ДРОБИ ФАРЕЯ И ПЕРЕСТАНОВКИ, ПОРОЖДЕННЫЕ ДРОБНЫМИ ДОЛЯМИ {iα}

Аннотация

Пусть α ∈ (0; 1) – иррационально. Задачи о распределении дробных долей {iα} на интервале (0; 1) являются классическими задачами теории чисел. В частности, со времен Г. Вейля, доказавшего равномерную распределенность данной последовательности по модулю 1, активно рассматриваются различные оценки для остаточного члена асимптотической формулы для числа точек данной последовательности, попавших в заданный интервал. Другой круг вопросов связан с знаменитой теоремой о трех длинах (гипотезой Штейнгауза), утверждающей что разбиение единичного отрезка, порожденное точками рассматриваемой последовательности, состоит из отрезков двух или трех различных длин, причем в последнем случае длина наибольшего отрезка в точности равна сумме длин двух оставшихся. Изучение геометрии получаемых разбиений оказалось тесно связанным с отображениями первого возвращения для поворота окружности, проблемой Гекке-Кестена о множествах ограниченного остатка, комбинаторикой последовательностей Штурма, динамикой двухцветных поворотов окружности и рядом других задач. Настоящая работа посвящена комбинаторным свойствам последовательности {iα}, а именно перестановкам πα,n, порожденным точками {iα}, 1 6 i 6 n. Доказано, что данные перестановки находятся во взаимнооднозначном соответствии с интервалами разбиения Фарея порядка n, то есть разбиением отрезка [0; 1], порожденным несократимыми рациональными дробями вида a b со знаменателем 0 < b 6 n. Доказательство основано на одной теореме В. Т. Шош, позволяющей вычислить всю перестановку πα,n через πα,n(1) и πα,n(n). Также используется тот факт, что концы интервалов разбиения Фарея совпадают с точками разрыва функций {kα}−{lα}. В качестве приложения показано, что среди перестановок πα,n при фиксированном n имеется ровно 1 + Pn k=2 ϕ(k) различных. Еще один результат утверждает, что перестановка πα,n однозначно определяет перестановки πα,m с n < m < πα,n(1)+πα,n(n) и не определяет однозначно перестановку πα,m с m = πα,n(1) + πα,n(n).