Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

ДРОБИ ФАРЕЯ И ПЕРЕСТАНОВКИ, ПОРОЖДЕННЫЕ ДРОБНЫМИ ДОЛЯМИ {iα}

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2014-15-1-195-203

Полный текст:

Аннотация

Пусть α ∈ (0; 1) – иррационально. Задачи о распределении дробных долей {iα} на интервале (0; 1) являются классическими задачами теории чисел. В частности, со времен Г. Вейля, доказавшего равномерную распределенность данной последовательности по модулю 1, активно рассматриваются различные оценки для остаточного члена асимптотической формулы для числа точек данной последовательности, попавших в заданный интервал. Другой круг вопросов связан с знаменитой теоремой о трех длинах (гипотезой Штейнгауза), утверждающей что разбиение единичного отрезка, порожденное точками рассматриваемой последовательности, состоит из отрезков двух или трех различных длин, причем в последнем случае длина наибольшего отрезка в точности равна сумме длин двух оставшихся. Изучение геометрии получаемых разбиений оказалось тесно связанным с отображениями первого возвращения для поворота окружности, проблемой Гекке-Кестена о множествах ограниченного остатка, комбинаторикой последовательностей Штурма, динамикой двухцветных поворотов окружности и рядом других задач. Настоящая работа посвящена комбинаторным свойствам последовательности {iα}, а именно перестановкам πα,n, порожденным точками {iα}, 1 6 i 6 n. Доказано, что данные перестановки находятся во взаимнооднозначном соответствии с интервалами разбиения Фарея порядка n, то есть разбиением отрезка [0; 1], порожденным несократимыми рациональными дробями вида a b со знаменателем 0 < b 6 n. Доказательство основано на одной теореме В. Т. Шош, позволяющей вычислить всю перестановку πα,n через πα,n(1) и πα,n(n). Также используется тот факт, что концы интервалов разбиения Фарея совпадают с точками разрыва функций {kα}−{lα}. В качестве приложения показано, что среди перестановок πα,n при фиксированном n имеется ровно 1 + Pn k=2 ϕ(k) различных. Еще один результат утверждает, что перестановка πα,n однозначно определяет перестановки πα,m с n < m < πα,n(1)+πα,n(n) и не определяет однозначно перестановку πα,m с m = πα,n(1) + πα,n(n).

 

Об авторе

А. В. Шутов
Владимирский Государственный Университет
Россия


Список литературы

1. Бухштаб А. А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966.

2. Журавлев В. Г. Двухцветные повороты единичной окружности // Изв. РАН. Сер. Мат. 2009. Т. 73, вып. 1. С. 79–120.

3. Журавлев В. Г. Одномерные разбиения Фибоначчи // Изв. РАН. Сер. Мат. 2007. Т. 71, вып. 2. С. 89–122.

4. Мануйлов Н. Н., Шутов А. В. Глобальный порядок разбиения окружности // "Молодеж. Образование. Экономика" : сборник научных статей участников 5-ой Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и студентов. (4 мая 2004). Ярославль: Изд. Ремдер. 2004. С. 314–320.

5. Мартынов А. В. Отношение порядка диофантового типа // Чебышевский сборник. 2001. Т. 2 С. 61–72.

6. Шутов А. В. Неоднородные диофантовы приближения и распределение дробных долей // Фундаментальная и прикладная математика. 2010. Т. 16, вып. 6. С. 189–202.

7. Шутов А. В. О распределении дробных долей // Чебышевский сборник. 2004. Т. 5, вып. 3. С. 112–121.

8. Шутов А. В. О распределении дробных долей II // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. : Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Из-во Саратовского Университета. 2005. Вып 3. С. 146–158.

9. Щутов А. В. Последовательности штурма: графы Рози и форсинг // Чебышевский сборник. 2007. Т. 8, вып. 2. С. 128–139.

10. Шутов А. В. Производные поворотов окружности и подобие орбит // Записки научных семинаров ПОМИ. 2004. Т. 314. С. 272–284.

11. Шутов А. В. Системы счисления и множества ограниченного остатка // Чебышевский сборник. 2006. Т. 7, вып. 3. С. 110–128.

12. Alessandri P., Berthe V. Three distance theorems and combinatorics on words // L’Enseignement Mathematique. 1998. Vol. 44. P. 103–132.

13. Baxa C. Comparing the distribution of (nα)-sequences // Acta Arithmetica. 2002. Vol. 94 P. 345–363.

14. Behnke H. Zur Theorie der diophantischen Approximationen I // Abh. Math. Sem. Hamburg. 1924. Vol. 3. P. 261–318.

15. Boyd D. W., Steele J. M. Monotone subsequences in the sequence of fractional parts of multiplies of ann irrational. // J. Reine Angew. Math. 1979. №306. P. 49=-59.

16. O’Bryant K., Sturmian Words and the Permutation that Orders Fractional Parts // Journal of Algebraic combinatoric. 2004. Vol. 19. №1. P. 91–115.

17. Farey J., On a Curious Property of Vulgar Fractions // London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. 1816. Vol. 47. P. 385.

18. Hardy G. H., Wright E. M. An introduction to the theory of numbers. Oxford: Clarendon press, 1975. 19. Hecke E. Eber Analytische Funktionen und die Verteilung van Zahlen mod Eins // Math.Sem.Hamburg Univ. 1921. Vol. 5. P. 54–76.

19. Kesten H. On a conjecture of Erd¨os and Sz¨usz related to uniform distribution mod 1 // Acta Arithmetica. 1966. Vol. 12. P. 193–212.

20. Van Ravenstein T. The three gap theorem (Steinhaus conjecture) // Journal of the Australian Mathematical Society. 1988. Vol. 45. №3. P. 360–370.

21. Slater N. B. Gaps and steps for the sequence nθ mod 1 // Proc.Cambridge Phil.Soc. 1967. Vol. 63. P. 1115–1123.

22. Swierczkowski S. On successive settings of an arc on the circumference of a circle // Fundam. Math. 1958. Vol. 46. P. 187–189.

23. Shutov A.V. New estimates in the Hecke-Kesten problem // Anal. Probab. Methods Number Theory. Edited by E.Manstaviˇcisus et al. Vilnius:TEV. 2007.

24. Sos V. T. A l´ankt¨ortek egy geometriai interpret´aci´oja ´es alkalmaz´asai // Mat.Lapok. 1957. Vol. 8. P. 248–263.

25. Walfisz, A. Weyl’sche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie. Ch. 5. Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften. 1963.

26. Weyl H. Uber die Gibbs’sche Erscheinung und verwandte Konvergenzp ¨ h¨anomene // Rendicontidel Circolo Mathematico di Palermo. 1910. Vol. 30. P. 377–407.


Для цитирования:


Шутов А.В. ДРОБИ ФАРЕЯ И ПЕРЕСТАНОВКИ, ПОРОЖДЕННЫЕ ДРОБНЫМИ ДОЛЯМИ {iα}. Чебышевский сборник. 2014;15(1):195-203. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2014-15-1-195-203

For citation:


Shutov A.V. FAREY FRACTIONS AND PERMUTATIONS GENERATED BY FRACTIONAL PARTS {iα}. Chebyshevskii Sbornik. 2014;15(1):195-203. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2014-15-1-195-203

Просмотров: 70


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)