НЕКОТОРЫЕ АППРОКСИМАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА РАЗРЕШИМЫХ ГРУПП КОНЕЧНОГО РАНГА

Получено обобщение одной классической теоремы Шмелькина о полициклических группах. А. Л. Шмелькин доказал, что если G — полицик- лическая группа, то она почти аппроксимируема конечными p-группами для любого простого числа p. Напомним, что группа G называется аппроксимируемой конечными p-группами, если для каждого неединичного элемента a группы G существует гомоморфизм группы G на конечную p-группу, при котором образ элемента a отличен от 1. Группа G назы- вается почти аппроксимируемой конечными p-группами, если она содержит подгруппу конечного индекса, которая аппроксимируема конечными p-группами. Одним из обобщений понятия полициклической группы является по- нятие разрешимой группы конечного ранга. Напомним, что группа G называется группой конечного ранга, если существует целое положительное число r такое, что любая конечно порожденная подгруппа группы G порождается не более чем r элементами. Для разрешимой группы конечного ранга получено следующее необходимое и достаточное условие аппроксимируемости конечными π-группами для подходящего конечного множества π простых чисел. Группа G конечного ранга аппроксимируема конечными π-группами для некоторого конечного множества π простых чисел тогда и только тогда, когда G является редуцированной поли-(циклической, квазициклической, рациональной) группой. Напомним, что группа G называется редуцированной, если в ней нет неединичных полных подгрупп. Группу H мы называем полной, если в ней из любого элемента h можно извлечь корень любой натуральной степени. Доказано, что если разрешимая группа конечного ранга аппроксимируема конечными π-группами для некоторого конечного множества π простых чисел, то она почти аппроксимируема конечными нильпотентными π-группами. Доказано также следующее обобщение сформулированной выше теоремы Шмелькина. Пусть π — фиксированное конечное множество простых чисел. Разрешимая группа G конечного ранга почти аппроксимируема конечными π-группами тогда и только тогда, когда G — редуцированная поли- (циклическая, квазициклическая, рациональная) группа, не содержащая π-полных элементов бесконечного порядка. Напомним, что элемент g группы G называется π-полным, если для каждого π-числа m из элемента g можно извлечь в группе G корень m-й степени.

группа конечного ранга, разрешимая группа, полициклическая группа, нильпотентная группа, аппроксимируемость конечными p-группами

1. Hirsh K. A. On infinite soluble groups // J. London Math. Soc. 1952. Vol. 27. P. 81–85.

2. Learner A. Residual properties of polycyclic groups // J. Math. 1984. Vol. 8. P. 536–542.

3. Шмелькин А. Л. Полициклические группы // Сиб. мат. журн. 1968. Т. 9. С. 234–235.

4. Lennox J., Robinson D. The theory of infinite soluble groups. Oxford.: Clarendon press, 2004. 344 P.

5. Baumslag G., Solitar D. Some two-generator one-relator non-Hopfian groups // Bull. Amer. Math. Soc. 1962. Vol. 68. P. 199–201.

6. Meskin S. Nonresidually finite one-relator groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. Vol. 164. P. 105–114.

7. Азаров Д. Н. О почти аппроксимируемсти конечными p-группами групп Баумслага — Солитэра // Моделирование и анализ информ. систем. 2013. Т. 20, вып. 1. С. 116–123.

8. Moldavanskii D. On some residuall properties of Baumslag Solitar groups // ArXiv: math.GR/1310.3585 Vol. 1. 2013.

9. Азаров Д. Н. О почти аппроксимируемсти конечными p–группами // Чебышевский сборник. 2010. Т. 11, вып. 3. С. 11–21.

10. Мальцев А. И. О гомоморфизмах на конечные группы // Учен. зап. Иван. гос. пед. ин-та. 1958. Т. 18, вып. 5. С. 49–60.

11. Азаров Д. Н. О почти аппроксимируемости конечными p-группами некоторых разрешимых групп // Вестник Иван. гос. ун-та. 2012. Вып. 2. С. 80–85.

12. Мальцев А. И. О группах конечного ранга // Мат. сб. 1948. Т. 22(2). С. 351–352.

13. Lubotzki. A., Mann A. Residually finite groups of finite rank // Math. Proc. Comb. Phil. Soc. 1989. Vol. 106(3). P. 385–388.

14. Азаров Д. Н. Об аппроксимируемости конечными p-группами групп конечного ранга // Вестник Иван. гос. ун-та. 2001. Вып. 3. С. 102–104.

15. Сексенбаев К. К теории полициклических групп // Алгебра и логика. 1965. Т. 4, вып. 3. С. 79–83.