы использованы идеи В. Н. Безверхнего о приведении множества образующих подгруппы к специальному.

 

В работе положительно решена проблема сопряженности слов в древесном произведении свободных групп с ассоциированными циклическими подгруппами. Представленный результат является обобщением известного результата С.Липшуца для свободного произведения двух свободных групп с циклическим объединением. При решении основной проблемы доказывается разрешимость проблемы пересечения конечно порожденной подгруппы данного класса групп с циклической подгруппой, принадлежащей сомножителю основной группы, а так же проблема пересечения смежного класса конечно порожденной подгруппы с циклической подгруппой, принадлежащей сомножителю.

 

Множество бинарных отношений, замкнутое относительно некоторой совокупности операций над ними, образует алгебру, называемую алгеброй отношений. Альфред Тарский был первым из математиков, кто начал рассматривать алгебры отношений с точки зрения теории универсальных алгебр. Одним из важных направлений в исследованиях алгебр отношений является изучение их свойств, выраженных в виде тождеств. Это приводит к необходимости изучения многообразий, порожденных различными классами алгебр отношений. Для заданного множества Ω операций над бинарными отношениями обозначим через R{Ω} класс алгебр, изоморфных алгебрам отношений с операциями из Ω. Пусть V ar{Ω} – многообразие, порожденное классом R{Ω}. Как правило, операции над отношениями задаются с помощь формул логики предикатов первого порядка. Такие операции называются логическими. Важным классом логических операций является класс диофантовых операций. Операция называется диофантовой (в другой терминологии – примитивно-позитивной), если она может быть задана с помощью формулы, которая в своей предваренной нормальной форме содержит лишь операцию конъюнкции и кванторы существования. Диофантову операцию назовем атомарной, если она может быть задана с помощью формулы, которая в своей предваренной нормальной форме содержит лишь кванторы существования. Ясно, что такие формулы могут содержать лишь одну атомарную подформулу, и, следовательно, всякая атомарная операция является унарной. Существует девять атомарных диофантовых операций (исключая тождественную). Сосредоточим свое внимание на диофантовой операции умножения отношений ◦ и атомарной операции двойной цилиндрофикации, определяемых следующим образом. Для заданных отношений ρ и σ на множестве U, положим ρ ◦ σ = {(u, v) : (∃w)(u, w) ∈ ρ(w, v) ∈ σ}, ∇(ρ) = {(u, v) : (∃w, z)(w, z) ∈ ρ}. В работе найден базис тождеств многообразия V ar{◦, ∇}: алгебра (A, ·, ∗ ) типа (2, 1) тогда и только тогда принадлежит многооб- разию V ar{◦, ∇}, когда она удовлетворяет тождествам: (xy)z = x(yz), x ∗∗ = x ∗ , (x ∗ ) 2 = x ∗ , x ∗y ∗ = y ∗x ∗ , x ∗ (xy) ∗ = (xy) ∗y ∗ = (xy) ∗ , (xy∗ z) ∗ = x ∗y ∗ z ∗ = x ∗yz, xyz∗ = xyx∗ z ∗ , x ∗yz = x ∗ z ∗yz.

 

Алгебра классов сопряжённости и алгебра двойных смежных классов – классические коммутативные подалгебры групповой алгебры симметри- ческой группы. Структурные константы этих алгебр вызвали значительный интерес у комбинаториков в связи с тем, что они представляют собой число разложений данной перестановки в упорядоченное произведение перестановок с заданной структурой циклов. Несмотря на сходство свойств эти константы обычно изучались отдельно. Для обеих семей структурных констант они равны суммам характеров – неприводимых характеров симметрической группы и зональных сферических функций, двух частных случаев более общей семьи характеров, называемых характерами Джека. Характеры Джека являются коэффициентами в разложении по базису степенных симметрических многочленов симметрических функций Джека, семьи симметрических функций, индексируемых параметром α. Структутные константы алгебры классов соответствуют случаю α = 1 (в этом случае симметрические функции Джека пропорциональны полино- мам Шура). Структурные константы алгебры двойных смежных классов относятся к случаю α = 2 (в этом случае симметрические функции Джека являются зональными полиномами). Структурные константы Джека позволяют рассматривать их с единой точки зрения для произвольного параметра α. Настоящая работа посвящена этим обобщённым коэффициентам и их вычислению. Точнее, мы концентрируем наше внимание на обобщении формулы для числа разложений перестановки с заданной цик- ловой структурой в произведение r транспозиций. Мы пользуемся дей- ствием оператора Лапласа-Белтрами на симметрические функции Джека для доказательства общей формулы и даём более простые её эквиваленты для некоторых значений r.

 

Взаимосвязь структуры абелевой группы со структурой кольца ее эндоморфизмов является классической проблемой в теории абелевых групп. В частности, Бэром и Капланским было доказано, что если группы A и B — периодические, то группа A изоморфна группе B тогда и только тогда, когда их кольца эндоморфизмов изоморфны. В более общем случае, когда группы A и B смешанные или без кручения, теорема Бэра- Капланского не имеет места. В данной статье рассматривается класс p-локальных абелевых групп без кручения конечного ранга. Пусть K — поле такое, что Q ⊂ K ⊂ Qbp и пусть R = K ∩ Zbp, где Q — поле рациональных чисел, Zbp — кольцо целых p-адических чисел, Qbp — поле p-адических чисел. Поле K назы- вается полем расщепления (кольцо R называется кольцом расщепления) для p-локальной редуцированной абелевой группы без кручения конечно- го ранга или, что A является K-разложимой группой, если A ⊗Zp R является прямой суммой делимого R-модуля и свободного R-модуля. В работе охарактеризованы p-локальные абелевы группы без кручения конечного ранга с квадратичным полем расщепления. В качестве применения доказано, что K-разложимые p-локальные абелевы группы без кручения A и B изоморфны в том и только в том случае, если изоморфны их кольца эндоморфизмов.

 

Определение n-арной группы получается из определения группы заменой ассоциативной и обратимой бинарной операции на ассоциативную и обратимую на каждом месте n-арную операцию. В данной статье изучается связь между порождающими множествами n-арной группы и порождающими множествами группы, к которой при- водима данная n-арная группа согласно теореме Поста-Глускина-Хоссу. В первой части статьи описывается процесс, который позволяет, зная порождающее множество группы, к которой приводима данная n-арная группа в соответствии с указанной теоремой, находить порождающее мно- жество самой n-арной группы. Доказано, что если группа hA, ◦ai, получен- ная с помощью элемента a из n-арной группы hA, [ ]i по теореме Поста- Глускина-Хоссу, порождается множеством M, то n-арная группа hA, [ ]i порождается множеством M ∪ {a}. n-Арная группа hA, [ ]i называется производной от группы A, если [a1a2 . . . an] = a1a2 . . . an для любых a1, a2, . . . , an ∈ A. Найдены условия, при выполнении которых порождающие множества группы и n-арной группы, производной от этой группы, совпадают. Доказано, что n-арная группа hA, [ ]i, производная от группы hA, ◦i с единицей e и порождающим множеством M, также порождается множеством M, если c1 ◦ c2 ◦ . . . ◦ cm(n−1)+1 = e для некоторых c1, c2, . . . , cm(n−1)+1 ∈ M, m > 1. Отсюда выводится след- ствие: n-арная группа hA, [ ]i, производная от группы hA, ◦i конечного периода m(n − 1) + 1 > 3 с порождающим множеством M, также порождается множеством M. В частности, n-арная группа hA, [ ]i, производная от циклической группы hA, ◦i порядка m(n − 1) + 1 > 3, является цикли- ческой и порождается тем же элементом, что и группа hA, ◦i. Приведены несколько примеров нахождения порождающих множеств для n-арных групп. Во второй части статьи изучается обратная задача нахождения порождающих множеств бинарных групп, если известны порождающие множе- ства n-арных групп, из которых данные бинарные группы получаются (согласно теореме Поста-Глускина-Хоссу). Доказано, что группа hA, ◦ai, полученная с помощью элемента a из n-арной группы hA, [ ]i с порождающим множеством M, порождается множеством M ∪ {d = [a . . . a | {z } n ]}, если для автоморфизма β(x) = [axa a . . . a ¯ | {z } n−3 ] группы hA, ◦ai выполнено условие Mβ = {[aMa a . . . a ¯ | {z } n−3 ]} ⊆ M. (1) Из этого имеем следствие: пусть n-арная группа hA, [ ]i порождается мно- жеством M, удовлетворяющим (1) для некоторого a ∈ M. Тогда: 1) группа hA, ◦ai порождается множеством (M{a}) ∪ {d}; 2) если a – идемпотент в hA, [ ]i, то группа hA, ◦ai порождается множе- ством M{a}. В конце работы описаны порождающие множества бинарных групп hA, ◦ai, найденные исходя из известных порождающих множеств n-арных групп hA, [ ]i с непустым центром Z(A).

 

Титсом доказано, что для любой конечно порожденной линейной группы G справедливо утверждение: либо группа G содержит подгруппу, изоморфную свободной группе F2 ранга 2, либо группа G почти разрешима. Это привело к понятию альтернатива Титса для класса групп: для класса групп C выполняется альтернатива Титса, если для произ- вольной группы G из этого класса справедливо утверждение: либо группа G почти разрешима, либо она содержит подгруппу, изоморфную свобод- ной группе F2 ранга 2. Изучению классов групп, для которых справедлива альтернатива Титса, посвящен ряд работ. Альтернатива Титса связана со следующим вопросом, достаточно давно и независимо изучавшимся в комбинаторной теории групп: для каких классов групп справедливо утверждение: для произвольной группы G из этого класса справедлива альтернатива: либо на группе G выполняется нетривиальное тождество, либо она содержит подгруппу, изоморфную свободной группе F2 ранга 2. Для подгрупп групп с одним определяющим соотношением последний вопрос полностью исследован в работах Д. И. Молдаванского, А. А. Че- ботаря, А. Карраса и Д. Солитэра. Для групп, удовлетворяющих условиям малого сокращения, рассмат- риваемый вопрос изучен в работах В. П. Классена при описании подгрупп этих групп. В известной монографии Р. Линдона и П. Шуппа дано полное описание абелевых подгрупп произвольных F-групп. В настоящей работе усиливается этот результат: дается описание подгрупп F-групп, на которых выполняется нетривиальное тождество и устанавливается справедливость альтернативы Титса для подгрупп F-групп. Более точно, доказывается, что для подгрупп фуксовых групп выполняется усиленный вариант альтернативы Титса: произвольная подгруппа H фуксовой группы либо является разреши- мой ступени 6 3 или знакопеременной группой A(5), либо H содержит подгруппу, изоморфную свободной группе ранга 2, на подгруппе H произвольной фуксовой группы G не выполняется нетривиальное тождество тогда и только тогда, когда H содержит подгруппу, изоморфную свободной группе ранга 2.

 

В статье полученно, что линейная комбинация периодической дзета- функции и периодической дзета-функции Гурвица и более общие комбинации этих функций имеют бесконечно много нулей, лежащих в правой стороне критической полосы.

 

Оценки снизу меры иррациональности логарифмов рациональных чисел рассматривались многими зарубежными авторами: М. Вальдшмидт [1], А. Бейкер и Д. Вустольц [2], A. Хеймонен, Т. Матала-ахо, К. Ваананен [3], К. Ву [4], Д. Рин [5] и П. Тоффин [6]. В своих работах они применя- ли различные интегральные конструкции, дающие малые линейные фор- мы от логарифмов и других чисел, вычисляли асимптотику интегралов и коэффициентов линейных форм с помощью метода перевала, теоремы Лапласа, оценивали знаменатель коэффициентов линейных форм с исполь- зованием различных схем "сокращения простых чисел". Обзор некоторых методов из теории диофантовых приближений логарифмов рациональных чисел того времени был представлен в 2004 году в статье В. В. Зудилина [7]. Затем В. Х. Салихов в работе [8], основываясь на тех же асимптоти- ческих методах, но использовав новый вид интегральной конструкции, обладающей свойством симметрии, значительно улучшил оценку меры иррациональности числа log 3. Впоследствии В. Х. Салихову, благодаря использованию уже комплексного симметризованного интеграла, удалось улучшить оценку меры иррациональности числа π [9]. В дальнейшем данный метод (применительно к диофантовым приближениям логарифмов рациональных чисел) получил развитие в работах его учеников: Е. С. Зо- лотухиной [10, 11], М. Ю. Лучина [12, 13], E. Б. Томашевской [14]. Это привело к улучшению оценок мер иррациональности целого ряда чисел: µ(log (5/3)) 6 5.512... [14], µ(log (8/5)) < 5.9897 [12], µ(log (7/5)) 6 4.865... [14], µ(log (9/7)) 6 3.6455... [10], µ(log (7/4)) < 8.1004 [13]. В данной работе с помощью симметризованного вещественного инте- грала получена новая оценка меры иррациональности числа τ = log (37/30), µ(τ ) < 65.3358. Впервые оценку меры иррациональности числа log(37/30) получили в 1993 году А. Хеймонен, Т. Матала-ахо и К. Ваананен [1]. В своей работе они вывели общий критерий, позволяющий оценить меру иррациональности чисел вида log(1 − (r/s)), где r/s ∈ [−1, 1) (r, s ∈ N). В качестве примера, они привели таблицу с полученными оценками при отдельных значениях r/s. Одним из приведенных значений было число r/s = −7/30, которое и давало следующую оценку: µ(log(37/30)) 6 619.5803.... Отметим также, что для получения новой оценки оптимальные пара- метры интегральной конструкции вычислялись с помощью разработанной автором компьютерной программы, использующей вычисления Mathcad.

Пусть Fn, n > 2 есть свободная группа, порожденная n буквами x1, . . . , . . . , xn и Aut(Fn) — группа автоморфизмов Fn. Рассматриваются некото- рые подгруппы группы Aut(Fn). Сначала исследуется группа палиндромических автоморфизмов ПA(Fn). Эта группа впервые была определена Коллинзом в [1] и связана с конгруэнц-подгруппами в SL(n,Z) и группой симметрических автоморфизмов свободной группы. Вычисляется центр группы палиндромических автоморфизмов. Для этого используется комбинаторика слов группы Fn. Вторая тема статьи связана с точностью линейного представления группы элементарных палиндромических автоморфизмов EПA(Fn). Показывается, что некоторое конкретное представление нелинейно. Для этого используется подгруппа IA(Fn) группы Aut(Fn) [15].

Развитие ассиметричной криптографии началось с появления разработки первой рюкзачной системы защиты информации, когда в 1978 го- ду Ральф Меркель и Мартин Хеллман предложили использовать разные ключи для прямого и обратного преобразования данных при шифровании. Это была одна из первых криптосистем с открытым ключом, но она оказалась криптографически нестойкой. Позже Ади Шамир показал, что система Меркля-Хеллмана является ненадежной, и на данный момент эта модель, как и многие, основанные на ней были скомпрометированы. Как следствие, авторитет рюкзачных систем защиты информации был зани- жен. Тем не менее, некоторые из них, до сих пор считаются стойкими, например, модель, предложенная в 1988 году Беном Шором и Рональ- дом Ривестом. Несмотря на это попытки ее усовершенствования до сих пор не прекращаются, о чем свидетельствуют цикл работ Осипяна В.О. и других авторов. Более полный обзор работ в области анализа системы Меркля-Хеллмана и ее развития дан Б. Шнайером. Отметим особо, что все нестандартные задачи о рюкзаках KG (обобщенная задача), KU (уни- версальная или суперобобщенная задача), KF (функциональная задача), впервые сформулированные и введенные Осипяном В.О., принадлежат классу NP-полных задач. В данной работе обоснованы диофантовы трудности, возникающие при поиске уязвимостей в указанных системах защиты информации. На основе анализа ранее предложенных рюкзачных моделей выявлены качественные особенности нестандартных рюкзачных систем, повышающие их стойкость к известным атакам. Предлагается математическая модель полиалфавитной криптосистемы, в которой алгоритм обратного преобразования закрытого текста сводится к алгоритмически неразрешимой проблеме для аналитика. В статье красной нитью проходит идея К. Шеннона, который считал, что наибольшей неопределённостью при подборе ключей обладают криптосистемы, содержащие диофантовы трудности.

 

Статья представляет собой обзор свойств многообразия левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница и его подмногообразий. Характеристика основного поля на протяжении всей работы предполагается равной нулю. Алгеброй Лейбница над некоторым полем называется линейная алгебра над этим полем, удовлетворяющая так называемому тождеству Лейбница (xy)z ≡ (xz)y + x(yz), которое превращает правое умножение на элемент алгебры в дифференцирование этой алгебры. Поскольку тождество Лейбница по модулю антикоммутативности эквива- лентно тождеству Якоби, то, очевидно, что алгебры Лейбница являются обобщением понятия алгебр Ли. Многообразие 3N определяется тождеством x(y(zt)) ≡ 0 и обладает рядом экстремальных свойств (свойства, которыми обладает любое его собственное подмногообразие, в то время как само многообразие ими не обладает). В силу нулевой характеристики основного поля любое тождественное соотношение эквивалентно системе полилинейных тождеств, что позволяет, использовать хорошо развитую теорию представлений симметрической группы. Кроме использования классических результатов структурной теории колец и линейных алгебр, теории представлений, а также структурной теории многообразий ассоциативных алгебр, использование оригинальных комбинаторных и асимптотических рассуждений с применением тождеств, диаграмм Юнга позволили получить следующие результаты: многообразие 3N имеет почти экспоненциальный рост, почти полиномиальный рост кодлины, почти конечные кратности. Кроме того, данное многообразие является многообразием почти ассоциативного типа, то есть кохарактер любого его собственного подмногообразия лежит в крюке. В данной работе рассматриваются также свойства подмногообразий многообразия 3N: проводится описание полного списка подмногообразий почти полиномиального роста; доказывается целочисленность экспоненты любого собственного подмногообразия многообразия 3N.

 

Числа Белла B(s), как известно, определяют количество разбиений s-элементного множества на классы и с увеличением s имеют экспоненциальный рост. Поэтому становится актуальным исследование асимптотики s >> 1 последовательности {B(s)} чисел Белла B(s), например, в связи с решением следующей комбинаторной задачи. Пусть имеется дискрет- ное пространство элементарных событий, содержащее s точек с заданным законом распределения вероятностей p1; . . . ; ps, p1 + . . . + ps = 1. На кон- фигурациях разбиений следует определить такое разбиение, при котором достигается минимум информационной энтропии по К. Шеннону. С этой задачей сталкиваются при оптимизации блочного управления сложными кибернетическими системами самого разного назначения. В представленной работе установлены некоторые асимптотические свойства последовательности чисел Белла {B(s)}. Основной результат ра- боты представляет соотношение: lims→∞ B(s)B(s + 2) B2 (s + 1) = 1, где B(s); B(s+1); B(s + 2) — числа Белла с номерами s; s + 1; s + 2. Этот результат пока- зывает, что асимптотически последовательность чисел Белла ведет себя как геометрическая прогрессия со знаменателем x∗ = B(s + 1)/B(s). В рамках аддитивного представления чисел Белла с помощью чисел Стир- линга установлена асимптотика B(s) St(s; n∗) (n ∗ ) s/(n ∗ )!, где n∗ = [x∗]. Таким образом, установлен новый класс последовательностей, топология которых характеризуется асимптотикой в виде геометрической прогрес- сии. Этот фактор используется для оптимизации управления системными объектами.

 

Пусть α ∈ (0; 1) – иррационально. Задачи о распределении дробных долей {iα} на интервале (0; 1) являются классическими задачами теории чисел. В частности, со времен Г. Вейля, доказавшего равномерную распределенность данной последовательности по модулю 1, активно рассматриваются различные оценки для остаточного члена асимптотической формулы для числа точек данной последовательности, попавших в заданный интервал. Другой круг вопросов связан с знаменитой теоремой о трех длинах (гипотезой Штейнгауза), утверждающей что разбиение единичного отрезка, порожденное точками рассматриваемой последовательности, состоит из отрезков двух или трех различных длин, причем в последнем случае длина наибольшего отрезка в точности равна сумме длин двух оставшихся. Изучение геометрии получаемых разбиений оказалось тесно связанным с отображениями первого возвращения для поворота окружности, проблемой Гекке-Кестена о множествах ограниченного остатка, комбинаторикой последовательностей Штурма, динамикой двухцветных поворотов окружности и рядом других задач. Настоящая работа посвящена комбинаторным свойствам последовательности {iα}, а именно перестановкам πα,n, порожденным точками {iα}, 1 6 i 6 n. Доказано, что данные перестановки находятся во взаимнооднозначном соответствии с интервалами разбиения Фарея порядка n, то есть разбиением отрезка [0; 1], порожденным несократимыми рациональными дробями вида a b со знаменателем 0 < b 6 n. Доказательство основано на одной теореме В. Т. Шош, позволяющей вычислить всю перестановку πα,n через πα,n(1) и πα,n(n). Также используется тот факт, что концы интервалов разбиения Фарея совпадают с точками разрыва функций {kα}−{lα}. В качестве приложения показано, что среди перестановок πα,n при фиксированном n имеется ровно 1 + Pn k=2 ϕ(k) различных. Еще один результат утверждает, что перестановка πα,n однозначно определяет перестановки πα,m с n < m < πα,n(1)+πα,n(n) и не определяет однозначно перестановку πα,m с m = πα,n(1) + πα,n(n).