О МНОГООБРАЗИИ 3N АЛГЕБР ЛЕЙБНИЦА И ЕГО ПОДМНОГООБРАЗИЯХ

Статья представляет собой обзор свойств многообразия левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница и его подмногообразий. Характеристика основного поля на протяжении всей работы предполагается равной нулю. Алгеброй Лейбница над некоторым полем называется линейная алгебра над этим полем, удовлетворяющая так называемому тождеству Лейбница (xy)z ≡ (xz)y + x(yz), которое превращает правое умножение на элемент алгебры в дифференцирование этой алгебры. Поскольку тождество Лейбница по модулю антикоммутативности эквива- лентно тождеству Якоби, то, очевидно, что алгебры Лейбница являются обобщением понятия алгебр Ли. Многообразие 3N определяется тождеством x(y(zt)) ≡ 0 и обладает рядом экстремальных свойств (свойства, которыми обладает любое его собственное подмногообразие, в то время как само многообразие ими не обладает). В силу нулевой характеристики основного поля любое тождественное соотношение эквивалентно системе полилинейных тождеств, что позволяет, использовать хорошо развитую теорию представлений симметрической группы. Кроме использования классических результатов структурной теории колец и линейных алгебр, теории представлений, а также структурной теории многообразий ассоциативных алгебр, использование оригинальных комбинаторных и асимптотических рассуждений с применением тождеств, диаграмм Юнга позволили получить следующие результаты: многообразие 3N имеет почти экспоненциальный рост, почти полиномиальный рост кодлины, почти конечные кратности. Кроме того, данное многообразие является многообразием почти ассоциативного типа, то есть кохарактер любого его собственного подмногообразия лежит в крюке. В данной работе рассматриваются также свойства подмногообразий многообразия 3N: проводится описание полного списка подмногообразий почти полиномиального роста; доказывается целочисленность экспоненты любого собственного подмногообразия многообразия 3N.

1. Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985.

2. Блох А. М. Об одном обощении понятия алгебры Ли // Доклады академии наук СССР. 1965. Вып. 18, №3. С.471–473.

3. Мальцев А. И. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями // Мат. сб., 1950. Т. 26, №1. C. 19–33.

4. Abanina, L. E., Mishchenko S. P. The variety of Leibniz algebras defined by the identity x(y(zt)) ≡ 0 // Sedrica Math. J. 2003. №3. P.291–300.

5. Абанина Л. Е., Рацеев С. М. Многообразие алгебр Лейбница, связанное со стандартными тождествами // Вестник Самарского государственного университета. 2005. №6. С. 36–50.

6. Абанина Л. Е., Мищенко С. П. Некоторые многообразия алгебр Лейбница // Математические методы и приложения: труды девятых математических чтений. МГСУ. М.: "Союз" , 2002. С.95–99.

7. Мищенко С. П., Шишкина Т. В. О многообразиях алгебр Лейбница почти полиномиального роста с тождеством x(y(zt)) ≡ 0 // Вестник Московского государственного университета. Cер. 1, Математика. Механика. 2010. №3. С. 18-23.

8. Higgins P. J. Lie rings satisfying the Engel condition // Proc. Cambr. Philos. Soc. 1954. Vol. 50, №1. P. 8–15.

9. Мищенко С. П. Цветные диаграммы Юнга // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1993. №1. C. 90–91.

10. Мищенко С. П., Череватенко О. И. Необходимые и достаточные условия полиномиальности роста многообразия алгебр Лейбница // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Вып. 12, № 8. С.207–215.

11. Фролова Ю. Ю. Проблемы бернсайдовского типа для алгебр Лейбница: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Ульяновск, 2011. 85 с.

12. Mishchenko S. P., Petrogradsky V. M., Regev A. Poisson PI algebras // Transactions of the American Mathematical Society. 2007. Vol. 359, №10. P.4669–4694.

13. Зайцев М. В., Мищенко С. П. Новое экстремальное свойство многообразия алгебр Ли AN2 // Вествник МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 1999. №5. С.18–23.

14. Шишкина Т. В. О целочисленности экспоненты подмногообразий многообразия 3N // Ученые записки Ульяновского Гос. Ун-та. Сер. Математика и информационные технологии. 2011. С. 18–23.

15. Giambruno A., Mishchenko S. , Zaicev M. Codimensions of Algebras and Growth Functions // Advances of mathematics. 2008. №217. P.1027–1052.

16. Giambruno A., Zaicev M. V. Exponential codimension growth of PI algebras: an exact estimate // Adv. Math. 1999. Vol. 142. P.221–243.

17. Giambruno A., Zaicev M. V. On codimension growth of finitely generated associative algebras // Adv. Math. 1998. Vol. 140. P.145–155.

18. Mishchenko, S. P., Zaicev M. V. An example of a variety of Lie algebras with a fractional exponent // Algebra, 11. J. Math. Sci. New York, 1993. №6. P.977– 982.