ОЦЕНКА МЕРЫ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ ЧИСЛА log 37/30

Оценки снизу меры иррациональности логарифмов рациональных чисел рассматривались многими зарубежными авторами: М. Вальдшмидт [1], А. Бейкер и Д. Вустольц [2], A. Хеймонен, Т. Матала-ахо, К. Ваананен [3], К. Ву [4], Д. Рин [5] и П. Тоффин [6]. В своих работах они применя- ли различные интегральные конструкции, дающие малые линейные фор- мы от логарифмов и других чисел, вычисляли асимптотику интегралов и коэффициентов линейных форм с помощью метода перевала, теоремы Лапласа, оценивали знаменатель коэффициентов линейных форм с исполь- зованием различных схем "сокращения простых чисел". Обзор некоторых методов из теории диофантовых приближений логарифмов рациональных чисел того времени был представлен в 2004 году в статье В. В. Зудилина [7]. Затем В. Х. Салихов в работе [8], основываясь на тех же асимптоти- ческих методах, но использовав новый вид интегральной конструкции, обладающей свойством симметрии, значительно улучшил оценку меры иррациональности числа log 3. Впоследствии В. Х. Салихову, благодаря использованию уже комплексного симметризованного интеграла, удалось улучшить оценку меры иррациональности числа π [9]. В дальнейшем данный метод (применительно к диофантовым приближениям логарифмов рациональных чисел) получил развитие в работах его учеников: Е. С. Зо- лотухиной [10, 11], М. Ю. Лучина [12, 13], E. Б. Томашевской [14]. Это привело к улучшению оценок мер иррациональности целого ряда чисел: µ(log (5/3)) 6 5.512... [14], µ(log (8/5)) < 5.9897 [12], µ(log (7/5)) 6 4.865... [14], µ(log (9/7)) 6 3.6455... [10], µ(log (7/4)) < 8.1004 [13]. В данной работе с помощью симметризованного вещественного инте- грала получена новая оценка меры иррациональности числа τ = log (37/30), µ(τ ) < 65.3358. Впервые оценку меры иррациональности числа log(37/30) получили в 1993 году А. Хеймонен, Т. Матала-ахо и К. Ваананен [1]. В своей работе они вывели общий критерий, позволяющий оценить меру иррациональности чисел вида log(1 − (r/s)), где r/s ∈ [−1, 1) (r, s ∈ N). В качестве примера, они привели таблицу с полученными оценками при отдельных значениях r/s. Одним из приведенных значений было число r/s = −7/30, которое и давало следующую оценку: µ(log(37/30)) 6 619.5803.... Отметим также, что для получения новой оценки оптимальные пара- метры интегральной конструкции вычислялись с помощью разработанной автором компьютерной программы, использующей вычисления Mathcad.

диофантовы приближения, мера иррациональности, метод перевала

1. Waldschmidt M. Minorations de combinaisons lin´eaires de logarithmes de nombres alg´ebriques // Can. J. Math. 1993. Vol. 45. №1. P. 176 – 224.

2. Baker A., W¨ustholz G. Logarithmic forms and group varieties // J. Reine Angew. Math. 1993. Vol. 442. P. 19 – 62.

3. Heimonen A., Matala-aho T., Va¨a¨na¨nen K. On irrationality measures of the values of Gauss hypergeometric function // Manuscripta Math. 1993. Vol. 81. №1. P. 183 – 202.

4. Wu Q. On the linear independence measure of logarithms of rational numbers // Math. Comput. 2002. Vol. 72. №242. P. 901 – 911.

5. Rhin G. Approximants de Pad´e et mesures effectives d’irrationalit´e, S´eminaire de Th´eorie des Nombres (Paris 1985-86) // Progress in Math. 1987. Vol. 71 P. 155 – 164.

6. Rhin G., Toffin P. Approximants de Pad´e simultan´es de logarithmes // J. Number Theory. 1986. Vol. 24. P. 284 – 297.

7. Зудилин В. В. Эссе о мерах иррациональности π и других логарифмов // Чебышевский сборник. 2004. Т. 5. №2. С. 49 – 65.

8. Салихов В. Х. О мере иррациональности ln 3 // ДАН РФ. 2007. Т. 417, №6. С. 753 – 755.

9. Салихов В. Х. О мере иррациональности числа π // Математические за- метки. 2010. Т. 88, №4. С. 583 – 593.

10. Золотухина Е.С. Диофантовы приближения некоторых логарифмов: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Брянск, 2009. 100 с.

11. Сальникова Е.С. Приближения некоторых логарифмов числами из полей Q и Q( √ d) // Фундам. и прикл. математика. 2010. Т. 16, №6. С. 139 – 155.

12. Лучин М.Ю. О диофантовых приближениях некоторых логарифмов // Вестник Брянского государственного университета. 2012. №4 (2). С. 22 – 28.

13. Лучин М.Ю. Оценка меры иррациональности числа ln7 4 // Чебышевский сборник. 2013. Т. 14. №2. С. 123 – 131.

14. Томашевская E.Б. О диофантовых приближениях значений функции log x // Фундам. и прикл. математика. 2010. Т. 16 №6. С. 157 – 166.

15. Hata M. Rational approximations to π and some other numbers // Acta Arith. 1993. Vol. 63. №4. P. 335 – 349.