О СТРУКТУРНЫХ КОНСТАНТАХ ДЖЕКА И ИХ ВЫЧИСЛЕНИИ
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2014-15-1-65-76
Аннотация
Алгебра классов сопряжённости и алгебра двойных смежных классов – классические коммутативные подалгебры групповой алгебры симметри- ческой группы. Структурные константы этих алгебр вызвали значительный интерес у комбинаториков в связи с тем, что они представляют собой число разложений данной перестановки в упорядоченное произведение перестановок с заданной структурой циклов. Несмотря на сходство свойств эти константы обычно изучались отдельно. Для обеих семей структурных констант они равны суммам характеров – неприводимых характеров симметрической группы и зональных сферических функций, двух частных случаев более общей семьи характеров, называемых характерами Джека. Характеры Джека являются коэффициентами в разложении по базису степенных симметрических многочленов симметрических функций Джека, семьи симметрических функций, индексируемых параметром α. Структутные константы алгебры классов соответствуют случаю α = 1 (в этом случае симметрические функции Джека пропорциональны полино- мам Шура). Структурные константы алгебры двойных смежных классов относятся к случаю α = 2 (в этом случае симметрические функции Джека являются зональными полиномами). Структурные константы Джека позволяют рассматривать их с единой точки зрения для произвольного параметра α. Настоящая работа посвящена этим обобщённым коэффициентам и их вычислению. Точнее, мы концентрируем наше внимание на обобщении формулы для числа разложений перестановки с заданной цик- ловой структурой в произведение r транспозиций. Мы пользуемся дей- ствием оператора Лапласа-Белтрами на симметрические функции Джека для доказательства общей формулы и даём более простые её эквиваленты для некоторых значений r.
Список литературы
1. F. B´edard and A. Goupil The poset of conjugacy classes and decomposition of products in the symmetric group, Can. Math. Bull, 35(2):152–160, 1992.
2. J. D´enes, The representation of a permutation as the product of a minimal number of transpositions and its connection with the theory of graphs. Publ. Math. Inst. Hungar. Acad. Sci., 4:63–70,1959.
3. M. Do le˛ga and V. F´eray On Kerov polynomials for Jack characters. DMTCS Proceedings (FPSAC 2013) AS:539–550, 2013.
4. A. Goupil A. and G. Schaeffer. Factoring n-cycles and counting maps of given genus, European Journal of Combinatorics, 19:819–834(16), 1998.
5. J. Irving. On the number of factorizations of a full cycle, J. Comb. Theory Ser. A, 113(7):1549–1554, 2006.
6. D. M. Jackson. Some combinatorial problems associated with products of conjugacy classes of the symmetric group, J. Comb. Theory Ser. A, 49(2):363– 369, 1988.
7. I. Macdonald Symmetric functions and Hall polynomials, Oxford University Press, Second Edition, 1999.
8. A. H. Morales and E. Vassilieva, Bijective enumeration of bicolored maps of given vertex degree distribution, DMTCS Proceedings (FPSAC 2009), AK:661–672, 2009.
9. A. H. Morales and E. Vassilieva, Bijective evaluation of the connection coefficients of the double coset algebra, DMTCS Proceedings (FPSAC 2011), AO:681–692, 2011.
10. G. Schaeffer and E. Vassilieva. A bijective proof of Jackson’s formula for the number of factorizations of a cycle, J. Comb. Theory Ser. A, 115(6):903–924, 2008.
11. A. B. Shukla A short proof of Cayley’s tree formula, arXiv:0908.2324v2, 2009.
12. R. P. Stanley Some combinatorial properties of Jack symmetric functions, Advances in Mathematics, 77:76–115, 1989.
13. E.A. Vassilieva Explicit generating series for connection coefficients, DMTCS Proceedings (FPSAC 2012) AR:123–134, 2012.
14. E.A. Vassilieva Long cycle factorizations : bijective computation in the general case, DMTCS Proceedings (FPSAC 2013) AS:1077–1088, 2013.
Рецензия
Для цитирования:
Васильева Е.А. О СТРУКТУРНЫХ КОНСТАНТАХ ДЖЕКА И ИХ ВЫЧИСЛЕНИИ. Чебышевский сборник. 2014;15(1):65-76. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2014-15-1-65-76
For citation:
Vassilieva E.A. ON JACK’S CONNECTION COEFFICIENTS AND THEIR COMPUTATION. Chebyshevskii Sbornik. 2014;15(1):65-76. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2014-15-1-65-76
Просмотров:
380
Послать статью по эл. почте 