Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

ПОРОЖДАЮЩИЕ МНОЖЕСТВА n-АРНЫХ ГРУПП

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2014-15-1-89-109

Полный текст:

Аннотация

Определение n-арной группы получается из определения группы заменой ассоциативной и обратимой бинарной операции на ассоциативную и обратимую на каждом месте n-арную операцию. В данной статье изучается связь между порождающими множествами n-арной группы и порождающими множествами группы, к которой при- водима данная n-арная группа согласно теореме Поста-Глускина-Хоссу. В первой части статьи описывается процесс, который позволяет, зная порождающее множество группы, к которой приводима данная n-арная группа в соответствии с указанной теоремой, находить порождающее мно- жество самой n-арной группы. Доказано, что если группа hA, ◦ai, получен- ная с помощью элемента a из n-арной группы hA, [ ]i по теореме Поста- Глускина-Хоссу, порождается множеством M, то n-арная группа hA, [ ]i порождается множеством M ∪ {a}. n-Арная группа hA, [ ]i называется производной от группы A, если [a1a2 . . . an] = a1a2 . . . an для любых a1, a2, . . . , an ∈ A. Найдены условия, при выполнении которых порождающие множества группы и n-арной группы, производной от этой группы, совпадают. Доказано, что n-арная группа hA, [ ]i, производная от группы hA, ◦i с единицей e и порождающим множеством M, также порождается множеством M, если c1 ◦ c2 ◦ . . . ◦ cm(n−1)+1 = e для некоторых c1, c2, . . . , cm(n−1)+1 ∈ M, m > 1. Отсюда выводится след- ствие: n-арная группа hA, [ ]i, производная от группы hA, ◦i конечного периода m(n − 1) + 1 > 3 с порождающим множеством M, также порождается множеством M. В частности, n-арная группа hA, [ ]i, производная от циклической группы hA, ◦i порядка m(n − 1) + 1 > 3, является цикли- ческой и порождается тем же элементом, что и группа hA, ◦i. Приведены несколько примеров нахождения порождающих множеств для n-арных групп. Во второй части статьи изучается обратная задача нахождения порождающих множеств бинарных групп, если известны порождающие множе- ства n-арных групп, из которых данные бинарные группы получаются (согласно теореме Поста-Глускина-Хоссу). Доказано, что группа hA, ◦ai, полученная с помощью элемента a из n-арной группы hA, [ ]i с порождающим множеством M, порождается множеством M ∪ {d = [a . . . a | {z } n ]}, если для автоморфизма β(x) = [axa a . . . a ¯ | {z } n−3 ] группы hA, ◦ai выполнено условие Mβ = {[aMa a . . . a ¯ | {z } n−3 ]} ⊆ M. (1) Из этого имеем следствие: пусть n-арная группа hA, [ ]i порождается мно- жеством M, удовлетворяющим (1) для некоторого a ∈ M. Тогда: 1) группа hA, ◦ai порождается множеством (M{a}) ∪ {d}; 2) если a – идемпотент в hA, [ ]i, то группа hA, ◦ai порождается множе- ством M{a}. В конце работы описаны порождающие множества бинарных групп hA, ◦ai, найденные исходя из известных порождающих множеств n-арных групп hA, [ ]i с непустым центром Z(A).

 

Об авторах

А. М. Гальмак
Могилевский государственный университет продовольствия
Беларусь


Н. А. Щучкин
Волгоградский государственный социально-педагогический университет
Россия


Список литературы

1. D¨ornte W. Untersuchungen ¨uber einen verallgemeinerten Gruppenbegrieff // Math. Z. 1928. Bd.29, S. 1–19.

2. Post E. L. Poluadic groups // Trans. Amer. Math. Soc. 48. 1940. — P. 208–350.

3. Тютин В. И. К аксиоматике n-арных групп // Докл. АН БССР, 1985. Т. 29, №8. С. 691–693.

4. Гальмак А. М. Об определении n-арной группы // Междунар. конф. по алгебре - тез. докл. - Новосибирск, 1991. — С. 30.

5. Гальмак А. М. n-Арные группы. Ч. 2. Минск: Изд. центр БГУ, 2007. 324 с.

6. Гальмак А. М. n-Арные группы. Ч. I. Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, 2003. 196 с.

7. Глускин Л. М. Позиционные оперативы // Мат. сборник. 1965. Т. 68 (110), №3. С. 444–472.

8. Hosszu M. On the explicit form of n-group operacions. Publ. Math. 1963. Vol. 10. №1-4. P. 88–92.

9. Гальмак А. М., Воробьев Г. Н. Тернарные группы отражений. Минск: Беларуская навука. 1998. 128 с.

10. Щучкин Н. А. Подгруппы в полуциклических n-арных группах // Фундаментальная и прикладная математика. 2009. Т. 15, №2. С. 211–222.

11. Кусов В. М., Щучкин Н. А. Свободные абелевы полуциклические n-арные группы // Чебышевский сборник. 2011. Т. XII, вып. 2(38). С. 68–76.

12. Коксетер Г. С. М. , Мозер У. О. Дж. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп. М: Наука, 1980. 240 с.

13. Русаков С. А. Алгебраические n-арные системы. Мн: Навука i тэхнiка, 1992. 245 с. 14. Щучкин Н. А. Полуциклические n−арные группы // Известия ГГУ им. Ф. Скорины. 2009. №3(54). С. 186–194.


Для цитирования:


Гальмак А.М., Щучкин Н.А. ПОРОЖДАЮЩИЕ МНОЖЕСТВА n-АРНЫХ ГРУПП. Чебышевский сборник. 2014;15(1):89-109. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2014-15-1-89-109

For citation:


Gal’mak A.M., Shchuchkin N.A. GENERATING SETS OF THE N-ARY GROUPS. Chebyshevskii Sbornik. 2014;15(1):89-109. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2014-15-1-89-109

Просмотров: 103


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)