О СВОБОДНЫХ ПОДГРУППАХ В ГРУППАХ АРТИНА С ДРЕВЕСНОЙ СТРУКТУРОЙ

Аннотация

Пусть G — конечно порожденная группа Артина с копредставлением G =< a1, ..., an;haiaj i mij = hajaii mji , i, j = 1, n, i 6= j >, где haiaj i mij — слово длины mij , состоящее из mij чередующихся букв ai и aj , i 6= j, mij — число, соответствующее симметрической матрице Кокстера, где mij > 2, i 6= j. Если группе G соответствует конечный связный деревограф Γ такой, что вершинам некоторого ребра e графа Γ соответствуют образующие ai и aj , то ребру e соответствует соотношение вида haiaj i mij = hajaii mji , i 6= j. В этом случае мы имеем группу Артина с древесной струк- турой. Группы Артина с древесной структурой введены В. Н. Безверхним, алгоритмические проблемы в них рассматривались В. Н. Безверхним и О. Ю. Платоновой (Карповой). Группу G можно представить как древесное произведение двупорожденных групп Артина, объединенных по бесконечным циклическим подгруппам. При этом от графа Γ группы G перейдем к графу Γ следующим образом: вершинам графа Γ поставим в соответствие группы Артина на двух образующих Gij =< ai , aj ;haiaj i mij = hajaii mji , i 6= j >, а ребру e, соединяющему вершины, соответствующие Gij и Gjk, — циклическую подгруппу < aj >. В настоящей работе доказывается теорема о свободных подгруппах для групп Артина с древесной структурой: пусть H — конечно порожденная подгруппа группы Артина G с древесной структурой, причем для любого g ∈ G и любой подгруппы Gij , i 6= j, выполнено равенство gHg−1∩Gij = E, то H является свободной. В доказательстве основной теоремы использованы идеи В. Н. Безверхнего о приведении множества образующих подгруппы к специальному.